1. Introducción

La autocorrelación espacial es un método que expresa el comportamiento de la información georreferenciada a diferentes escalas, en particular el tipo de asociación existente entre unidades espaciales vecinas, donde, un método para medir esta clase de autocorrelación se llama índice de Moran. El presente trabajo de investigación dará a conocer información que detalla acerca de este tipo de índice, como por ejemplo: su concepto, desarrollo matemático y utilidades.

2. Objetivos

2.1 Objetivo General

Analizar la distintiva información relacionada con el índice de Moran mediante la utilización de diferentes fuentes de investigación.

2.2 Objetivos Específicos

  • Investigar en diversas fuentes bibliográficas como: libros, portales, páginas web entre otros, información acerca del índice de Moran.
  • Elaborar una lectura diligente con la ayuda de la información recogida en estudios anteriores.

3. Desarrollo

Es posible afirmar que tres de los índices globales más empleados por la comunidad académica son el I de Moran, c de Geary y G de Getis y Ord. El I de Moran es uno de los índices más conocidos y extendidos, de hecho, es el más utilizado en gran parte de los estudios publicados en revistas de geografía y estudios ambientales.

Concepto

El Índice Global de Moran es una medida estadística desarrollada por Alfred Pierce Moran (1950) que analiza de forma integral las variaciones de autocorrelación espacial entre valores vecinos más cercanos, los mismo que pueden clasificarse como positivo, negativo y sin autocorrelación espacial. Cuando los valores tienden a agruparse, se habla de una autocorrelación espacial positiva, pero si estos valores se dispersan, entonces se convierte en una autocorrelación negativa, y si los valores se encuentran dispersos o distribuidos de forma aleatoria, entonces no hay autoccorelación espacial entre los valores analizados.

Patrones espaciales hipotéticos de acuerdo al valor del I de Moran

  • Dispersión Perfecta

Fig.1 “Dispersión Perfecta”

En la imagen de arriba, los cuadrados en blanco y negro tienen un patrón definido y están perfectamente dispersos. El valor de Moran sería igual a -1.

  • Perfecta aleatoriedad

Fig.2 “Dispersión Aleatoria”

Si los cuadrados estuvieran realmente dispersos al azar, el valor de Moran sería 0.

  • Clustering perfecta

Fig.3 “Agrupación Perfecta”

Esta imagen muestra que los cuadrados blancos y los cuadrados negros ocupan la mitad del área, a ambos lados del centro. Esta es una agrupación perfecta de valores similares, lo que da un valor de Moran de +1.

Desarrollo Matemático

El Índice de Moran es el principal índice para medir la autocorrelación espacial. Su propósito es comparar los valores de cada localización con los valores presentados por las locaclizaciones contiguas en base a la siguiente fórmula:

\(I=\frac{n\sum_{(c)}^{}(x_{i}-\bar{x})(x_{j}-\bar{x})}{J\sum(x-\bar{x})^{2}}\)

En dónde: \(I=\) es el valor de autocorrelación

\(n=\) número de unidades geográficas en el mapa

\(J=\) la cantidad de límites

\(x=\) el valor de la variable en la unidad espacial.

\(\bar{x}=\) es la media

\(x_{i}\) y \(x_{j}=\) son los valores de unidades espaciales limítrofes.

El coeficiente de índice de Moran, se ajusta a la prueba de significancia estadística de valores Z, suponiendo una distribucipon normal. El valor de z es una desviación estándar, medida entre la diferencia de un valor de la variable y el promedio. El resultado de esta fórmula arroja una regla de decisión que valida la hipótesis de investigación de la siguiente forma:

  • Ho: Índice Moran = 0 \(\rightarrow\) Ho: Índice Global de Moran es igual a cero, entonces no existe autocorrelación espacial, más bien se observa una distribución aleatoria de los valores en el espacio geográfico, por consiguiente se acepta la hipótesis nula. Es así que para verificar el nivel de significancia se suele utilizar como referencia el valor de 0.05, ya que si el valor de la probabilidad p es menor que o igual a 0.05, se rechaza la hipótesis.
  • H1: Índice Moran \(\neq\) 0 \(\rightarrow\) H1: Índice Global de Moran no es igual a cero, por tanto si existe existe autocorrelación espacial, entonces es posible afirmar que la distribución de los valores no se distribuyen aleatoriamente, sino pueden encontrarse agrupados en el espacio geográfico. Es así que mientras más pequeño sea el valor de p, mayor probabilidad hay que exista autocorrelación espacial.

Utilidades

La significatividad del índice I se obtiene con la aplicación de un test de normalidad a partir de contrastar los valores del índice de Moran observado 0(I) y el que se produciría aleatoriamente, considerado como esperado E(I):

\(E(I)=\frac{-1}{n-1}\)

Con la finalidad de obtener un puntaje normalizado en una hipótesis nula de normalidad se calcula el desvío estándar de la siguiente forma:

\(\sigma_{I,n}=\sqrt{\frac{n^2J+3J^2-n\sum L^2}{J^2(n^2-1)}}\)

Donde \(\sigma_{I}\) es el desvío estándar de I, n la cantidad de unidades espaciales,J la cantidad de límites y L la cantidad de límites que tiene una unidad espacial. Con la finalidad de obtener un puntaje normalizado en una hipótesis nula de aleatoriedad se calcula el desvío estándar de la siguiente forma:

\(\sigma_{I,a}=\sqrt{\frac{n[J(n^2+3+3n)+3J^2-n\sum L^2]-k[J(n^2-n)+6J^2-2n\sum L^2]}{J^2(n-1)(n-2)(n-3)}}\)

Donde se agrega k como curtosis de la variable x, como grado de concentración de los valores de una variabale en un sector de la distribución de frecuencias.

\(k=\frac{\sum (x-\bar{x})^4}{n\sigma ^4}\)

Donde los valores de diferencia respecto de la media se elevan a la cuarta potencia, \(\sigma\) es el desvío estándar y n la cantidad de valores.

Al obtenerse estos valores puede obtenerse un puntaje z de estandarización utilizando el desvío estándar para ambos casos.

\(z=\frac{I-E(I)}{\sigma_{I}}\)

Un valor positivo muestra una tendencia hacia la agrupación y un valor negativo a la dispersión y una vez obtenido el valor estandarizado se compara el resultado con los valores críticos de una variable normal estandarizada z, de esta manera se podrán ver sus niveles de significancia con la finalidad de comprobar su apartamiento a la situación de aleatoriedad y rechazar una hipótesis nula de \(H_{0}\) de normalidad o \(H_{0}\) de aleatoriedad frente a \(H_{1}\) de no normalidad y \(H_{1}\) de no aleatoridad. (Significatividad que comprueba la existencia de autocorrelación espacial) (Buzai y Galbán, 2021).

CONCLUSIONES

El Índice de Moran es el mejor índice para determinar la autocorrelación espacial, es por eso que muchos estudios que engloba temas de geografía utilizan este índice para poder desarrollar sus respectivas investigaciones sin ningún contratiempo.

La finalidad del índice de Moran no es mas que comparar los valores de cada ubicación con los valores presentados por las ubicaciones fronterizas.

BIBLIOGRAFÍA