Datos de trabajo

Cargamos los datos con los que trabajaremos principalmente:

library(readr)
library(tidyverse)

Datos <- read_csv("datosECV_Aragon.csv")
Datos <- Datos %>% select(3:10)
Datos <- Datos %>% rename("genero"="datosECVmas16.gen",
         "provincia"="nomprov", "ingresos"="ingnorm")

head(Datos)

provincia	genero	edad	nac	neduc	sitlab	ingresos	horas
Huesca	1	3	1	3	1	21237.1	36.42
Huesca	2	2	1	2	1	17810.8	31.72
Huesca	1	1	1	2	1	11889.1	31.88
Huesca	1	1	1	2	1	16000.5	38.18
Huesca	1	1	1	2	3	21169.6	0.00
Huesca	1	2	1	2	1	16001.3	34.52

Las definiciones de las variables son las siguientes:

provincia: indica la provincia de la comunidad de Aragón a la que pertenecen los individuos de la muestra.
genero: indica el sexo de los individuos de la muestra. Si es masculino toma valor 1, si es femenino toma 2.
edad: indica el rango de edad de los individuos de la muestra. Toma el valor 1 si la edad esta entre 16 y 24 años, el 2 si la edad esta entre 25 y 49 años, el 3 si la edad esta entre 50 y 64 años, y el 4 si la edad es mayor o igual a 65 años
nacionalidad (nac): indica la nacionalidad de los individuos de la muestar. Si es española toma el valor 1, si es otra nacionalidad toma el 2.
situacion laboral (sitlab): indica la situacion laboral de los individuos de la muestra. Toma el valor 1 si la persona trabaja, el 2 si esta desempleado, y el 3 si esta inactivo.
ingresos : indica los ingresos de los individuos de la muestra.
horas : indica el numero de horas que trabajan los individuos de la muestra.

Variables Estadisticas

\[\begin{gather*} X_k= \begin{pmatrix} x_{1k} \\ x_{2k}\\ ... \\ x_{nk} \end{pmatrix} \end{gather*}\]

es una variable estadística porque es un vector con los valores/observaciones de la variable $X_k$ para $n$ indiviuos/elementos de una muestra.

Donde: $x_{ik}$ es el valor u observación de la variable $X_k$ para el elemento $i$ de la muestra ($i$-esima observación de la variable $X_k$).

Matriz de Datos

En general, si hemos observado $p$ variables sobre una muestra $\varepsilon$ de $n$ elementos o individuos ,

La matriz de datos $X$ de las variables $X_1,...,X_p$ medidas sobre los $n$ individuos o elementos de $\varepsilon$ es: \[\begin{gather*} X= \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}&...&x_{1p}\\ x_{21} & x_{22}&...&x_{2p}\\ ...&...&...&...\\ x_{n1}& x_{n2}&...&x_{np} \end{pmatrix} \end{gather*}\]

Observación: $X$ es una matriz $nxp$

Representacion de la matriz de datos por filas

\[\begin{gather*} X= \begin{pmatrix} x_{1}^{t} \\ x_{2} ^t \\ ... \\ x_{n} ^t \end{pmatrix} \end{gather*}\]

Donde:

$x_i ^t = (x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{ip} )$ es el vector con los valores de las $p$ variables $X_1,...,X_p$ para el individuo/elemento $i$ de la muestra, con $i=1,...,n$

Representacion de la matriz de datos por columnas

Podemos expresar:

\[\begin{gather*} X= (X_1 , X_2 ,..., X_p ) \end{gather*}\]

Donde: \[\begin{gather*} X_k= \begin{pmatrix} x_{1k} \\ x_{2k}\\ ... \\ x_{nk} \end{pmatrix} \end{gather*}\]

para $k=1,2,...,p$

Recorrido de una variable

El recorrido de una variable estadistica $X_k$ es el conjunto de valores que puede tomar la variable.

En funcion del recorrido de una variable podemos determinar si es cuantitativa o categorica. Clasificación que tiene una relevancia central en la estadística.

Ejemplos:

$X_k =$ Ingresos de 1000 empleados de Amazon $\Rightarrow$ $Recorrido(X_k) =[0, \infty )$

$X_k =$ Marca del coche de 50 futbolistas $\Rightarrow$ $Recorrido(X_k) = \lbrace Mercedes, Audi, ... \rbrace$

$X_k =$ Numero de chalets de 10 urbanizaciones $\Rightarrow$ $Recorrido(X_k) = \lbrace 0, 1, 2,... \rbrace$

Tipos de variables estadisticas:

Variables Cuantitativas y Categoricas:

Tipos de variables estadísticas:

La variable $X_k$ es cuantitativa si los elementos de su recorrido son conceptualmente numeros

La variable $X_k$ es categorica si los elementos de su recorrido son etiquetas o categorías (pueden ser numeros a nivel símbolico pero no a nivel conceptual)

En este trabajo se asumira que el recorrido de las variables categoricas son numeros, puesto que esto permitirá poder aplicarle algunos conceptos que no podrian aplicarse si su recorrido no fueran numeros, aunque, como se ha comentado, actuarán como etiquetas o categorías.

