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1 Definicion del problema

El problema de transporte puede ser representado a traves de una red. Donde hay \(m\) origenes y \(n\) destinos, cada uno representado por un nodo. Cada origen \(i\) estará enlazado con todos los nodos destinos, y cada nodo destino \(j\) estará enlazado con todos los nodos origen. De esta forma se representa las rutas que existen entre orígenes y destinos.

Los nodos destinos requieren de una demanda \(d_j\) que debe ser satisfecha en su totalidad por la oferta \(o_i\) de los nodos origen. El costo de transporte por unidad desde el nodo \(i\) hasta el nodo \(j\) es \(c_{ij}\) asi como la cantidad transportada es \(x_{ij}\). El problema de transporte puede representarse gráficamente a través de la siguiente red:

El objetivo del problema es minimizar el costo de transporte total al mismo tiempo que se satisfacen las restricciones de la oferta y la demanda.

2 Notación compacta del modelo

El problema de transporte puede ser formulado matemáticamente así:

1. Conjuntos.

  • \(\Psi_{i}:=\) Conjunto de orígenes, \(\: i \in \{1, 2, ... ,n\}\)

  • \(\Phi_{j}:=\) Conjunto de destinos, \(\: j \in \{1, 2, ... ,m\}\)

2. Parámetros.

  • \(d_{j}:=\) Demanda del destino j, \(j \in \Phi\)

  • \(k_{i}:=\) Capacidad del origen i, \(i \in \Psi\)

  • \(c_{ij}:=\) Costo de trasportar una unidad desde el origen i, al destino j, \(i \in \Psi, j \in \Phi\)

3. Variables de decisión.

  • \(q_{ij}:=\) Cantidad de unidades a transportar desde el origen i, al destino j, \(i \in \Psi, j \in \Phi \\\)

4. Función objetivo.

\[ Min \: C_{Total}= \sum_{i \in \Psi}\sum_{j \in \Phi} c_{ij} q_{ij} \]

5. Restricciones.

5.1. Cumplimiendo de la demanda: Para cada destino \(j\) se debe satisfacer la demanda en su totalidad por la oferta de todos los orígenes \(i\).

\[\sum_{i \in \Psi} q_{ij} = d_j, \: \forall \: j \in \Phi\] 5.2. Limitación de la capacidad: La cantidad de unidades enviadas desde cada origen \(i\) hacia todos los destinos \(j\) no debe exceder a su capacidad.

\[\sum_{j \in \Phi} q_{ij} \leq k_i, \: \forall \:i \in \Psi\] 5.3. Dominio de variables: Las cantidad de unidades enviadas desde los origenes \(i\) hacia los destinos \(j\) debe ser un un numero real positivo \({\mathbb R}^{+}\).

\[ q_{ij} \geq 0 \: \: \forall \: i \in \Psi, j \in \Phi\]

Ejercicio