Ejercicio 05

Introducción:

La estimación de máxima verosimilitud permite maximizar la probabilidad de los parámetros de las funciones de densidad que están en dependencia a la distribucción de probabilidad (a escoger en este Ejercicio-05). Es posible graficar las estimaciones obtenidas de este método, lo que se solicitado en el paso 4. Además mientras mayor sean los valores de la función de máxima verosimilitud mayor será la probabilidad de los n parámetros a tomar en las muestras.

Se toma la distribución exponencial

\[ λe^{-λ*x} \] ### Se aplica la pitatoria para obtener la función de verosimilitud \[ \prod^{n}_{i=1} λe^{-λ*x} = \sum^n{i=1}log(λe^{-λx})=\sum^n{i=1}log(λ)+\sum^n{i=1}log(e^{-λx}) = log(λ)n +\sum^n_{i=1}(-λx) = log(λ)*n -λ\sum^n_{i=1}(x) \] ## Paso 1: Generar los datos

Se importa la librería y

library(pacman)
p_load(data.table, fixest, lattice, magrittr, ggplot2, kableExtra,dplyr)

## Installing package into 'C:/Users/Samoth/Documents/R/win-library/4.1'
## (as 'lib' is unspecified)

## also installing the dependency 'vctrs'

## Warning: unable to access index for repository http://www.stats.ox.ac.uk/pub/RWin/bin/windows/contrib/4.1:
##   no fue posible abrir la URL 'http://www.stats.ox.ac.uk/pub/RWin/bin/windows/contrib/4.1/PACKAGES'

## package 'vctrs' successfully unpacked and MD5 sums checked

## Warning: cannot remove prior installation of package 'vctrs'

## Warning in file.copy(savedcopy, lib, recursive = TRUE): problema al copiar C:
## \Users\Samoth\Documents\R\win-library\4.1\00LOCK\vctrs\libs\x64\vctrs.dll a C:
## \Users\Samoth\Documents\R\win-library\4.1\vctrs\libs\x64\vctrs.dll: Permission
## denied

## Warning: restored 'vctrs'

## package 'dplyr' successfully unpacked and MD5 sums checked
## 
## The downloaded binary packages are in
##  C:\Users\Samoth\AppData\Local\Temp\RtmpwFAteC\downloaded_packages

## 
## dplyr installed

## Warning in p_load(data.table, fixest, lattice, magrittr, ggplot2, kableExtra, : Failed to install/load:
## dplyr

x = 300                 # Número de experimentos
lambda = 5              # Lambda modificable  
dis = rexp(x, lambda)    # distribución 
data = data.frame(dis)  # data frame

Paso 2: Se define la función para derivar

maximoDer = function(x, n, lambda){
  return(-(n*log(lambda)-lambda*sum(x)))
}

Se grafica la función obtenida

ValorLambda = seq(0,60)
plot(seq(0,60), maximoDer(x=dis, n=300, lambda=ValorLambda))

Paso 3: Estimación por máxima verosimilitud

MLE_estimates <- optim(fn=maximoDer,                  # Función de verosimilitud
                       par=c(1),                      # Estimación inicial
                       lower = c(-Inf, -Inf),         # Límite inferior de los parámetros
                       upper = c(Inf, Inf),           # Límite superior de los parámetros
                       hessian=TRUE,                  # Devuelve el Hessiano 
                       method = "L-BFGS-B",
                       # Entradas personalizadas
                       n = 300,                     
                       x = dis)

# Examinar estimaciones
MLE_par <- MLE_estimates$par
MLE_SE <- sqrt(diag(solve(MLE_estimates$hessian)))
MLE <- data.table(param = c("lambda"),
                  estimates = MLE_par,
                  sd = MLE_SE)

kable(MLE)

param	estimates	sd
lambda	4.947167	0.2856248

Paso 4: Graficar estimaciones

log_like_graph = function(x = dis, n = 300){
  lambda = MLE_par
  loglik = log(lambda)*n - lambda*sum(x)
  return (loglik)
}
# Se vectoriza el grafico
log_like_graph = Vectorize(log_like_graph)

# Se grafica
ggplot(data = data.frame(lambda = 0), mapping = aes(lambda = lambda)) + stat_function(fun = log_like_graph) + xlim(0,60) + theme_bw() +xlab("lambda") + ylab("log lik")