Tipos de Variables Cuantitativas

Variables Discretas y Continuas

Sea $X_k$ una variable {cuantitativa},

La variable $X_k$ es discreta si su recorrido es un conjunto numerable

La variable $X_k$ es continua si su recorrido no es numerable

Observación:

En particular, variables cuyo recorrido sea un conjunto finito serán discretas.

Variables cuyo recorrido sea un conjunto infinito serán continuas.

Tipos de Variables Categoricas

Sea $X_k$ una variable categorica ,

$X_k$ es r-aria si su recorrido tiene r elementos que son categorias o etiquetas

En estadistica tienen particular importancia las variables categoricas binarias (2-aria).

Variables Nominales y Ordinales

Sea $X_k$ una variable categorica $r$-aria,

La variable $X_k$ es nominal si no existe una ordenacion entre las $r$ categorias de su recorrido

La variable $X_k$ es ordinal si existe una ordenacion entre las $r$ categorias de su recorrido.

Ejemplos:

$Recorrido(X_k)= \lbrace Apple , Samsung, Oppo \rbrace \Rightarrow X_k$ es categorica nominal

$Recorrido(X_k)= \lbrace mal , regular, bien \rbrace \Rightarrow X_k$ es categorica ordinal

Estadisticos descriptivos

Un estadistico descriptivo es una funcion de los elementos de una muestra.

En general, toda funcion aplicada sobre una variable estadistica $X_k$ es un estadistico.

A continuacion veremos algunos de los estadisticos descriptivos mas utilizados.

Media Aritmetica

La media aritmetica de la variable $X_k$ se define como: \[\begin{gather*} \overline{X_k}= \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_{ik} \end{gather*}\]

Observación: en general a la media aritmetica se le llama simplemente media.

Propiedades:

\[\begin{gather*} \sum_{i=1}^{n} \left( x_{ik} - \overline{X_k} \right) = 0 \end{gather*}\]

Media Aritmetica en R

mean(Datos$ingresos)

## [1] 14078.77

Vector de medias

Dada una matriz de datos $X$ de tamaño $nxp$,

El vector de medias de X es: \[\begin{gather*} \overline{X}=( \overline{X_1} , \overline{X_2} , ... , \overline{X_p} ) ^t \end{gather*}\]

Expresión matricial del vector de medias

La expresión matricial del vector de medias de X es: \[\begin{gather*} \overline{X}= \dfrac{1}{n} \cdot X\hspace{0.05cm}^t \cdot \overrightarrow{1}_{nx1} \end{gather*}\]

Media Ponderada

Dada la variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$

Dados unos pesos para cada una de las n observaciones de la variable $X_k$ : $w=(w_1,w_2,...,w_n)^t$

La media ponderada de la variable $X_k$ con el vector de pesos $w$ es: \[\begin{gather*} \overline{X_k} (w) = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_{ik}\cdot w_i }{ \sum_{i=1}^{n} w_{i} } \end{gather*}\]

Media Geometrica

Dada la variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$

La media geometrica de la variable $X_k$ es: \[\begin{gather*} \overline{X_k}_{geom} = \sqrt{\Pi_{i=1}^{n} x_{ik}} = \sqrt{x_{1k}\cdot x_{2k}\cdot...\cdot x_{nk}} \end{gather*}\]

Mediana

La mediana de la variable $X_k$ es un valor tal que la {mitad} de las observaciones de $X_k$ son inferiores a él.

Dada la variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$

Ordenamos sus valores de menor a mayor $x_{(1)k} < x_{(2)k} < ...< x_{(n)k}$

La mediana de la variable $X_k$ es:

\[\begin{equation*} Mediana(X_k)= \left\lbrace\begin{array}{l} \dfrac{ x_{(n/2)k} + x_{(n/2 + 1)k} }{2} \hspace{0.3cm},\text{ si n es {par}} \\ x_{(\lceil n/2 \rceil)k} \hspace{0.3cm},\text{ si n es {impar} } \end{array}\right. \end{equation*}\]

Mediana en R

Podemos calcular la mediana en R usando la función

median(Datos$ingresos)

## [1] 12331

Podemos comprobar que efectivamente la mitad de las observaciones de la variable ingresos son menores que la mediana.

sum(Datos$ingresos < median(Datos$ingresos) )/length(Datos$ingresos)

## [1] 0.5

Cuantiles

El cuantil de orden $p$ de la variable $X_k$ es el valor $Q(p, X_k)$ tal que la proporcion de observaciones de $X_k$ que son menores que $Q(p, X_k)$ es $p$

Más formalmente:

$Q(p, X_k)$ es el cuantil $p$ de $X_k$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\# \lbrace i=1,..,n \hspace{0.15cm} / \hspace{0.15cm} x_{ik} < Q(p, X_k) \rbrace}{n} = p$

Observación: la mediana el es cuantil de orden $p=0.5$

Cuantiles en R

quantile(Datos$ingresos)

##       0%      25%      50%      75%     100% 
##  -999.50  8310.60 12331.00 18269.38 58470.40

quantile(Datos$ingresos, 0.85)

