Trabajo de Investigación: Índice de Moran

Henry Gualpa

2022-06-24

1. Introducción:

Antes debemos de tener en cuenta el concepto de correlación espacial ya que está relacionado con el índice de Moran partiendo de lo dicho podemos decir de manera simple que la auto correlación espacial nos ayuda a entender el grado en que un objeto es similar a otros objetos cercanos ,existen dos tipos de auto correlación la positiva y la negativa, la positiva cuando existen valores similares y estos se agrupan en un mapa a diferencia de la negativa que es cuando valores disimiles se agrupan de igual manera en un mapa , entonces podemos decir que si existe auto correlación en un determinado mapa se dice que infringe en el hecho de que las observaciones son independientes unas de otras . Conocido el concepto podemos decir que el Índice de Moran mide la auto correlación espacial, la presente investigación de realizo con el fin de comprender de una mejor manera el tema planteado como su concepto, utilidades, etc.

2. Objetivos:

2.1 Objetivo General:

Definir el concepto del Índice de Moran como su importancia y sus diferentes utilidades

2.2 Objetivos Específicos

• Conocer su desarrollo Matemático con sus utilidades

• Indagar diversas fuentes de información para su mejor comprensión del mismo

• Describir su fórmula matemática como su concepto

3. Desarrollo:

Concepto:

Podemos decir que es una medida estadística que fue desarrollada por Alfred Pierce Moran (1950) está a su vez analiza la forma integral de las variaciones de auto correlación espacial entre valores vecinos más cercanos, en este caso cuando los valores se agrupan estamos hablando de una autocorrelacion positiva pero cuando los datos se dispersan entonces nos encontramos en un caso de autocorrelacion espacial negativa, finalmente existe un caso en el que los valores los podemos encontrar de manera dispersa o distribuidos de manera aleatoria entonces podemos decir que no existe autocorrelacion espacial en los valores .

Las características del conjunto de datos pueden ser de cualquier tipo son variables de escala pueden ser contaminantes, porcentajes de pobres, homicidios, esto es susceptible de analizar mediante del índice de Moran, entonces esta herramienta lo que calcula es una puntuación z y una puntuación p lo que indica si se rechaza la Ho, entonces la hipótesis nula establece que los valores de entidades están distribuidos en forma aleatoria a lo largo del área del estudio , por ello se dice que la puntuación z está basado en el cálculo de una hipótesis nula de aleatorización

Ejemplos de manera Gráfica

• Suponga que cada cuadrado del mapa representa un condado y que los condados con ingresos familiares promedio superiores a 50.000 dólares se muestran en azul.

I de Moran = 0:

El ingreso promedio de los hogares se distribuye aleatoriamente (es decir, grupos aleatorios en áreas aleatorias).

Fig.1 “Ingreso Familiar Aleatorio”

I de Moran = -1:

El ingreso familiar promedio está perfectamente disperso.

Fig.2 “Ingreso Familiar Disperso”

I = 1 de Moran:

El ingreso familiar promedio está perfectamente agrupado.

Fig.3 “Ingreso Familiar Agrupado”

Desarrollo Matemático

El índice de Moran se usa comúnmente como una medida de autocorrelación espacial para datos continuos, según la siguiente expresión:

\[I=\frac{n\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(X_{i}-\overline{X})(X_{j}-\overline{X})}{(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{ij})\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}\]

Donde :

• \(n\) : es el número de observaciones (puntos o polígonos)

• \(\overline{X}\): es la media de la variable

• \(X_{i}\): es el valor de la variable en una ubicación particular

• \(X_{j}\): es el valor de la variable en otra ubicación es una ubicación de indexación de peso de i en relación con j

• \(W_{ij}\): son los elementos de la matriz W de los pesos espaciales que representan la relación geográfica entre todos los pares de puntos

El índice de Moran lo podemos utilizar para poder si los valores de una determinada muestra presentan una autocorrelación espacial en toda el área. Por otra parte cuando queremos calcular para subconjuntos de datos separados en este caso por una distancia (retraso), se lo puede aplicar localmente. Una vez que logramos obtener los resultados de los índices de Moran estos se los puede graficar contra la distancia, y esto nos daría como resultado un correlograma espacial.

