Actividad 1

Buscar y resolver un ejemplo de uso de la prueba z con una cola.

  1. Se estima que el peso medio de los hombres de cierto país es más de 90 kilos. Bajo una distribución normal, se tiene una muestra de 20 hombres mayores de 18 años, cuyo peso medio es de 100 kilos, con una desviación estándar de 8 kilos. Con un nivel de significancia del 0.05, ¿Qué se puede concluir?
# Grafica de la función de densidad de la distribución de probabilidad
grafico_densidad = ggplot(data = data.frame(x = c(70,130)), aes(x)) +
  stat_function(fun = dnorm, n = 20, args = list(mean =100, sd = 8)) + ylab("") +
  scale_y_continuous(breaks = NULL) + xlab("Peso") + ylab("Densidad") + ggtitle("Función de densidad (distribución normal)") + theme_bw() +
  geom_vline(xintercept = 100,cex=1.2,colour ="darkred",linetype="longdash") + geom_text(aes(x=103, label="xbar", y=0.0), colour ="darkred",size=5) + geom_vline(xintercept = 90,cex=1.2,colour ="coral3",linetype="longdash") + geom_text(aes(x=93, label="mu", y=0.00001), colour ="coral3",size=5)  

grafico_densidad

La hipótesis nula corresponde a: \[ H_0 : μ_0 > 90 kilos\]

# Aplicamos la normalización para calcular z en una prueba de una cola.
muestra=rep(100,20)
x_bar=mean(muestra)
# Tamaño muestra
n = 20
# Media
mu=90
# Desviación
sigma=8
z=z.test(muestra,mu=mu,sigma.x= sigma,conf.level =0.95,alternative="less")
z
## 
##  One-sample z-Test
## 
## data:  muestra
## z = 5.5902, p-value = 1
## alternative hypothesis: true mean is less than 90
## 95 percent confidence interval:
##        NA 102.9424
## sample estimates:
## mean of x 
##       100

El valor de z es 5.9502 y p-value es 1. Por lo que se rechaza la hipótesis nula.

Esto puede ser graficado como:

Actividad 2

Buscar y resolver un ejemplo de uso de la prueba t con una cola.

  1. Se supone que la edad media de los trabajadores de una empresa es de 41 años. Para comprobar esto, se considera una sucursal con 25 trabajadores, y se obtiene que la edad media es de 38 años y su desviación estándar de 5 años, bajo una distribuvión normal. Probando la afirmación, con un nivel de significancia del 0.05, ¿Qué se puede concluir?
# Grafica de la función de densidad de la distribución de probabilidad
grafico_densidad = ggplot(data = data.frame(x = c(20,60)), aes(x)) +
  stat_function(fun = dnorm, n = 20, args = list(mean =41, sd = 5)) + ylab("") +
  scale_y_continuous(breaks = NULL) + xlab("Años") + ylab("Densidad") + ggtitle("Función de densidad (distribución normal)") + theme_bw() +
  geom_vline(xintercept = 41,cex=1.2,colour ="darkred",linetype="longdash") + geom_text(aes(x=43, label="xbar", y=0.0), colour ="darkred",size=5) + geom_vline(xintercept = 38,cex=1.2,colour ="coral3",linetype="longdash") + geom_text(aes(x=39, label="mu", y=0.00001), colour ="coral3",size=5)  

grafico_densidad

La hipótesis nula corresponde a: \[ H_0 : μ_0 = 38 años\]

# Aplicamos la normalización para calcular z en una prueba de una cola.
x_bar=41
mu=38
sigma=15
n=25
set.seed(3)
muestra=rnorm(n,mean=x_bar,sigma)

t=t.test(muestra,mu=mu,conf.level=0.95,alternative="less")
print(t)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  muestra
## t = -0.57344, df = 24, p-value = 0.2858
## alternative hypothesis: true mean is less than 38
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 40.64116
## sample estimates:
## mean of x 
##  36.66845

Esto puede ser graficado como:

Actividad 3

Buscar y resolver un ejemplo de uso de la prueba chi para varianza con dos colas.