##     85% 
## 21840.8

quantile(Datos$ingresos, 0.37)

##      37% 
## 10329.74

Varianza y Desvación Típica

La varianza de la variable $X_k$ es: \[\begin{equation*} \sigma^2(X_k)= \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{ik} - \overline{x_k})^2 \end{equation*}\]

La desviación típica de la variable $X_k$ es: \[\begin{equation*} \sigma(X_k)= \sqrt{\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{ik} - \overline{x_k})^2} \end{equation*}\]

Varianza y Desvación Típica en R

var(Datos$ingresos)

## [1] 67924827

sd(Datos$ingresos)

## [1] 8241.652

Matriz de datos centrada

Dada una matriz de datos $X $ de tamaño $nxp$

$X$ es centrada $\Leftrightarrow$ la media de sus variables ( columnas) es cero

Operación de centrado:

La operacion para centrar $X$ es la siguiente: \[\begin{gather*} X - \overrightarrow{1}_{nx1} \cdot \overline{x}\hspace{0.05cm}^t =H_{n}\cdot X_{nxp} \end{gather*}\]

es una matriz centrada (la media de sus columnas es cero).

Donde:

\[\begin{gather*} H_{n}=I_n - \dfrac{1}{n} \cdot \overrightarrow{1}_{nx1} \cdot \overrightarrow{1^t} \end{gather*}\]

es la matriz de centrado.

Variables Escaladas

Dada la variable cuantitativa $X_k$

$X_k^{scale}$ es la variable $X_k$ escalada, si se cumple que:

\[\begin{equation*} x_{ik}^{scale}= \dfrac{ x_{ik} - \overline{X_k} }{ \sigma(X_k)} \end{equation*}\]

para $i=1,...,n$

Matriz de datos escalada

Sea $X=(X_1,...,X_p)$ una matriz de datos de $p$ variables,

$X^{scale}=(X_1^{scale},...,X_p^{scale})$ es la matriz de datos $X$ escalada.

Covarianza

Dadas las variables $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$ y $X_r=(x_{1r}, x_{2r},...,x_{nr})^t$

La covarianza entre las variables $X_j$ y $X_r$ se define como:

\[\begin{gather*} S(X_k, X_r) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_{ik} - \overline{x_k})\cdot (x_{ir} - \overline{x_r}) \end{gather*}\]

Propiedades de la covarianza

$S(X_k,X_r) \in (-\infty, \infty)$

$S(X_k,X_r) \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{ik} \cdot x_{ir}) - \overline{x_k} \cdot \overline{x_r} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} \overline{x_k\cdot x_r} - \overline{x_k} \cdot \overline{x_r}$
$S(X_k, a + b\cdot X_r) = b\cdot S(X_k,X_r)$
$S(X_k,X_r) = S(X_r,X_k)$
$S(X_k,X_r) > 0 \Rightarrow$ Relación creciente entre $X_k$ y $X_r$
$S(X_k,X_r) < 0 \Rightarrow$ Relación decreciente entre $X_k$ y $X_r$
$S(X_k,X_r) = 0 \Rightarrow$ No hay relación entre $X_k$ y $X_r$

Covarianza en R

cov(Datos$ingresos , Datos$horas)

## [1] 32453.53

Matriz de Covarianzas

La matriz de covarianzas de una matriz de datos $X$ es:

\[\begin{gather*} S_X = \left( \hspace{0.2cm} S(X_k , X_r) \hspace{0.2cm} \right)_{k,r=1,...,p} \end{gather*}\]

Expresión matricial de la matriz de covarianzas:

\[\begin{gather*} S_X=\dfrac{1}{n} \cdot X\hspace{0.1cm}^t \cdot H \cdot X \end{gather*}\]

Donde: $H$ es la matriz de centrado

Matriz de Covarianzas en R

X1<-rnorm(30)
X2<-rnorm(30)
X3<-rnorm(30)
X4<-rnorm(30)

cov(cbind(X1,X2,X3,X4))

##             X1          X2          X3         X4
## X1  1.21658347 -0.06154167  0.14548120 -0.3579662
## X2 -0.06154167  1.10326428 -0.08654819  0.2827292
## X3  0.14548120 -0.08654819  0.43705601 -0.2504242
## X4 -0.35796619  0.28272919 -0.25042418  1.2638200

Correlacion Lineal de Pearson

Dadas las variables $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$ y $X_r=(x_{12r}, x_{2r},...,x_{nr})^t$

La correlacion lineal de Pearson entre las variables $X_k$ y $X_r$ se define como:

\[\begin{equation*} r(X_k,X_r) = \frac{S(X_k,X_r)}{S(X_k) \cdot S(X_r)} \end{equation*}\]

Propiedades de la correlación lineal de Pearson

$r(X_k,X_r) \in [-1,1]$

$r_{X_k,a + b\cdot X_r} = r(X_k,X_r)$

El signo de $r(X_k,X_r)$ coincide con el de $S(X_k,X_r) $

$r(X_k,X_r) = \pm 1 \Rightarrow$ Relacion Lineal Perfecta entre $X_k$ e $X_r$
$r(X_k,X_r) = 0 \Rightarrow$ No Existe Relacion Lineal entre $X_k$ e $X_r$

