Pravdepodobnosť

Obsah

1.Vysvetlenie pojmov

2.Pravdepodobnosť

2.1Klasická definícia pravdepodobnosti

2.2Štatistická definícia pravdepodobnosti

2.3Axiomatická definícia pravdepodobnosti/Axiómy

3.Príklad A

4.Príklad B

4.1Hod mincou 10 krát

4.2Hod mincou 100 krát

4.3Hod mincou 1000 krát

5.Odkazy

Vysvetlenie pojmov

Pred tým, než začneme samotné príklady a definície musíme si zadefinovať pár termínov a to:

Náhodná udalosť je taká udalosť (výsledok experimentu), ktorá pri existencii určitého súboru podmienok môže alebo nemusí nastať. Extrémne prípady náhodnej udalosti: Istá udalosť. Nemožná udalosť.

Extrémne udalosti (pre hod kockou):

Padnutie niektorého z čísiel 1 až 6 … istá udalosť A5= \(\Omega\)

Padnutie čísla 7 … nemožná udalosť

A6=∅ (prázdna množina)

Elementárna udalosť. Je udalosť, ktorá môže nastať ako bezprostredný výsledok pokusu. Označujeme ju \(\omega\).

Istá udalosť: A= \(\Omega\) (udalosť, ktorá obsahuje všetky elementárne udalosti).

Nemožná udalosť: A=∅ (prázdna množina).

Vylučujúce sa udalosti A a B: Náhodné udalosti sa vylučujú, ak nemajú spoločnú žiadnu elementárnu udalosť A∩B=∅ (disjunktné udalosti).

Obr.1 Venove diagramy

Takže základy pre pochopenie ďalších pojmov by sme mali mať zasebou a môžeme sa ísť venovať ´skutočnému problému´.

Pravdepodobnosť

Ako prvé si poďme zadefinovať pravdepodobnosť a čo vlastne môžeme vďaka nej robiť.

Náhodná udalosť závisí od náhody (komplexu nám neznámych príčin, ktoré ovplyvňujú pokus). Z tohto dôvodu nemôžeme vopred určiť výsledok konkrétneho pokusu. Pri mnohonásobnom opakovaní pokusov sa však prejavia určité zákonitosti, kedy získavame bližšiu informáciu o možnom výsledku.

Pravdepodobnosť má tri definície

Klasická definícia pravdepodobnosti

1. Klasická

\[ \begin{eqnarray} P(A)= {\frac{m}{n}} \end{eqnarray} \]

kde m predstavuje počet priaznivých výsledkov experimentu (to čo chceme čiže napríklad že pri hode mincou padne hlava)

kde n je počet všetkých elementárnych udalostí (samotný počet hodu mincou)

-Vychádza z objektívnych vlastností skúmaných udalostí a možno ju stanoviť ešte pred uskutočnením pokusu.

-Dá sa určit len pri konečnom počte pokusov ktoré majú rovnakú pravdepodobnosť.

Štatistická definícia pravdepodobnosti

2. Štatistická

\[ \begin{eqnarray} P(A)= \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\frac{m}{n}} \end{eqnarray} \]

n je počet výsledkov realizovaného experimentu

m počet zaznamenaných priaznivých experimentov

-Štatistická definícia odhaduje hodnotu pravdepodobnosti na základe výsledkov realizovaného experimentu, merania, štatistického prieskumu a podobne.

Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je mierou jej uskutočnenia = pravdepodobnostná miera

Axiomatická definícia pravdepodobnosti/Axiómy

3. Axiomatická

Pravdepodobnostá miera je množinová funkcia definovaná na pravdepodobnostom poli S, jej vlastnosti sú stanovené pomocou troch axióm:

Axióma I: Každej náhodnej udalosti A odpovedá určité číslo P(A) (Pravdepodobnosť udalosti) také, že \[\ 0\le P(A)\le 1 \]

Axióma II Pravdepodobnosť istej udalosti sa rovná 1, P(\(\Omega\))=1

Axióma III Pravdepodobnosť súčtu konečného (alebo spočítaľného) počtu náhodných udalostí, ktoré sa navzájom vylučujú, je rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: \[ \begin{eqnarray} P(U_aA_n)= \sum_n P(A_n) \end{eqnarray} \] …tzv. aditivita pravdepodobnosti

Príklad A

Začneme jednoduchým príkladom

Vypočítajte hodnotu pravdepodobnosti, že pri 6 hodoch kockou padnú čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6

V ľubovolonom poradí

tento výpočet je vcelku jednoduchý a stačí nám len násobiť pravdepodobnosti

\[ \begin{eqnarray} P(A_1)= {\frac{1}{6}}* {\frac{2}{6}}* {\frac{3}{6}}* {\frac{4}{6}}* {\frac{5}{6}}* {\frac{6}{6}}= 0.0154321*100 = 1.5 \% \end{eqnarray} \]

Za sebou (tento výpočet je o niečo zložitejší)

\[ \begin{eqnarray} P(A_1)= {\frac{1}{6}}^6 = 0.00002143*100 = 0.0021\% \end{eqnarray} \]

Príklad B

Poďme skúsiť hádzať mincou, ako to bude vyzerať pri 10 hodoch, 100 hodoch a 1000 hodoch? V tomto prípade uvažujeme že obe starany mince majú rovnakú pravdepodobnosť toho že padnú, podľa štatistických predpokladov by sa v nekonečne mala ukázať pravdepodobnosť skutočne 50/50, poďme to overiť.

Hod mincou 10 krát

library("ggplot2")

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.1.3

coin <-  c("hlava", "symbol")

one_coin <- sample(coin, 1, replace = TRUE)
simulácia <-replicate(10, sample(coin, 1, replace = TRUE))
df <- data.frame(simulácia)

ggplot(df, aes(x = simulácia)) + 
  geom_bar() + ggtitle("Rozdolenie desiatich hodov mincou") + theme(axis.text.x = element_text(angle = 270, vjust = 0.33))

Hod mincou 100 krát

Hod mincou 1000 krát

Ako môžeme vidieť podľa grafov čím viac by sme hádzali mincou tým viac by sme sa priblížili k pravdepodobnosti 50/50. Tieto pravdepodobnosti by sa však stretli až v nekonečne.