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Trabajo de Estadística Espacial.

1. Introducción e Historia.

El estadístico de Morán fue creado en diferentes índices para medir la AE. Fue establecido por Moran en 1950 y se fue mejorando a través de los años y usado constantemente en los años noventa.

El Índice de Moran o “I de Moran”, es uno de los índices estadísticos de LISA (Local Indicators of Spatial Association, por sus siglas en inglés o, Análisis de Patrones Locales de Asociación Espacial) esto sirve para medir auto correlación espacial. el I de Morán es, especificamente, el coeficiente de correlación de Pearson con una matriz de pesos que define definida por el usuario que mantiene el rango entre -1 y +1.

Para este índice se asignan valores de 1 a los vecinos de cada unidad espacial y 0 al resto. Además, es de los índices más sencillos de realizar ya que consiste de operaciones aritméticas simples. El Índice de Morán nos da la posibilidad de entender cómo ciertos procesos demográficos y sociales ocurren de manera distinta en diversas regiones y hasta qué punto las localidades cercanas se ven influenciadas (geográficamente) en su caracterización socioeconómica.

2. Objetivos.

Objetivo General.

Consultar sobre el Índice de Morán revisando Artículos Científicos todo esto en relación al estudio de la Estadistica Espacial.

Objetivos Específicos.

3. Desarrollo de cada Actividad.

La herramienta Autocorrelación espacial (I de Moran global) mide la autocorrelación espacial basada en las ubicaciones y los valores de las entidades simultáneamente. Dado un conjunto de entidades y un atributo asociado, evalúa si el patrón expresado está agrupado, disperso o es aleatorio. La herramienta calcula el valor del Índice I de Moran y una puntuación z y un valor P para evaluar la significancia de ese índice. Los valores P son aproximaciones numéricas del área debajo de la curva de una distribución conocida, limitada por la estadística de prueba.

\[ I=\frac{n\sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}w_{i,z} z_{i}z_{j}}{S_{0} \sum_{i=1}^{n} z_{i}^{2}} \]

Donde cada función de la formula representa lo siguiente.

\[ n\sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}w_{i,z} z_{i}z_{j} \]

Se refiere a la suma de elementos de la matriz de pesos dadas las observaciones de z, correspondientes a las desviaciones de la media:

\[ (X_{i}-x) o (X_{j}-x) \]

Donde Xi es el valor de la variable en una unidad espacial determinada y Xj es el valor de la variable en otra localización, normalmente las vecinas a Xi.

\[ S_{o} \]

Corresponde a la sumatoria total de la matriz de productos y estadísticos con las colindancias totales.

Tests de significancia para la autocorrelación espacial

Para definir si una AE es significativa se realiza un test de hipótesis nula, y así poder comprobar si la configuración espacial de la variable se produce aleatoriamente, o dicho de otra manera, si se cumplen o no los supuestos del modelo a partir de estimar si un estadístico muestral difiere significativamente de lo esperado aleatoriamente.

La forma más directa y sencilla para poner a prueba la hipótesis de AE exhibida por una muestra de n casos, es que ésta fue obtenida de una población con distribución normal donde la autocorrelación es cero, es decir, aleatoria.

Figura 1: Moran Scatterplot

Por lo tanto, si el resultado se aleja del cero, entonces, se puede decir que es significativo.

En este sentido, el valor esperado de I de Moran es:

\[ E(i)=\frac{-1}{(n-1)} \]

El p-valor es el resultado que nos brinda el test de hipótesis. Si el nivel de significancia es superior al p-valor, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa. Por el contrario, si se comprueba la hipótesis nula se puede decir que la configuración espacial se produce de forma aleatoria.

\[ E[I]=-w/(n-1) \]

Índices de autocorrelación espacial.

La medición de la correlación que una misma variable tiene en diferentes unidades espaciales contiguas en una perspectiva horizontal da lugar a una de estas tres posibilidades:

Figura 2: Tipos de autocorrelación espacial

Aplicación del Indice de Morán.

Los usos del Índice de Morán son muy utilizados para determinar temas de ausentismos electorales, estudios Geográficos y para medir Índices de Empleos etc.

Ejemplo en R-studio

Se hara uso de una data frame con respecto a la materia orgánica.

Materia.O=rnorm(n=150, mean = 3, sd = 0.5)
xy=expand.grid(x=seq(1,10), y=seq(1,15))

Se crea un plot con los datos de distribución espacial de materia orgánica un data frame y un ggplot para ver la distribución.

plot(xy,col=Materia.O, pch=16,main = "Distribución espacial de materia Orgánica")

Figura 3:Distribución espacial de materia Orgánica.

Para determinar las autocorrelaciones se es necesario dar las medidas de distancia en la matirz de datos, utilizando una medida específica. Posteriormente estos son invertidos, lo que quiere decir que cada dato va a ser divisor de 1 y se regresan los datos diagonales, como se muestra a continuación.

mo.dist<-as.matrix(dist(cbind(xy)))
mo.dist.inv=1/mo.dist
diag(mo.dist.inv)<-0
mo.dist.inv[1:10, 1:10]
##            1         2         3         4         5         6         7
## 1  0.0000000 1.0000000 0.5000000 0.3333333 0.2500000 0.2000000 0.1666667
## 2  1.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5000000 0.3333333 0.2500000 0.2000000
## 3  0.5000000 1.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5000000 0.3333333 0.2500000
## 4  0.3333333 0.5000000 1.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5000000 0.3333333
## 5  0.2500000 0.3333333 0.5000000 1.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5000000
## 6  0.2000000 0.2500000 0.3333333 0.5000000 1.0000000 0.0000000 1.0000000
## 7  0.1666667 0.2000000 0.2500000 0.3333333 0.5000000 1.0000000 0.0000000
## 8  0.1428571 0.1666667 0.2000000 0.2500000 0.3333333 0.5000000 1.0000000
## 9  0.1250000 0.1428571 0.1666667 0.2000000 0.2500000 0.3333333 0.5000000
## 10 0.1111111 0.1250000 0.1428571 0.1666667 0.2000000 0.2500000 0.3333333
##            8         9        10
## 1  0.1428571 0.1250000 0.1111111
## 2  0.1666667 0.1428571 0.1250000
## 3  0.2000000 0.1666667 0.1428571
## 4  0.2500000 0.2000000 0.1666667
## 5  0.3333333 0.2500000 0.2000000
## 6  0.5000000 0.3333333 0.2500000
## 7  1.0000000 0.5000000 0.3333333
## 8  0.0000000 1.0000000 0.5000000
## 9  1.0000000 0.0000000 1.0000000
## 10 0.5000000 1.0000000 0.0000000

Con los datos propuestos se puede realizar el Índice de Morán.

library(ape)
## Warning: package 'ape' was built under R version 4.0.5
Moran.I((Materia.O), mo.dist.inv)
## $observed
## [1] 0.00210604
## 
## $expected
## [1] -0.006711409
## 
## $sd
## [1] 0.007681071
## 
## $p.value
## [1] 0.2509911

Para este caso, se puede observar que los datos presentan cierta dispersión en su distribución pero que se pueden clasificar como datos sin dependencia espacial o que la relación es mínima.

4. Conclusiones.

5. Bibliografía.