• Las estadísticas I de Moran oscilan entre -1 y 1

• un valor cercano a 1 muestra una fuerte autocorrelación espacial positiva

• un valor cercano a -1 muestra una fuerte autocorrelación espacial negativa

• 0= sin autocorrelación espacial =independencia entre individuos= espacio geográfico neutral

(Beryl Britney Jackson, 2017)

En el caso que se presente bajo una hipótesis nula la media y la varianza de la distribución muestral se calcula de acuerdo a las siguientes expresiones:

\[E[I]=\frac{-1}{(n-1)}\] \[\sigma^{2}(I)=E[I^{2}]-(E[I])^{2} \]

Finalmente se puede estandarizar para puntajes de la distribución normal mediante la siguiente expresión

\[Z(I)=\frac{I-E[I]}{\sqrt{\sigma ^{2}(I)}}\] (Yamamoto, 2020)

Finalmente se presenta un ejemplo usando R

Para calcular el índice de Moran en R debemos usar la siguiente librería con los siguientes datos que consta de una SpatialPolygons DataFramecapa vectorial s1, que representa los datos de ingresos y educación agregados a nivel de condado para el estado de Maine se los puede adquirir mediante la siguiente dirección url.

load(url("https://github.com/mgimond/Spatial/raw/main/Data/moransI.RData"))

datos <- s1

library(spdep)
nb <- poly2nb(datos, queen=TRUE)

A continuación, debemos asignar pesos a cada polígono vecino. En nuestro caso, a cada polígono vecino se le asignará el mismo peso

lw <- nb2listw(nb, style="W", zero.policy=TRUE)

El interés para este ejercicio es Income(per cápita, en unidades de dólares).

moran.test(datos$Income,lw)

    Moran I test under randomisation

data:  datos$Income  
weights: lw    

Moran I statistic standard deviate = 2.2472, p-value = 0.01231
alternative hypothesis: greater
sample estimates:
Moran I statistic       Expectation          Variance 
       0.28281108       -0.06666667        0.02418480 

Utilidades

El I de Moran es ampliamente utilizado en los campos de geografía y ciencia de los CI. Algunos ejemplos incluyen:

• El análisis de las diferencias geográficas en las variables de salud.

• Se ha utilizado para caracterizar el impacto de las concentraciones de litio en el agua pública en la salud mental.

• También se ha utilizado recientemente en dialectología para medir la importancia de la variación del idioma regional.

Potenciales Aplicaciones

Ayudar a identificar una distancia de la vecindad adecuada para diversos métodos de análisis espacial al buscar la distancia donde la autocorrelación espacial es mayor.

Medir tendencias generales con respecto a la segregación étnica o racial a lo largo del tiempo: ¿la segregación aumenta o disminuye?

Resumir la difusión de una idea, enfermedad o tendencia en el espacio y el tiempo:

¿la idea, enfermedad o tendencia permanece aislada o concentrada, o se propaga y se vuelve más difusa?

4. Conclusiones

• El índice de Moran lo podemos utilizar para poder si los valores de una determinada muestra presentan una autocorrelación espacial en toda el área

• El índice de Moran es muy importante ya que se lo puede aplicar en diferentes campos

• Existen dos tipos de autocorrelacion la positiva y negativa

5. Referencias Bibliográficas

I de Moran. (2019). En Wikipedia, la enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=I_de_Moran&oldid=118087250

gabri. (2018, marzo 29). ¿Qué es la autocorrelación espacial? El blog de franz. https://acolita.com/que-es-la-autocorrelacion-espacial/

Yamamoto, J. (2020, noviembre 18). Como Calcular o Índice Moran – Autocorrelação Espacial -. GEOKRIGAGEM. https://geokrigagem.com.br/como-calcular-o-indice-moran-autocorrelacao-espacial/

Beryl Britney Jackson. (2017, noviembre). Global and local spatial autocorrelation—Ppt download. https://slideplayer.com/slide/13720063/

¿Qué es el I de Moran? (Definición y ejemplo) en 2022 → STATOLOGOS®. (2021, mayo 8). Statologos: El sitio web para que aprendas estadística en Stata, R y Phyton. https://statologos.com/morans-i/