$r(X_k,X_r) = 0 \Rightarrow$ No Existe Relacion Lineal entre $X_k$ e $X_r$

$r(X_k,X_r) \rightarrow \pm 1 \Rightarrow$ Relacion Lineal Fuerte entre $X_k$ e $X_r$

$r(X_k,X_r) \rightarrow 0 \Rightarrow$ Relacion Lineal Debil entre $X_k$ e $X_r$

$r(X_k,X_r) >0 \Rightarrow$ Relacion Creciente entre $X_k$ e $X_r$

$r(X_k,X_r) <0 \Rightarrow$ Relacion Decreciente entre $X_k$ e $X_r$

Correlaciones de Pearson en R

cor(Datos$ingresos, Datos$horas  , method = "pearson")

## [1] 0.2308945

Matriz de correlaciones

La matriz de correlaciones de Pearson de la matriz de datos X es:

\[\begin{gather*} R_X = \left( \hspace{0.2cm} r(X_k , X_r) \hspace{0.2cm} \right)_{k,r=1,...,p} \end{gather*}\]

Expresión matricial de la matriz de correlaciones

\[\begin{gather*} R_X= D_s^{-1} \cdot S_X \cdot D_s^{-1} \end{gather*}\]

Donde: \[\begin{gather*} D_s = diag \left( \sigma(X_1) , \sigma(X_2) ,..., \sigma(X_p) \right) \end{gather*}\]

Matriz de correlaciones en R

cor(cbind(X1,X2,X3,X4))

##             X1          X2         X3         X4
## X1  1.00000000 -0.05312006  0.1995112 -0.2886878
## X2 -0.05312006  1.00000000 -0.1246378  0.2394353
## X3  0.19951124 -0.12463777  1.0000000 -0.3369497
## X4 -0.28868781  0.23943535 -0.3369497  1.0000000

Distribución de Frecuencias

Frecuencia Absoluta de un elemento

Dada una variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$ y $a \in Recorrido(X_k)$

La frecuencia absoluta del elemento $a$ en $X_k$ se define como:

\[\begin{gather*} Fabs(a ,X_k) \hspace{0.1cm}=\hspace{0.1cm} \# \lbrace i / x_{ik}=a \rbrace \hspace{0.1cm} = \\ \hspace{0.1cm} =\hspace{0.1cm} \text{nº de observaciones de la variable $X_k$ que coinciden con el valor $a$ } \end{gather*}\]

Por ejemplo: $F(a=1000, X_k)$ podria ser el numero de empleados de cierta empresa con un salario de $a=1000$ euros.

Observación:

Si $X_k$ es continua lo normal es que $Fabs(a,X_k) = 0$ para muchos valores $a$

Frecuencia Absoluta de un elemento en R

Frecuencia absoluta para un elemento $\Rightarrow$ util para variables categoricas

frecuencia_absoluta_elemento <- 
function( variable, elemento){
  
frecuencia_absoluta_elemento <-  
sum(variable == elemento)
  
return(frecuencia_absoluta_elemento)  
}

frecuencia_absoluta_elemento( round(Datos$ingresos, 3),
                              8736.2)

## [1] 1

frecuencia_absoluta_elemento( round(Datos$ingresos, 3), 
                              8736)

## [1] 0

frecuencia_absoluta_elemento(Datos$genero , 1)

## [1] 615

frecuencia_absoluta_elemento(Datos$neduc , 3)

## [1] 202

Frecuencia Absoluta de un conjunto

Dada una variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$ y $A \subset Recorrido(X_k)$

La frecuencia absoluta del conjunto $A$ en $X_k$ se define como:

\[\begin{gather*} Fabs(A, X_k) = \sum_{a \in A} Fabs(a , X_k ) = \\ = \text{ nº de observaciones de $X_k$ que pertenecen a $A$} \end{gather*}\]

Por ejemplo: $Fabs(A=[500,1500] , X_k)$ podria ser el numero de empleados con un salario entre 500 y 1500 euros.

Observación:

$Fabs([b_1,b_2], X_k)$ es un caso particular de $Fabs(A, X_k)$ con $A=[b_1,b_2]$

Frecuencia Absoluta de un intervalo en R

Frecuencia absoluta para un intervalo (conjunto continuo) $\Rightarrow$ util para variables cuantitativas (sobre todo continuas)

frecuencia_absoluta_intervalo <- 
  
function( variable, cota_inferior, cota_superior ){
  
frecuencia_absoluta_intervalo <-  

sum(variable >= cota_inferior & 
variable <= cota_superior)
  
return(frecuencia_absoluta_intervalo)  
}

frecuencia_absoluta_intervalo(Datos$ingresos , 8000, 12000)

## [1] 305

frecuencia_absoluta_intervalo(Datos$neduc , 3, 4)

