股价波动率建模的一个例子：基于ARCH模型
钟强
2015年5月30日
引言
金融中一个重要度量是与资产相关的风险，而资产波动率是最常用的风险度量。然而，资产波动率的类型有多种。波动率是期权定价和资产分配中得一个关键颜色。它在计算风险管理中风险值时有重要作用。一些波动率指数已经成为一种金融工具。由芝加哥期权交易所（CBOE）编制的VIX波动率指数于2004年3月26日进行期货交易。波动率在实际上是不能被观测到的，我们可以观测到的是资产的价格和它的衍生品价格，可以从这些观测到的价格来估计波动率。波动率不能直接观测的性质在波动率研究和建模中有非常重要的含义
文献综述
Engle（1982）提出的自回归条件异方差(ARCH)模型是一元波动率模型，他是针对股票市场波动性所表现出的时变特点与“聚集效应”。另外，有 Nelson（1991）提出的指数GARCH模型，都是对波动率进行建模的典范。本文将讨论简单的波动率模型的一些应用，主要是面对股票价格时间序列的建模，包括ARCH效应的建议，ARCH模型的建立。
数据选取
笔者选取1973年1月到2009年12月，英特尔公司（INTC）股票的每月收盘价数据，同时也收集同期的S&P指数数据，前六个数据样本如下所列：
## date intc sp
## 1 19730131 0.010050 -0.017111
## 2 19730228 -0.139303 -0.037490
## 3 19730330 0.069364 -0.001433
## 4 19730430 0.086486 -0.040800
## 5 19730531 -0.104478 -0.018884
## 6 19730629 0.133333 -0.006575模型分析
①模型的结构
用\(r_{t}\)表示某项资产在\(t\)时刻的对数收益率。波动率研究的基本思想是，序列\({r_{t}}\)是前后不相关的或低阶前后相关的，但是序列不是独立的。作为说明，考虑Intel公司股票从1973年1月到2009年12月的月对数收益率，共有444个观察值，下图给出了该对数收益率的时序图。 
收益率序列看起来是平稳且随机的。接下来，我们给出其样本自相关函数（ACF）,同时也作出对数收益率的绝对值序列\(｜r_{t}｜\)的样本自相关函数。
对数收益率序列的ACF显示除了在滞后为7和14时有较小相关性之外，没有显著的序列前后相关性，并且序列\(r_{t}\)的Ljung-Box统计量表明 18.6760744,相应的ｐ值为 0.0966514.而对数收益率的绝对值序列\(｜r_{t}｜\)显示具有序列相关性，并且序列\(｜r_{t}｜\)的Ljung-Box统计量表明 124.9064353,相应的ｐ值接近于 0。因此，Intel公司股票月对数收益率序列是前后不相关的，但不是独立的。我们用ARCH模型去刻画收益率序列的这种不独立性。 为了把波动率模型放在一个适当的框架中，考虑给定\(F_{t-1}\)时\(r_{t}\)的条件均值和条件方差，即：\[\mu_{t}=E(r_{t}|F_{t-1}),\sigma_{t}^2=Var(r_{t}|F_{t-1})=E[(r_{t}-\mu_{t})^2|F_{t-1}]\] 其中，\(F_{t-1}\)是在\(t-1\)时刻已知的信息集。样本公司的股票收益率序列\(r_{t}\)即使有前后相关性也很弱。我们假定\(r_{t}\)服从简单的ARMA(p,q)模型，Ljung-Box统计量表明Intel股票的月对数收益率序列没有序列相关性。我们对对数收益率序列进行单样本检验,确认序列\(r_{t}\)的均值显著不等于０.
