En esta nueva sesión de ejercicios se abordará el tema de la estimación de paramatros atraves del método de máxima verosimilutud

Para este proceso se ocupará la funcion de densida f(x) = λ {e}^{- λ x}o

\[ f(x, \lambda) = \lambda * e^{-\lambda x} \]

Sabiendo esto se obtiene la función de verosimilitud, la cual se representa por: \[ L(x, \lambda) = \prod_{i = 1}^{N}\lambda * e^{-\lambda x} \] Lo cual trabajando esto se obtiene: \[ L(x, \lambda) = \lambda ^ n * e^{- \lambda \sum_{i =1}^{n} xi } \]

Luego se sigue obteniendo el logaritmo natural de esta función de máxima verosimilutud:

\[ log L(x; \lambda) = n log(n) - \lambda \sum_{i =1}^{n} xi \] Con estos resultados se pasan a generar los datos para efectuar la estimación, Se muestras los datos y gráfico con los datos originales

library(pacman)
p_load(data.table, fixest, lattice, magrittr, ggplot2, kableExtra,dplyr)
set.seed(100)

X_prueba = rexp(10000, rate= 0.5) #se genere gráfico original con la propia función exponencial de R, 
                                  #con un lambda =0.5

# n = 1000
hist(rexp(1000, rate=1/2), main = "n = 1000",
     xlab = "", prob = TRUE) #gráfico con 1000 muestras distintas que siguen la distribucion normal

Se sigue con la log de la verosimilitud

#se define la funcion obtenida al aplicar el log
log.verosimilitud = function(lambda){
  sum(log(dexp(x = X_prueba, rate= lambda)))
}

Ahora se sigue con la maximización de esta funcion de verosimilitud

#se maximiza la funcion anterior
lambda.gorro <- optimise(f = log.verosimilitud, interval=c(0,1), maximum=TRUE)
lambda.gorro <- lambda.gorro$maximum
lambda.gorro
## [1] 0.4964451

Si prestamos atención al número que se tiene como maximo verosimilitud tiene todo el sentido debido a que estamos considerando una exponencial con lambda = 0.5

Entonces se gradica este maximo para ver si está correcto de acuerdo a la grafica con los datos originales

f <- function(x){
  dexp(x, lambda.gorro)
}

MASS::truehist(X_prueba, col="pink")
plot(f, from=0, to=10, add=TRUE, col="blue", lwd=2)

Como se puede observar la función dexp aplicandole el maximo obtenido con anterioridad se ajusta completamente al gráfico hecho con los datos originales, por lo que la estimación con el método de maxima verosimilitud está bien realizado

Bibliografía utilizada:

tipos de distribucion esponencial en Rstudio: https://r-coder.com/distribucion-exponencial-r/

tipos de gráficos: https://r-coder.com/grafico-lineas-r/

Ejercicio dejado en uvirtual: https://www.youtube.com/watch?v=p59Rik4oHkQ&t=589s

Guia sobre maximizar en Rstudio: https://www.youtube.com/watch?v=zPSj0ltrBoc