Trigonometrické funkcie
Alexandra Miháliková
14.6.2022
Charakteristika
Trigonometria je disciplína matematiky zaoberajúca sa praktickými úlohami súvisiacimi s uhlami a trojuholníkmi s využitím goniometrických funkcií ako sínus, kosínus a tangens. Trigonometria ako súčasť goniometrie je len praktický pododbor geometrie. Počiatky trigonometrie sa datujú až ku kultúram starovekého Egyptu a civilizáciám Babylončanov a údolia rieky Indus pred 3000 rokmi. Dnes existuje enormné množstvo aplikácií trigonometrie. Medzi dôležité patrí technika triangulácie, ktorá sa používa v astronómii na meranie vzdialeností susedných hviezd, v geografii na meranie vzdialeností medzi orientačnými bodmi a v satelitných navigačných systémoch. Ďalšie aplikácie trigonometrie nachádzame v astronómii (a teda aj v navigácii na oceánoch, lietadlách a vo vesmíre), hudobnej teórii, akustike, optike, analýze finančných trhov, elektronike, teórii pravdepodobnosti, štatistike, biológii, medicínskej diagnostike (počítačová tomografia a ultrazvuk), farmácii, chémii, teórii čísel (a teda aj v kryptológii), seizmológii, meteorológii, oceánografii, v mnohých fyzikálnych vedách, geodézii, architektúre, fonetike, ekonómii, počítačovej grafike, kartografii, kryštalografii a v mnohých iných.
Pytagorova veta
Základom euklidovskej geometrie je Pytagorova veta. Pre pravouhlý trojuholník so stranami a, b a c (kde c je prepona) sú strany spojené podľa vzorca \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Začnime pravouhlými trojuholníkmi.
plot(c(0, 4, 0, 0), c(0, 0, 3, 0), type = "l")
text(c(0.25, 2, 2, 3.5), c(1.5, 0.25, 2, 0.25), labels = c("b", "a",
"c", "theta"))
Predpokladajme, že theta je medzi 0 a pi/2 (90 stupňov). Potom s nakresleným obrázkom definujeme dve nové funkcie \(\sin(\theta)\) a \(\cos(\theta)\) takto: \[ \sin(\theta) = b/c = \text{protiľahlá}/\text{prepona} \quad\text{and}\quad \cos(\theta) = a/c = \text{priľahlá}/\text{prepona} \]
Kosínus na druhú môžeme napísať v zmysle sínusovej druhej mocniny ako: \[ \cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1 \] Pre tangens: \[ \tan(\theta) = \sin(\theta)/\cos(\theta) = b/a = \text{protiľahlá}/\text{priľahlá} \]
Existujú určité uhly, v ktorých nám geometria môže pomôcť. Urobme \(\pi/4\) alebo 45 stupňov:
d <- 0.05
plot(c(0, 1, 0, 0), c(0, 0, 1, 0), type = "l")
text(c(d, 0.5, 0.5, 1 - 3 * d), c(0.5, d, 0.65, d), labels = c("1",
"1", "sqrt(2)", "pi/4"))
Z tohto dostaneme
\[ \sin(\pi/4) = \sqrt(2)/2, \quad \cos(\pi/4) = \sqrt(2)/2, \quad \tan(\pi/4) = 1 \]
Ďalší jednoduchý je \(\theta=0\), čiže máme:
\[ \sin(0) = 0, \quad \cos(0) = 1, \quad \tan(0) = 0 \]
Pri \(\theta = \pi/2\) máme:
\[ \sin(0) = 1, \quad \cos(0) = 0, \quad \tan(0) = \text{nedefinované} \]
Je možné získať aj hodnoty pre 30 a 60 stupňov (\(\pi/6, \pi/3\)).
Sínusová a kosínusová veta
Pre každý trojuholník ABC s vnútornými uhlami α, β, γ a stranami a,
b, c platí sínusová veta: \[ \sin(A)/a =
\sin(B)/b = \sin(C)/c \]
Kosínusová veta rozširuje Pytagorovu vetu: \[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]
Kružnice
Funkcie sínus a kosínus sú lepšie definované cez jednotkový kruh, kruh s polomerom 1 so stredom v počiatku (tiež známy ako \(x^2 + y^2=1\)):
x <- seq(-1, 1, length = 100)
plot(x, sqrt(1 - x^2), type = "l", ylim = c(-1, 1))
lines(x, -sqrt(1 - x^2))
theta <- pi/3
x <- cos(theta)
y <- sin(theta)
points(x, y, cex = 2, pch = 16)
lines(c(0, x), c(0, y), lty = 3)
text(0.15, 0.1, labels = "theta")
text(x + 0.15, y, labels = "(x,y)")
abline(v = 0, col = "gray")
abline(h = 0, col = "gray")
Grafy
Graf \(\sin(\theta)\) má niektoré vlastnosti, ktoré môžeme získať z kruhu jednotiek: je to 0 v 0 (keďže y je 0 pre 0 radiánov) je 1 na \(\pi/2\) (horná časť kruhu) je to 0 pri \(\pi\) (alebo 180 stupňov, pretože tu je y 0) je -1 pri \(3\pi/2\) (spodok kruhu) je záporné, keď \(\pi < \theta < 2\pi\) (spodok kruhu) opakuje sa po \(2\pi\). Graf od 0 do \(4\pi\):
theta <- seq(0, 4 * pi, length.out = 1000)
plot(theta, sin(theta), type = "l")
Graf kosínusu je podobný. Spolu to vyzerá nasledovne:
plot(theta, cos(theta), type = "l", lwd = 2)
lines(theta, sin(theta), col = "gray90")
Funkcia dotyčnice má asymptoty, pretože deliteľ je často 0.
theta <- seq(-pi/2 + 0.1, pi/2 - 0.1, length = 1000)
plot(theta, tan(theta), type = "l")
Záver
Mojím cieľom bolo oboznámiť o Trigonometrických funkciách, názorne ukázať na príkladoch a grafickom znázornení.