## $statistic
## t
## 2.37881
##
## $p.value
## [1] 0.01779151更具体地说，检验\(H_{0}:\mu=0 和 H_{a}:\mu\neq0\)的ｔ比为2.3788，p值为0.01779.因此，对Intel公司股票的对数收益率，有\(r_{t}=\mu_{t}+\varepsilon_{t}\)，其中\(\mu_{t}=\mu\)为常数。
②ARCH效应的检验
对于Intel公司股票的月对数收益率序列，均值方程仅仅由一个常数构成。 记\(\varepsilon_{t}=r_{t}-\mu_{t}\)为均值方程的残差。平方序列\(\varepsilon^2_{t}\)可以用来检验条件异方差性，即ARCH效应，我们采用Mcleod和Li(1983)提出的将Ljung-Box统计量Ｑ\(Q(m)\)应用于序列\({\varepsilon^2_{t}}\)，该检验统计量的原假设是序列\({\varepsilon^2_{t}}\)前ｍ个间隔的ACF值都为０.\[\varepsilon^2_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\varepsilon^2_{t-1}+···+\alpha_{m}\varepsilon^2_{t-m}+e_{t},t=m+1,···,T\]
\(\varepsilon^2_{t}\)的Ljung-Box统计量\(Q(12)\)=92.938884，其ｐ值接近于０,因此表明有很强的ARCH效应。也可以用Engle的拉格朗日乘子法(m=12),archTest检验结果显示,F的值为4.978,相应的p值接近于0，进一步表明Intel公司股票对数收益率有很强的 ARCH效应。
③ARCH模型的建立
ARCH模型的基本思想是:1)资产收益率的扰动序列\(\varepsilon_{t}\)是前后不相关的，但不是独立的;2)\(\varepsilon_{t}\)的不独立性可以用其滞后值的简单二次函数来表述。ARCH(m)模型假定\[\varepsilon_{t}=\sigma_{t}\epsilon_{t},\sigma^2_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\varepsilon^2_{t-1}+···+\alpha_{m}\varepsilon^2_{t-m}\]，其中\({\epsilon_{t}}\)是均值为０、方差为１的独立同分布(iid)随机变量序列，且\(\alpha_{0}>0\),对\(i>0\)有\(\alpha_{i}\geq0\).系数\(\alpha_{i}\)必须满足一些正则性条件以保证\(\varepsilon_{t}\)的无条件方差是有限的。我们假定\(\epsilon_{t}\)服从标准正态分布。
上图给出了均值调整对数收益率的平方序列的样本ACF和PACF.从PACF图中，我们可以看出在间隔为１、２、３和１１上有显著的相关性。为了保持模型简单，我们对波动率建立一个ARCH(3)模型。相应的，为Intel公司股票的月对数收益率建立一个如下模型： \[r_{t}=\mu+\varepsilon_t,\varepsilon_{t}=\sigma_{t}\epsilon_{t},\sigma^2_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\varepsilon^2_{t-1}+\alpha_{2}\varepsilon^2_{t-2}+\alpha_{3}\varepsilon^2_{t-3}\] 假定\(\epsilon_{t}\)是独立同分布的标准正态序列。 我们得到的拟合模型为： \[r_{t}=0.0126+\varepsilon_t,\sigma^2_{t}=0.0104+0.2329\varepsilon^2_{t-1}+0.0751\varepsilon^2_{t-2}+0.0520\varepsilon^2_{t-3}\] 并且，各个参数估计值的标准误差分别是0.0055、0.0012、0.115、0.0473和0.0451,统计报告见附录。 可见，\(\alpha_{2}\)和\(\alpha_{3}\)的估计值在5%的水平下不是统计显著的。我们去掉两个不显著参数，简化模型为ARCH(1) ,重新得出如下拟合模型 \[r_{t}=0.0131+\varepsilon_t,\sigma^2_{t}=0.0110+0.3750\varepsilon^2_{t-1}\] 其中，各个参数估计值的标准误差分别是0.0053、0.0021和0.1126,并且所以估计都是高度显著的，统计报告见附录。
④ARCH模型的思考
我们对于Intel公司股票波动率建立的上述模型是不是就能充分地描述给定数据的条件异方差性了呢？ 以下，我们对残差进行标准化处理，得到序列{\(\hat{\varepsilon_{t}}\)}，{\(\hat{\varepsilon_{t}}\)}的样本ACF和样本PACF图如下所示： 
PACF图表明在标准化残差的平方序列的高阶间隔上仍然有序列相关性。{\(\hat{\varepsilon_{t}}\)}的Ljung-Box统计量为\(Q(10)=16.58\),\(p=0.08\);\(Q(20)=38.81\),\(p=0.007\).因此，如果只是关注低阶的模型，那么在５％水平下，以上所求的ARCH(1)模型就能充分地描述给定数据的条件异方差。
参考文献
[1] Ruey S.Tsay(美).金融数量分析导论：基于R语言 [2] 金丹. 沪深300指数的ARCH效应(J).湖北经济学院学报（自然科学版）,2008,(02). [3] 马国腾,赵妍. 沪深300股指收益率波动的实证分析—基于TARCH模型(J).经济论坛,2010,(02).
