Z-test

Nombre: z-test.

Tipo de prueba: paramétrica.

Ecuación: \[ Z_{0} = \frac{\bar{x}-\mu ^0{_{{_{}}^{}}}}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\] De acuerdo a las normas establecidas en una prueba de aptitud academica, las personas que han concluido sus estudios secundarios debian tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe por una investigacion anterior sobre el caso, que la desviacion estandar fue de 8.6 puntos y si 45 personas que concluyeron estudios secundarios fueron elegidas aleatoriamente y alcanzan un promedio de 73.2. Prueba que la hipotesis de que el promedio ha disminuido.

Datos: \[ \mu = 76.7 \] \[\sigma = 8.6\] \[n = 45\] \[\bar{x}=73.2\] \[Ho: \mu \leqslant 76.7\] \[H1 : \mu\geqslant 76.7\] Nivel de confianza = 95%

#Datos
mu=76.7
sigma = 8.6
x_bar=73.2
n=45

#Normalización
z = (x_bar-mu)/(sigma/sqrt(n))

#Confianza
alfa = 0.05
confianza = 1-alfa

z_alfa = qnorm(alfa)

Resultado

Se rechaza la hipotesis Nula, indicando que si ha disminuido.

set.seed(10)

#Creación de muestra artificial
datos = rnorm(n,x_bar,sigma)

#Aplicación de test
z = z.test(x=datos,mu=x_bar,sigma.x=sigma,conf.level = confianza, alternative = "less")
print(z)
## 
##  One-sample z-Test
## 
## data:  datos
## z = -2.526, p-value = 0.005769
## alternative hypothesis: true mean is less than 73.2
## 95 percent confidence interval:
##        NA 72.07037
## sample estimates:
## mean of x 
##  69.96164

Z-test

Nombre: t-test.

Tipo de prueba : paramétrica. Aplica para n≤30.

Ecuación: \[t_{0} = \frac{\bar{x}-\mu0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\]

Para obtener que los alimentos tengan una buena asimilacion deben de tener un PH menor a 7, es por eso que se analizaron 13 muestras de un alimento obteniendo los siguientes resultados . Se puede decir estadisticamente con un nivel de confianza de 95% que este alimento es apto para el consumo humano?

R= 6.4 5.3 8.2 7.6 4.7 6.4 7.2 7.1 6.4 5.7 8.1 6.7 7.2 \[H0: \mu < 7\] \[H1 : \mu >7\] \[ \mu = 7\] \[n = 13\] \[\mu =7\] \[S= 1.037\] \[ X = 6.69\]

#Datos
mu=7
s = 1.037
x_bar=6.69
n=13
#Normalización
t = (x_bar-mu)/(s/sqrt(n))

#Confianza
alfa = 0.05
confianza = 1-alfa

t_alfa = qt(alfa/2,df = n-1)

Obtenemos lo siguiente :

#Datos
set.seed(10)

#Creación de muestra artificial
datos = rnorm(n,x_bar,s)

#Aplicación de test
t = t.test(x=datos,mu=mu,conf.level = confianza,alternative ="greater" )
print(t)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos
## t = -2.4635, df = 12, p-value = 0.9851
## alternative hypothesis: true mean is greater than 7
## 95 percent confidence interval:
##  6.013794      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  6.427779

Prueba para contraste de varianza

Nombre: chi-test.

Tipo de prueba: no paramétrica.

Ecuación: \[_{X_{0}= \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}} \] Con lineas individuales de diferentes ventanas, una oficinas de correo encuentra que su desviacion estandar distribuida normalmente en los tiempos de esperas de sus clientes el viernes por la tarde es de 7.2 minutos. los experimentos de la oficina de correos con una sola linea de espera principal, y encuentran que para una muestra de 25 clientes,los tiempos de esperas para los clientes tienen una desviacion estandar de 3.5 minutos,con un nivel de significancia de 5%, pruebe la afirmacion que una sola linea causa una variacion mas baja entre tiempo de esperas para los clientes.

\[ {\sigma} = 7.2\] \[ n = 25\] \[S = 3.5\] \[{\alpha}= 0.05\] \[H_{0} = 7.2^{}\] \[H_{1} \neq 7.2^{}\]

#Datos
sigma2=7.2
n = 25
s2=3.5


#Normalización
chi = (n-1)*s2/(sigma2)

#Confianza
alfa = 0.05
confianza = 1-alfa

chi_alfa = qchisq(alfa,df = n-1,lower.tail = F) #Lower.tail se relaciona con <= de la hipótesis nula.

Probamos:

#Creación de muestra artificial
set.seed(10)
datos=rnorm(20,sqrt(s2),n=n)

#Aplicación de test
chi = varTest(datos,sigma.squared=sigma2,alternative="two.sided")
print(chi)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 variance = 7.2
## 
## Alternative Hypothesis:          True variance is not equal to 7.2
## 
## Test Name:                       Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s):          variance = 3.108466
## 
## Data:                            datos
## 
## Test Statistic:                  Chi-Squared = 10.36155
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 24
## 
## P-value:                         0.01422586
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 1.895210
##                                  UCL = 6.015828