Indice 1. OBJETIVOS 2. INTRODUCCIÓN 3. DESARROLLO 4. CONCLUSIÓN 5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

  • Determinar el principal uso que tiene el índice de Morán a traves de una revisón bibliográfica con el fin de saber su aplicación en el estudio de datos de tipo espaciales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

  • Conocer la formula que determina el índice global de Morán.
  • Establecer mediante un ejemplo como determinamos el índice de Morán.
  • Indagar la información y los principales usos del índice de Morán.

INTRODUCCIÓN

El índice de Morán es quel que mide la autocorrelación espacial basada en las ubicaciones y los valores de las entidades simultáneamente. Dado un conjunto de entidades y un atributo asociado, evalúa si el patrón expresado está agrupado, disperso o es aleatorio, cuando los valores tienden a agruparse, se habla de una autocorrelación espacial positiva, pero si estos valores se dispersan decimos que es una autocorrelación negativa y si los encontramos distribuidos de forma aleatoria, entonces no hay autocorrelación espacial entre los valores analizados.

DESARROLLO

El estadístico (índice) \(I\) de Morán se define como el cociente del producto de la variable de interés y su retardo (lag) de la forma:

\(I=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{ij}}\frac{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(y_i-\bar{y})(y_j-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}\)

Este índice toma un valor comprendido entre \(-1\) y \(1\). Si es \(I=0\) interpretamos que los datos están distribuidos al azar; si es positivo habrá concentración y, si toma un valor negativo, entendemos que hay una dispersión mayor de la que tendríamos si los datos se distribuyeran al azar. El valor esperado del índice \(I\), bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación espacial es \(E[I] = -\frac{1}{(n-1)}\). Habitualmente se calculan los valores de este índice, de su media, de su varianza, de la desviación estándar \(\frac{I-E(I)}{\sqrt{Var(I)}}\), asi como del p-valor del test de la hipótesis nula de la ausencia de autocorrelación espacial. (Cabrero Ortega y Garcia Perez, 2022)

La siguiente tabla muestra los patrones espaciales y los criterios de autocorrelación vinculados al \(I\) de Morán:

Patrones espaciales

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Autocorrelación.espacial.positiva Autocorrelación.espacial.negativa Ausencia.de.autocorrelación
I de Moran teórico
I > 0 I < 0 I = 0
I de Moran en la práctica
I > 0.35 I < -0.35 -0.35 <= I <=0.35

¿Qué es el índice de Morán?

Es un coeficiente que mide la autocorrelación espacial basada en las ubicaciones y los valores de las entidades simultáneamente. Dado un conjunto de entidades y un atríbuto asociado, evalúa si el patrón expresado está agrupado, disperso o es aleatorio.

La autocorrelación es multi-direccional y multi-dimensional, es similar a los coeficientes de correlación. Sin embargo, mientras que otros coeficientes miden la correlación perfecta a ninguna correlación, el \(I\) de Morán es ligeramente diferente (debido a los cálculos espaciales que involucra).

Aplicación

El índice \(I\) de Morán es uno de los más conocidos y extendidos, está fundamentado en los trabajos de Morán(1948), y fue potenciado posteriormente por Geary(1954), aunque su implementación en diferentes campos del saber, como economía regional, economía urbana y modelos de precios han llevado a desarrollar algunos trabajos como el de Wilt et al.(2018) quienes realizaron un análisis espacio temporal de los efectos del huracán Sandy en pruebas de VIH mediante \(I\) de Morán para detectar autocorrelación espacial en las zonas estadounidenses afectadas; o el de Yuan et al. (2018) quienes analizaron la contaminación con tierras raras de los suelos urbanos en Londres, detectando hotspots a través del índice en mención.(Bravo López, 2021)

Índices estadísticos de autocorrelación, criterios de vecindad y matriz de contigüidad