## [1] 202

Frecuencia Absoluta de un conjunto discreto en R

Frecuencia absoluta para un conjunto discreto $\Rightarrow$ util para variables categoricas y cuantitativas discretas

frecuencia_absoluta_conjunto_discreto <- 

function(variable, conjunto){
cont=0
for( i in conjunto){
  
  if( any(variable == i) ) {
   
  cont = cont + sum(variable==i)
  }
}
return(cont)  
}

A=c(3, 4)

frecuencia_absoluta_conjunto_discreto(Datos$neduc , A)

## [1] 202

A=c(1,3,4)

frecuencia_absoluta_conjunto_discreto(Datos$neduc , A)

## [1] 645

Frecuencia Relativa de un elemento

Dada una variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$ y $a \in Recorrido(X_k)$

La frecuencia relativa del elemento $a$ en $X_k$ se define como:

\[\begin{gather*} Fre(a,X_k) = \dfrac{Fabs(a,X_k) }{n} = \\ =\text{ proporcion de observaciones de $X_k$ que coinciden con el valor $a$} \end{gather*}\]

Por ejemplo: $Fre(a=1000,X_k)$ podria ser la proporcion de empleados de cierta empresas con un salario de 1000 euros.

Frecuencia Relativa de un conjunto

Dada una variable $X_k=(x_{1k}, x_{2k},...,x_{nk})^t$ y $A \subset Recorrido(X_k)$

La frecuencia relativa del conjunto $A$ en $X_k$ se define como: \[\begin{gather*} Fre(A,X_k) = \dfrac{Fabs(A ,X_k) }{n} = \\ = \text{ proporción de observaciones de $X_k$ que pertenecen a $A$} \end{gather*}\]

Por ejemplo: $Fre(A=[500,1500],X_k)$ podria ser la proporcion de empleados de cierta empresas con un salario entre 500 y 1500 euros.

Frecuencia Relativa de un elemento en R

frecuencia_relativa_elemento <- 

function( variable , elemento ){
  
frecuencia_relativa_elemento <-

frecuencia_absoluta_elemento(variable , elemento)/
  length(variable)
  
  return(frecuencia_relativa_elemento)

}

frecuencia_relativa_elemento(Datos$genero, 1)

## [1] 0.4975728

Frecuencia Relativa de un intervalo en R

frecuencia_relativa_intervalo <- 
  
  function( variable, cota_inferior, cota_superior ){
  
  frecuencia_relativa_intervalo <- 
  frecuencia_absoluta_intervalo(variable , 
    cota_inferior, cota_superior)/
    length(variable)
  
  return(frecuencia_relativa_intervalo)
  
}

frecuencia_relativa_intervalo(Datos$ingresos, 8000, 12000)

## [1] 0.2467638

Frecuencia Relativa de conjunto discreto en R

frecuencia_relativa_conjunto_discreto <- 
function( variable, conjunto ){
  
frecuencia_relativa_conjunto_discreto <-
frecuencia_absoluta_conjunto_discreto(variable,conjunto)/
  length(variable)
  
  return(frecuencia_relativa_conjunto_discreto)
  
}

A=c(1, 3)

frecuencia_relativa_conjunto_discreto(Datos$neduc, A)

## [1] 0.5218447

Frecuencias Acumuladas

La frecuencia absoluta acumulada del elemento $a$ en $X_k$ se define como:

\[\begin{gather*} Fabscum(a ,X_k)=Fabs \left( \lbrace i=1,...,n / x_{ik} \leq a \rbrace , X_k \right) = \\ = \text{nº de observaciones de $X_k$ que son menores o iguales que $a$} \end{gather*}\]

La frecuencia relativa acumulada del elemento $a$ en $X_k$ se define como: \[\begin{gather*} Frecum(a,X_k)= \dfrac{Fabscum(a,X_k)}{n} \\ = \text{proporcion de observaciones de $X_k$ que son menores o iguales que $a$} \end{gather*}\]

Frecuencias Absoluta Acumulada en R

frecuencia_absoluta_acumulada <- 

function(variable, elemento){
  
frecuencia_absoluta_acumulada <- 
frecuencia_absoluta_intervalo(variable,-Inf,elemento)
    
 return(frecuencia_absoluta_acumulada)
}

frecuencia_absoluta_acumulada(Datos$ingresos, 8000)

## [1] 289

Frecuencia Relativa Acumulada en R

frecuencia_relativa_acumulada <- 

function(variable, elemento){
  
frecuencia_relativa_acumulada <-

frecuencia_absoluta_acumulada(variable,elemento)/
  length(variable)
    
  return(frecuencia_relativa_acumulada)
}

frecuencia_relativa_acumulada(Datos$ingresos, 8000)

## [1] 0.2338188

Tabla de Frecuencias

Vamos a crear una función en R a la que le metemos una variable y nos debuelve una tabla con las frecuencias de esa variable.

