GABRIELA LÓPEZ

24/06/2022

ÍNDICE DE MORAN

1. OBJETIVOS

1.1 Objetivo General:

Realizar una investigación minuciosa en diferentes fuentes bibliográficas sobre el Índice de Moran y sus utilidades.

1.2 Objetivos Específicos:

  • Investigar las fórmulas respectivas para calcular el Índice de Moran.

  • Buscar todo lo relacionado con el Índice de Moran con el fin de poder determinar la presencia o ausencia de autocorrelación espacial de una variable.

  • Realizar un estudio teórico acerca del Índice de Morán para ponerlo en práctica en próximos ejercicios.

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2. INTRODUCCIÓN

La autocorrelación espacial en un Sistema de Información Geográfico (SIG) ayuda a entender el grado en que un objeto es similar a otros objetos cercanos. El índice de Moran mide la autocorrelación espacial. La definición de autocorrelación espacial es que mide la cantidad de objetos cercanos en comparación con otros objetos cercanos. El índice de Moran puede ser clasificado como positivo, negativo y sin autocorrelación espacial.

La autocorrelación espacial es importante porque las estadísticas se basan en observaciones independientes entre sí. En el caso de que exista autocorrelación en un mapa, entonces esto infringe el hecho de que las observaciones son independientes unas de otras. En general dicha autocorrelación indica si hay agrupamiento o dispersión en un mapa. Cuando una I de Moran es positiva significa que los datos están agrupados, mientras que una I de Moran negativa implica que los datos están dispersos.

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3. DESARROLLO

3.1. ¿Qué es el Índice de Moran?

El índice de Morán es una medida estadística desarrollada por Alfred Pierce Moran (1950) que analiza de forma integral las variaciones de autocorrelación espacial entre valores vecinos más cercanos, los cuales pueden clasificarse como positivo, negativo y sin autocorrelación espacial.

  • Cuando los valores se tienden a agruparse, se habla de una autocorrelación espacial positiva.

  • Cuando los valores se dispersan, entonces se convierte en una autocorrelación negativa.

  • Cuando los valores se encuentran dispersos o distribuidos de forma aleatoria, entonces no hay autocorrelación espacial entre los valores analizados.

Además, la herramienta de Autocorrelación espacial (I de Moran global) mide la autocorrelación espacial basada en las ubicaciones y los valores de las entidades simultáneamente.

  • Esta herramienta calcula una puntuación z y un valor P que le indica si puede rechazar la hipótesis nula. Para este caso, la hipótesis nula establece que los valores de entidades están distribuidos en forma aleatoria a lo largo del área de estudio.

  • En cambio, la puntuación z está basada en el cálculo de la hipótesis nula de aleatorización.

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Figura 1:Patrones y valores extremos de la autocorrelación espacial mediante el I de Moran

Fuente:Revista de Economía Institucional.

En la Figura 1 se puede observar que el Índice Global de Moran mide la presencia o ausencia de autocorrelación espacial de una variable. La autocorrelación espacial está indicada por medio de valores que fluctúan entre +1 y -1, en donde +1 indica autocorrelación positiva perfecta, -1 expresa autocorrelación negativa perfecta, un tablero de ajedrez es un ejemplo en el que la I de Moran es -1 porque los valores diferentes están uno al lado del otro y un valor 0 muestra la presencia de patrones totalmente aleatorios en su distribución espacial.

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3.2 Características del Índice de Moran

  • Corresponde a una medida de covarianza que se relaciona directamente con el coeficiente de correlación de Pearson.

  • Puede trabajar con todas las escalas de medición ya sean nominal, ordinal, inervalo y ratio.

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3.3. Tipos de cálculos del I de Moran

  • Global

  • Local:Permite analizar las agrupaciones de la información con su respectiva significancia.

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3.4. Desarrollo matemático

El índice estadístico de Moran para la autocorrelación espacial esta dado por la siguiente fórmula:

\[I=\frac{nZ_{(c)}(x_{i}-\bar{x})(x_{j}-\bar{x})}{J\sum (x-\bar{x})^{2}}\]

Donde:

\(I\) : es el valor de autocorrelación

\(n\): es la cantidad de unidades espaciales

\(J\): es la cantidad de límites

\(\bar{x}\) es la media

\(x_{i}\) y \(x_{j}\) son los valores de unidades espaciales.

  • El valor esperado de la I de Moran bajo la hipótesis nula de no autocorrelación espacial es la siguiente:

\[E(I)=\frac{-1}{n-1}\]

  • Fórmula del desvío estándar para obtener un puntaje normalizado en una hipótesis nula de normalidad:

\[\sigma _{I,n}=\sqrt{\frac{n^{2}J+3J^{2}-n\sum L^{2}}{J^{2}(n^{2}-1)}}\]

  • Fórmula del desvío estándar para obtener un puntaje normalizado en una hipótesis nula de aleatoriedad:

\[\sigma _{1,a}=\sqrt{\frac{n\left [ J(n^{2}+3+3n)+3J^{2}-n\sum L^{2} \right ]-k\left [ J(n^{2}-n)+6J^{2}-2n\sum L^{2} \right ]}{J^{2}(n-1)(n-2)(n-3)}}\]

Donde:

\[k=\frac{\sum (x-\bar{x})^{4}}{n\sigma ^{4}}\]

  • Índice de Moran normalizado

\[z=\frac{I-E(I)}{\sigma _{I}}\]

Un valor positivo muestra una tendencia hacia la agrupación y un valor negativo a la dispersión y una vez obtenido el valor estandarizado se compara el resultado con los valores críticos de una variable normal estandarizada z, de esta manera se podrán ver sus niveles de significancia con la finalidad de comprobar su apartamiento a la situación de aleatoriedad y rechazar una hipótesis nula de \(H_{0}\) de normalidad o \(H_{0}\) de aleatoriedad frente a \(H_{1}\) de no normalidad y \(H_{1}\) de no aleatoriedad lo que significatividad que comprueba la existencia de autocorrelación espacial (Buzai y Galbán, 2021).

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3.5. Utilidades

  • El Índice de Moran es ampliamente utilizado en los campos de geografía y ciencia de los CI.

  • En el análisis de las diferencias geográficas en las variables de salud.

  • Se ha usado para caracterizar el impacto de las concentraciones de litio en el agua pública en la salud mental.

  • También se ha utilizado recientemente en dialectología para medir la importancia de la variación del idioma regional.

  • Se utiliza esta herramienta para analizar el patrón espacial de los datos de incidentes.

  • Algunos casos puntuales de su aplicación son trabajos como el de Wilt et al. (2018), quienes realizaron un análisis espacio temporal de los efectos del huracán Sandy en pruebas de VIH mediante I de Moran para detectar autocorrelación espacial en las zonas estadounidenses afectadas; o el de Yuan et al. (2018) quienes analizaron la contaminación con tierras raras de los suelos urbanos en Londres, detectando hotspots a través del índice en mención.

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4. CONCLUSIÓN

Se puede concluir que dado un conjunto de entidades y un atributo asociado, esta herramienta I de Moran evalúa si el patrón expresado esta agrupado, disperso o es aleatorio.

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5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS