Pravdepodobnosť
Caroline Sajterová
19 6 2022
Obsah
2.1Klasická definícia pravdepodobnosti
2.2Štatistická definícia pravdepodobnosti
2.3Axiomatická definícia pravdepodobnosti/Axiómy
5.Záver
6.ZDROJE
Úvod
Pravdepodobnosť je hodnota vyčísľujúca istotu resp. neistotu výskytu určitej udalosti. Je to teda počet pravdivých udalostí k počtu možných udalostí. Skúma ju teória pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti poskytuje exaktné metódy umožňujúce zahrnúť do procesu získavania a analýzy dát vedomosti, kvantifikovať neistotu a odvodiť uzávery pre rozhodovanie. Používajú sa vo všetkých oblastiach ľudskej činnosti, ktorých cieľom je získať z dát užitočnú informáciu, napríklad vo všetkých prírodných a v mnohých spoločenských vedách, v medicíne, vo finančnej a poistnej matematike, v strojovom učení a umelej inteligencii.
Vysvetlenie pojmov
Pred tým, než začneme samotné príklady a definície musíme si zadefinovať pár termínov a to:
Náhodná udalosť je taká udalosť (výsledok experimentu), ktorá pri existencii určitého súboru podmienok môže alebo nemusí nastať. Extrémne prípady náhodnej udalosti: Istá udalosť. Nemožná udalosť.
Extrémne udalosti (pre hod kockou):
Padnutie niektorého z čísiel 1 až 6 … istá udalosť A5= \(\Omega\)
Padnutie čísla 7 … nemožná udalosť
A6=∅ (prázdna množina)
Elementárna udalosť. Je udalosť, ktorá môže nastať ako bezprostredný výsledok pokusu. Označujeme ju \(\omega\).
Istá udalosť: A= \(\Omega\) (udalosť, ktorá obsahuje všetky elementárne udalosti).
Nemožná udalosť: A=∅ (prázdna množina).
Vylučujúce sa udalosti A a B: Náhodné udalosti sa vylučujú, ak nemajú spoločnú žiadnu elementárnu udalosť A∩B=∅ (disjunktné udalosti).
Takže základy pre pochopenie ďalších pojmov by sme mali mať zasebou a môžeme sa ísť venovať ´skutočnému problému´.
Pravdepodobnosť
Ako prvé si poďme zadefinovať pravdepodobnosť a čo vlastne môžeme vďaka nej robiť.
Náhodná udalosť závisí od náhody (komplexu nám neznámych príčin, ktoré ovplyvňujú pokus). Z tohto dôvodu nemôžeme vopred určiť výsledok konkrétneho pokusu. Pri mnohonásobnom opakovaní pokusov sa však prejavia určité zákonitosti, kedy získavame bližšiu informáciu o možnom výsledku.
Pravdepodobnosť má tri definície
Klasická definícia pravdepodobnosti
1. Klasická
\[ \begin{eqnarray} P(A)= {\frac{m}{n}} \end{eqnarray} \]
kde m predstavuje počet priaznivých výsledkov experimentu (to čo chceme čiže napríklad že pri hode mincou padne hlava)
kde n je počet všetkých elementárnych udalostí (samotný počet hodu mincou)
-Vychádza z objektívnych vlastností skúmaných udalostí a možno ju stanoviť ešte pred uskutočnením pokusu.
-Dá sa určit len pri konečnom počte pokusov ktoré majú rovnakú pravdepodobnosť.
Štatistická definícia pravdepodobnosti
2. Štatistická
\[ \begin{eqnarray} P(A)= \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{m}{n}} \end{eqnarray} \]
n je počet výsledkov realizovaného experimentu
m počet zaznamenaných priaznivých experimentov
-Štatistická definícia odhaduje hodnotu pravdepodobnosti na základe výsledkov realizovaného experimentu, merania, štatistického prieskumu a podobne.
Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je mierou jej uskutočnenia = pravdepodobnostná miera
Axiomatická definícia pravdepodobnosti/Axiómy
3. Axiomatická
Pravdepodobnostá miera je množinová funkcia definovaná na pravdepodobnostom poli S, jej vlastnosti sú stanovené pomocou troch axióm:
Axióma I: Každej náhodnej udalosti A odpovedá určité číslo P(A) (Pravdepodobnosť udalosti) také, že \[\ 0\le P(A)\le 1 \]
Axióma II Pravdepodobnosť istej udalosti sa rovná 1, P(\(\Omega\))=1
Axióma III Pravdepodobnosť súčtu konečného (alebo spočítaľného) počtu náhodných udalostí, ktoré sa navzájom vylučujú, je rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: \[ \begin{eqnarray} P(U_aA_n)= \sum_n P(A_n) \end{eqnarray} \] …tzv. aditivita pravdepodobnosti
Príklad A
Začneme jednoduchým príkladom
Vypočítajte hodnotu pravdepodobnosti, že pri 6 hodoch kockou padnú čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6
- V ľubovolonom poradí
tento výpočet je vcelku jednoduchý a stačí nám len násobiť pravdepodobnosti
\[ \begin{eqnarray} P(A_1)= {\frac{1}{6}}* {\frac{2}{6}}* {\frac{3}{6}}* {\frac{4}{6}}* {\frac{5}{6}}* {\frac{6}{6}}= 0.0154321*100 = 1.5 \% \end{eqnarray} \]
- Za sebou (tento výpočet je o niečo zložitejší)
\[ \begin{eqnarray} P(A_1)= {\frac{1}{6}}^6 = 0.00002143*100 = 0.0021\% \end{eqnarray} \]
Príklad B
Poďme skúsiť hádzať mincou, ako to bude vyzerať pri 10 hodoch, 100 hodoch a 1000 hodoch? V tomto prípade uvažujeme že obe starany mince majú rovnakú pravdepodobnosť toho že padnú, podľa štatistických predpokladov by sa v nekonečne mala ukázať pravdepodobnosť skutočne 50/50, poďme to overiť.
Hod mincou 10 krát
library("ggplot2")
coin <- c("hlava", "symbol")
one_coin <- sample(coin, 1, replace = TRUE)
simulácia <-replicate(10, sample(coin, 1, replace = TRUE))
df <- data.frame(simulácia)
ggplot(df, aes(x = simulácia)) +
geom_bar() + ggtitle("Rozdolenie desiatich hodov mincou") + theme(axis.text.x = element_text(angle = 270, vjust = 0.33))
Hod mincou 100 krát
Hod mincou 1000 krát
Ako môžeme vidieť podľa grafov čím viac by sme hádzali mincou tým viac by sme sa priblížili k pravdepodobnosti 50/50. Tieto pravdepodobnosti by sa však stretli až v nekonečne.
Záver
Mojim cieľom v tomto projekte bolo priblížiť a vysvetliť základné princípy teórie pravdepodobnosti a taktiež názorne ukázať ich využitie na jednoduchých príkladoch. Chcela som urobiť prehľad niektorých základných pojmov teórie pravdepodobnosti a ukázať, ako ich možno ľahko použiť v R.