Las caracteristicas de la función son las siguientes:

Entrada: matriz de datos $X$
Entrada: variable $V1$ de $X$
$V1$ debe estar cargadas en R como vector
$V1$ puede ser una variable categorica o cuantitativa categorizada
El recorrido de $V1$ tiene que ser $0:p1$ , con $p1=1,2,3,...$
Entrada: $p1$

Tabla_Frecuencias  <- function(X, V1 ,p1 ){

tabla<- matrix(NA, nrow=p1+1, ncol= 4 )
X<- cbind(X, V1)

for(i in 0:p1){

  tabla[i+1, 1 ] <-  dim( ( X  %>% filter(V1==i ) ) )[1]  
}

for(i in 0:p1){
   
  tabla[i+1, 2 ] <- ( dim( ( X  %>% filter(V1==i ) ) )[1] / dim(X)[1] )
}

for(i in 0:p1){

  tabla[i+1, 3] <- cumsum(tabla[1:(i+1) ,1])[i+1]
}

for(i in 0:p1){
   
  tabla[i+1, 4] <- cumsum(tabla[1:(i+1) ,2])[i+1]
}

 rownames(tabla)<-0:p1
 colnames(tabla)<-c("F.Abs","F.Rel", "F.Abs.Cum","F.Rel.Cum")
 
 tabla <- as.data.frame(tabla)
 
 return(tabla) 
}

Tabla de Frecuencias para variables categoricas

Para usar esta funcion primero debomos redefinir correctamente la variable usada:

La variable escogida debe estar cargada en R
Usando una variable categorica $\Rightarrow$ sus categorias deben ser $0,1,...,p1$

# neduc es una variable categorica 3-aria --> debe recodificarse para que sus categorias sean 0,1,2 

Datos$neduc<-recode(Datos$neduc, "1"="0", "2"="1", "3"="2")

neduc<- Datos$neduc

Tabla_Frecuencias(X=Datos, V1=neduc, p1=2)

	F.Abs	F.Rel	F.Abs.Cum	F.Rel.Cum
0	443	0.3584142	443	0.3584142
1	591	0.4781553	1034	0.8365696
2	202	0.1634304	1236	1.0000000

Tabla de Frecuencias para variables cuantitativas

Para usar la función Tabla_Frecuencias() primero debemos redefinir correctamente la variable usada:

La variable escogida debe estar cargada en R
Usando una variable cuantitativa $\Rightarrow$ hay que categorizarla usando alguna regla de categorización, como la regla de la media, mediana, cuartiles, Scott…

Categorización de Variables Cuantitativas

Dada una variable cuantitativa $X_k=(x_{1k},...,x_{nk})^t$ , se trata de obtener su version categorizada $X_k^{cat}=(x_{1k}^{cat},...,x_{nk}^{cat})^t$

La version categorizada de una variable cuantitativa $X_k$ es otra variable $X_k^{cat}$ que es categorica, y que toma valores en funcion de las observaciones de $X_k$.

La idea es la siguiente:

Dada una variable cuantitativa $X_k$ ,

Hay que definir los intervalos de categorización de $X_k$, que son una serie de intervalos $[L_{1},L_{2}), [L_{2}, L_{3}),..., [L_{\lambda},L_{\lambda+1})$ , tales que:

Son disjuntos dos a dos (no comparten elementos).
Toda observación/valor de $X_k$ pertenece a algún intervalo.
Tienen la misma amplitud (mismo tamaño).

Una vez definidos los intervalos de categorizacion de $X_k$ se aplica la siguiente regla para definir $X_k^{cat}$

\[\begin{equation*} x^{cat}_{ik} = \left\lbrace\begin{array}{l} 0, \text{ si $x_{ik} \in [L_{1},L_{2})$} \\ 1, \text{ si $x_{ik} \in [L_{2},L_{3}) $} \\ ... \\ \lambda, \text{ si $x_{ik} \in [L_{\lambda},L_{\lambda+1}) $} \end{array}\right. \end{equation*}\]

En definitiva:

\[\begin{equation*} x_{ik} \in [L_{r}, L_{r+1}] \ \Leftrightarrow \ x_{ik}^{cat} = r-1 \end{equation*}\]

para $r=1,...,\lambda > 0$

Donde:

$[L_{r}, L_{r+1}]$ es el intervalo $r$-esimo de los intervalos de categorizacion de $X_k$

Exiten diferentes reglas para definir los intervalos de categorizacion de una variable cuantitativa. En este trabajo veremos las reglas de la mediana, media, cuartiles y Scott.

Regla de la Mediana

Según la regla de la mediana los intervalos de categorización de $X_k$ son:

\[\begin{gather*} [Min(X_k), Mediana(X_k)], (Mediana(X_k), Max(X_k)] \end{gather*}\]

Por tanto, a partir de $X_k$ se obtiene la variable $X_k^{cat}$ definida como:

\[\begin{equation*} x^{cat}_{ik} = \left\lbrace\begin{array}{l} 0, \text{ si $x_{ik} \in [Min(X_k), Mediana(X_k)]$} \\ 1, \text{ si $x_{ik} \in (Mediana(X_k), Max(X_k)]$} \end{array}\right. \end{equation*}\]

Regla de la Media

Según la regla de la media los intervalos de categorización de $X_k$ son:

\[\begin{gather*} \left[ Min(X_k) \hspace{0.02cm} ,\hspace{0.02cm} \overline{x_k} \right], \left(\overline{x_k} \hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} Max(X_k)\right] \end{gather*}\]