  1. Una empresa de exportación de frutas desea determinar si la varianza de la calidad de estas sea menor a 0.3, dado que no podrán ser comercializados y representarán una pérdida económica. Se estudia una muestra de 20 frutas y se llega a que su varianza es de 0.35. Realizar la prueba de hipótesis con alfa = 0.05
# Gráfico de densidad
grafico_densidad = ggplot(data = data.frame(x = c(0, 0.6)), aes(x)) +
  stat_function(fun = dchisq, n = 20, args = list(x =15, df = 19)) + ylab("") +
  scale_y_continuous(breaks = NULL) + xlab("Calidad") + ylab("Densidad") + ggtitle("Función de densidad") + theme_bw() +
  geom_vline(xintercept = 0.35,cex=1.2,colour ="darkred") + geom_text(aes(x=0.37, label="S^2", y=0.0), colour ="darkred",size=5) 

grafico_densidad

La hipótesis nula corresponde a: \[ H_0 :{\sigma^2} <= 0.3 \]

Aplicando la normalización para calcular chi bajo:

#Datos
sigma2=0.35
n = 20
s2=0.3


#Normalización
chi_n = (n-1)*s2/(sigma2)
chi_n
## [1] 16.28571
#Confianza
alfa = 0.05
confianza = 1-alfa
alfa = alfa/2 # dos colas

chi_alfa = qchisq(alfa,df = n-1,lower.tail = F) #Lower.tail se relaciona con <= de la hipótesis nula.
chi_alfa
## [1] 32.85233
#Creación de muestra artificial
set.seed(10)
datos=rnorm(20,sqrt(s2),n=n)

#Aplicación de test
chi = varTest(datos,sigma.squared=sigma2,alternative="greater")
print(chi)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 variance = 0.35
## 
## Alternative Hypothesis:          True variance is greater than 0.35
## 
## Test Name:                       Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s):          variance = 0.1919565
## 
## Data:                            datos
## 
## Test Statistic:                  Chi-Squared = 10.42049
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 19
## 
## P-value:                         0.9417994
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 0.1209936
##                                  UCL =       Inf

Se obtiene que el intervalo de confianza es de [-32.85233 ; 32.85233] y el valor de chi obtenido es 16.28571, entonces como se encuentra dentro del intervalo, no se puede rechazar la hipótesis nula.

Actividad 4

Buscar/crear y resolver un ejemplo de bondad de ajuste Chi cuadrado, utilice el conjunto de datos Iris disponible en R data(“iris”).

  1. Se estudia la especie de las flores del conjunto de datos “iris”, las cuales pueden ser “setosa”, “versicolor” y “virginica”. Además, se supone que la proporción global de estas especies es de 3:2:1 ¿Hay alguna diferencia significativa entre las proporciones observadas y las proporciones esperadas?
set.seed (23)
iris <- iris [ sample ( nrow (iris), size = 80 ),]
setosa = length(iris$Species[iris$Species == "setosa"])
versicolor = length(iris$Species[iris$Species == "versicolor"])
virginica = length(iris$Species[iris$Species == "virginica"])
especies = c(setosa, versicolor, virginica)
res = chisq.test(especies, p = c(1/2, 1/3, 1/6))
res
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  especies
## X-squared = 18.913, df = 2, p-value = 7.82e-05

Finalmente, si existe una diferencia entre las proporciones observadas respecto a las esperadas.

Actividad 5

Buscar/crear y resolver un ejemplo de prueba de hipótesis en una proporción binomial, de una o dos colas.

  1. En cierto sector de un hospital, se han dado de alta a 123 personas de un total de 180 pacientes en las útlimas semanas, con un nivel de significancia del 0.05 ¿Es posible afirmar que la tasa de recuperación es mayor al 50%?
X=123
pbar= 123/180
p0=0.5
n=180
print(prop.test(X, n, p=p0, correct=FALSE))
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  X out of n, null probability p0
## X-squared = 24.2, df = 1, p-value = 8.683e-07
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.612151 0.746854
## sample estimates:
##         p 
## 0.6833333

Actividad 6

Buscar/crear y resolver un ejemplo de prueba de hipótesis en el que aplique la prueba del signo.

  1. Se realiza el experimento del lanzamiento de una moneda y se obtienen 16 caras tras 35 intentos, sin embargo se sospecha de que esté cargada. Con un nivel de significancia del 0.05 ¿Es posible afirmar que el lanzamiento es justo?
print(binom.test(16,35))
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  16 and 35
## number of successes = 16, number of trials = 35, p-value = 0.7359
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.2882714 0.6335420
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.4571429

Actividad 7

Buscar/crear y resolver un ejemplo de prueba de hipótesis en el que aplique la prueba de Wilcoxon para una muestra.

  1. Se tienen los datos de las notas de un trabajo final de un curso. Con un nivel de significancia del 0.05, se desea saber si la mediana difiere de 0.5 décimas.
notas = c(2.3, 4.5, 7.0, 3.5, 1.7, 6.7, 5.8, 5.9, 3.9, 4.6, 6.8, 2.7)
res <- wilcox.test(notas, mu = 0.5,conf.int=0.95)
res
## 
##  Wilcoxon signed rank exact test
## 
## data:  notas
## V = 78, p-value = 0.0004883
## alternative hypothesis: true location is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  3.30 5.85
## sample estimates:
## (pseudo)median 
##          4.625