La autocorrelación espacial permite comprender la variación de un fenómeno en un marco geográfico de análisis. Si el fenómeno analizado tiende a agruparse en zonas uniformes, es decir, si tiende a conformar conglomerados o clústers, entonces se evidencia la existencia de autocorrelación positiva véase Figura a .Por el contrario, si el fenómeno tiende a estar disperso, entonces la autocorrelación espacial es negativa,aqui el atributo está presente en un determinado lugar, este tendrá a ser diferente \((\pm{\sigma})\) en los lugares vecinos véase Figura b.Por último cuando el fenómeno se comporta de forma aleatoria y no se identifica un comportamiento definido o estructurado, se dice que no existe autocorrelación espacial. En términos prácticos, este último caso implica que la presencia o ausencia de un atributo en un lugar determinado no influye, aparentemente en la medida de dicho atributo en los lugares vecinos véase Figura c.(Siabato y Guzmán-Manrique, 2019)

Figura: Patrones espaciales y su relación con la autocorrelación espacial

Ejemplo

Se hara uso de una data frame con respecto a la materia orgánica

set.seed(12345)
MO=rnorm(n = 150,mean = 3,sd = 0.5)
xy=expand.grid(x=seq(1,10),y=seq(1,15))

Se crea un plot con los datos de distribución espacial de materia orgánica un data frame y un ggplot para ver la distribución

plot(xy,col=MO,pch=19, main = "Distribución espacial de materia Orgánica")

dfmo<-data.frame(MO, xy)
head(dfmo)
        MO x y
1 3.292764 1 1
2 3.354733 2 1
3 2.945348 3 1
4 2.773251 4 1
5 3.302944 5 1
6 2.091022 6 1
ggplot(dfmo, aes(x = x, y=y, fill = MO))+
  geom_tile( size = 3)

Se genera la matriz con luego el inverso de la misma y como se genera un infinito entonces lo igualamos a cero para posteriormente calcular el Índice de Moran

mdistancias <- as.matrix(dist(cbind(xy$x, xy$y)))#Matriz de distancias
mdistanciasinv <- 1/mdistancias #inverso de la matriz de las distancias
diag(mdistanciasinv) <- 0 #pasar la diagona de infinito a cero
 
mdistanciasinv[1:5, 1:5]
          1         2   3         4         5
1 0.0000000 1.0000000 0.5 0.3333333 0.2500000
2 1.0000000 0.0000000 1.0 0.5000000 0.3333333
3 0.5000000 1.0000000 0.0 1.0000000 0.5000000
4 0.3333333 0.5000000 1.0 0.0000000 1.0000000
5 0.2500000 0.3333333 0.5 1.0000000 0.0000000
Índice de Morán
Moran.I(MO, mdistanciasinv) 
$observed
[1] -0.009650003

$expected
[1] -0.006711409

$sd
[1] 0.007694112

$p.value
[1] 0.7025151
Observación

De acuerdo al pvalor se acepta la hipotesis nula y se dice que no hay dependencia espacial

CONCLUSIÓN

Se determino que el índice de Morán \((I)\) mide la autocorrelación espacial basada en las ubicaciones ya que dado un conjunto de entidades y un atributo asociado, evalua el patrón expresado con el fin de conocer si existe una autocrrelación espacial positiva, negativa o que no exista autocorrelación alguna, este índice es aplicado en areas como: la economía regional, la economía urbana y los modelos de precios

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

  • Cabrero Ortega, M. Y., y Garcia Perez, A. (2022). Analisis estadistico de datos espaciales con QGIS y R. UNED - Universidad Nacional de Educacion a Distancia. https://elibro.net/es/lc/espoch/titulos/218566

  • Bravo López, P. E. (2021). Revisión de literatura: Autocorrelación Espacial - Índices para determinar su existencia en datos geográficos. Universidad-Verdad, 78, 48-61. https://doi.org/10.33324/uv.v1i1.351

  • Siabato, W., y Guzmán-Manrique, J. (2019). La autocorrelación espacial y el desarrollo de la geografía cuantitativa. Cuadernos de Geografía: Revista Colombiana de Geografía, 28(1), 1-22. https://doi.org/10.15446/rcdg.v28n1.76919