Por tanto, a partir de $X_k$ se obtiene la variable $X_k^{cat}$ definida como:

\[\begin{equation*} x^{cat}_{ik} = \left\lbrace\begin{array}{l} 0, \text{ si $x_{ik} \in [Min(X_k)\hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} \overline{x_k} ]$} \\ 1, \text{ si $x_{ik} \in (\overline{x_k} \hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} Max(X_k)] $} \end{array}\right. \end{equation*}\]

Regla de los Cuartiles

Según la regla de la cuartiles los intervalos de categorización de $X_k$ son:

\[\begin{gather*} \left[ Min(X_k) \hspace{0.03cm} ,\hspace{0.03cm} Q(0.25,X_k) \right], \left(Q(0.25,X_k) \hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} Q(0.50,X_k)\right] , \\ \left(Q(0.50,X_k) \hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} Q(0.75,X_k)\right], \left(Q(0.75,X_k) \hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} Max(X_k)\right] \end{gather*}\]

Por tanto, a partir de $X_k$ se obtiene la variable $X_k^{cat}$ definida como:

\[\begin{equation*} x^{cat}_{ik} = \left\lbrace\begin{array}{l} 0, \text{ si $x_{ik} \in \left[ Min(X_k) \hspace{0.03cm} ,\hspace{0.03cm} Q(0.25,X_k) \right] $} \\ 1, \text{ si $x_{ik} \in \left[ Q(0.25 , X_k) , Q(0.50 , X_k)\right] $} \\ 2, \text{ si $x_{ik} \in (Q(0.50 , X_k) , Q(0.75 , X_k)] $} \\ 3, \text{ si $x_{ik} \in \left(Q(0.75,X_k) \hspace{0.02cm},\hspace{0.02cm} Max(X_k)\right] $} \end{array}\right. \end{equation*}\]

Regla de Scott

Según la regla de la Scott los intervalos de categorización de $X_k$ son: $[L_{1},L_{2}), [L_{2}, L_{3}),...,[L_{ \lambda},L_{ \lambda+1})$

Por tanto, a partir de $X_k$ se obtiene la variable $X_k^{cat}$ definida como:

El procedimiento para calcular los intervalos de Scott es el siguiente:

Determinar el número de clases intervalos:

Primero hay que determinar la $A_t$ de las clases, que se calcula como:

\[\begin{equation*} A_{t} = 3.5 \cdot S (X_k) \cdot n^{-1/3} \end{equation*}\]

El será: \[\begin{equation*} \lambda=\left\lceil \frac{Max(X_k)-Min(X_k)}{A_{t}} \right\rceil \end{equation*}\]

Determinar el ancho de los intervalos:

La de los intervalos $A$ será la misma para todos ellos y viene definida por:

\[\begin{equation*} A=\left\lceil \frac{Max(X_k)-Min(X_k)}{\lambda} \right\rceil \end{equation*}\]

Determinar los extremos de los intervalos:

Los intervalos serán: $[L_{1},L_{2}), [L_{2}, L_{3}),...,[L_{ \lambda},L_{ \lambda+1})$

Donde $L_{i}, L_{i+1}$ son los intervalos inferior y superior, respectivamente, del intevalo $i$-esimo.

La regla de Scott para determinar los extremos de los intervalos es la siguiente:

\[\begin{gather*} L_{1}= Min(X_k) - c \\ L_{2}=L_{1} + A \\ L_{3}=L_{2} + A\\ ... \\ L_{\lambda+1}=L_{\lambda} + A \end{gather*}\]

Donde: $c \geq 0$ debe ser elegido a conveniencia del analista.

En general:

\[\begin{gather*} L_{i}=L_{1} + (i-1)\cdot A \hspace{0.5cm} i=1,...,\lambda+1 \end{gather*}\]

Regla de Scott Modificada

La regla de Scott Modificada es una variacion de la regla de Scott que permite escoger el número de intervalos de categorizacion.

Según la regla de la Scott Modificada los intervalos de categorización de $X_k$ son: $[L_{1},L_{2}), [L_{2}, L_{3}),...,[L_{ \lambda},L_{ \lambda+1})$

Por tanto, a partir de $X_k$ se obtiene la variable $X_k^{cat}$ definida como:

El procedimiento para calcular los intervalos de Scott Modificados es el siguiente:

Determinar el número de clases intervalos:

Esta es la gran diferencia entre la regla de Scott simple y la modificada.

El número de intervalos $\lambda$ se escoge segun el criterio del analista.

Determinar el ancho de los intervalos:

La de los intervalos $A$ será la misma para todos ellos y viene definida por:

\[\begin{equation*} A=\left\lceil \frac{Max(X_k)-Min(X_k)}{\lambda} \right\rceil \end{equation*}\]

Determinar los extremos de los intervalos:

Los intervalos serán: $[L_{1},L_{2}), [L_{2}, L_{3}),...,[L_{ \lambda},L_{ \lambda+1})$

Donde $L_{i}, L_{i+1}$ son los intervalos inferior y superior, respectivamente, del intevalo $i$-esimo.