附录
##
## Title:
## GARCH Modelling
##
## Call:
## garchFit(formula = ~1 + garch(3, 0), data = intc, trace = F)
##
## Mean and Variance Equation:
## data ~ 1 + garch(3, 0)
## <environment: 0x7fa38604f200>
## [data = intc]
##
## Conditional Distribution:
## norm
##
## Coefficient(s):
## mu omega alpha1 alpha2 alpha3
## 0.012567 0.010421 0.232889 0.075069 0.051994
##
## Std. Errors:
## based on Hessian
##
## Error Analysis:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## mu 0.012567 0.005515 2.279 0.0227 *
## omega 0.010421 0.001238 8.418 <2e-16 ***
## alpha1 0.232889 0.111541 2.088 0.0368 *
## alpha2 0.075069 0.047305 1.587 0.1125
## alpha3 0.051994 0.045139 1.152 0.2494
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log Likelihood:
## 303.9607 normalized: 0.6845963
##
## Description:
## Thu Jul 9 17:55:42 2015 by user:
##
##
## Standardised Residuals Tests:
## Statistic p-Value
## Jarque-Bera Test R Chi^2 203.362 0
## Shapiro-Wilk Test R W 0.9635971 4.898647e-09
## Ljung-Box Test R Q(10) 9.260782 0.5075463
## Ljung-Box Test R Q(15) 19.36748 0.1975619
## Ljung-Box Test R Q(20) 20.46983 0.4289059
## Ljung-Box Test R^2 Q(10) 7.322136 0.6947234
## Ljung-Box Test R^2 Q(15) 27.41532 0.02552908
## Ljung-Box Test R^2 Q(20) 28.15113 0.1058698
## LM Arch Test R TR^2 25.23347 0.01375447
##
## Information Criterion Statistics:
## AIC BIC SIC HQIC
## -1.346670 -1.300546 -1.346920 -1.328481##
## Title:
## GARCH Modelling
##
## Call:
## garchFit(formula = ~1 + garch(1, 0), data = intc, trace = F)
##
## Mean and Variance Equation:
## data ~ 1 + garch(1, 0)
## <environment: 0x7fa384c93390>
## [data = intc]
##
## Conditional Distribution:
## norm
##
## Coefficient(s):
## mu omega alpha1
## 0.013130 0.011046 0.374976
##
## Std. Errors:
## based on Hessian
##
## Error Analysis:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## mu 0.013130 0.005318 2.469 0.01355 *
## omega 0.011046 0.001196 9.238 < 2e-16 ***
## alpha1 0.374976 0.112620 3.330 0.00087 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log Likelihood:
## 299.9247 normalized: 0.675506
##
## Description:
## Thu Jul 9 17:55:42 2015 by user:
##
##
## Standardised Residuals Tests:
## Statistic p-Value
## Jarque-Bera Test R Chi^2 144.3783 0
## Shapiro-Wilk Test R W 0.9678175 2.670321e-08
## Ljung-Box Test R Q(10) 12.12248 0.2769429
## Ljung-Box Test R Q(15) 22.30705 0.1000019
## Ljung-Box Test R Q(20) 24.33412 0.2281016
## Ljung-Box Test R^2 Q(10) 16.57807 0.08423723
## Ljung-Box Test R^2 Q(15) 37.44349 0.001089733
## Ljung-Box Test R^2 Q(20) 38.81395 0.007031558
## LM Arch Test R TR^2 27.32897 0.006926822
##
## Information Criterion Statistics:
## AIC BIC SIC HQIC
## -1.337499 -1.309824 -1.337589 -1.326585