La regla de Scott para determinar los extremos de los intervalos es la siguiente:

\[\begin{gather*} L_{1}= Min(X_k) - c \\ L_{2}=L_{1} + A \\ L_{3}=L_{2} + A\\ ... \\ L_{\lambda+1}=L_{\lambda} + A \end{gather*}\]

Donde: $c \geq 0$ debe ser elegido a conveniencia del analista.

En general:

\[\begin{gather*} L_{i}=L_{1} + (i-1)\cdot A \hspace{0.5cm} i=1,...,\lambda+1 \end{gather*}\]

Para categorizar variables cuantitativas vamos a servirnos de la función cut() de R. Se recomienda leer la ayuda de esta función.

cut(variable, breaks)

breaks puede ser un número, por ejemplo 3 $\Rightarrow$ cut() genera 3 intervalos que cubren las observaciones de la variable y son disjuntos, y con la misma amplitud, y devuelve a que intervalo pertenece cada observación de la variable.

breaks también puede ser un vector, por ejemplo c(1, 3, 8, 9, 12) $\Rightarrow$ cut() genera los intervalos (1,3] (3,8], (8,9] (9,12], y devuelve a qué intervalo pertenece cada observación de la variable.

La funcion cut() es muy util para calcular frecuencias absolutas y relativas en variables cuantitativas.

Para calcular las frecuencias absolutas de una variable cuantitativa en 3 intervalos:

table(cut(Datos$ingresos, breaks = 3))

## 
## (-1.06e+03,1.88e+04]  (1.88e+04,3.86e+04]  (3.86e+04,5.85e+04] 
##                  947                  271                   18

Para calcular las frecuencias relativas de una variable cuantitativa en 3 intervalos:

table(cut(Datos$ingresos, breaks = 3))/length(Datos$ingresos)

## 
## (-1.06e+03,1.88e+04]  (1.88e+04,3.86e+04]  (3.86e+04,5.85e+04] 
##           0.76618123           0.21925566           0.01456311

Ejemplos de cálculo de Tablas de Frecuecias para variables cuantitativas

Ejemplo 1: Tabla Frecuencias para Variable Cuantitativa usando la Regla de la Mediana

Categorizamos la variable ingresos usando la regla de la mediana:

Recordemos que segun la regla de la mediana los intervalos de categorización son: $[Min(X_k), Mediana(X_k)], (Mediana(X_k), Max(X_k)]$

median(Datos$ingresos)

## [1] 12331

Vector con los extremos de los intervalos:

L <- c(min(Datos$ingresos), median(Datos$ingresos), max(Datos$ingresos))

levels( cut(Datos$ingresos, breaks = L , include.lowest = T) )

## [1] "[-1e+03,1.23e+04]"   "(1.23e+04,5.85e+04]"

Categorizamos la variable ingresos, generando una nueva variable que indica el intervalo al que pertenece cada observación. Si la observacion $j$-esima de la variable ingresos pertenece al intervalo $i$-esimo, el valor $j$-esimo de la nueva variable será $i-1$ , en este caso para $i=1,2$ puesto que solo hay 2 intervalos de categorización.

a<-cut(Datos$ingresos, breaks = L , include.lowest = T)
  
ingresos_categorizados_regla_mediana <- ifelse( a == "[-1e+03,1.23e+04]"  , 0 , 1 )

ingresos_categorizados_regla_mediana[1:20]

##  [1] 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

Ahora tenemos una nueva variable, la variable cuantitativa ingresos categorizada, la cual es binaria (toma valores 0,1). Por lo que podemos aplicar nuestra función Tabla_Frecuencias() a esta nueva variable:

Tabla_Frecuecias_Ingresos_Regla_Mediana <- Tabla_Frecuencias(Datos,ingresos_categorizados_regla_mediana, p1=1)

rownames(Tabla_Frecuecias_Ingresos_Regla_Mediana) <- levels(cut(Datos$ingresos, breaks = L, include.lowest = T, dig.lab=10))

Tabla_Frecuecias_Ingresos_Regla_Mediana

	F.Abs	F.Rel	F.Abs.Cum	F.Rel.Cum
[-999.5,12331]	618	0.5	618	0.5
(12331,58470.4]	618	0.5	1236	1.0

Ejemplo 2: Tabla Frecuencias para Variable Cuantitativa usando la Regla de Scott

Calculamos los intervalos de Scott para la variable cuantitativa ingresos :

s=sd(Datos$ingresos)
n=length(Datos$ingresos)
max=max(Datos$ingresos)
min=min(Datos$ingresos)

#Amplitud teorica
At = 3.5*s*n^-(1/3) 

#Numero de intervalos
lambda = ceiling((max-min)/At) 

#Amplitud de los intervalos
A = ceiling((max-min)/lambda) 

#Primer extremo
L1 = min

#Vector con los extremos de los intervalos
L = L1 + 0:lambda * A

El número de intervalos obtenidos con la regla de Scott es:

lambda

## [1] 23

El vector L con los extremos de los intervalos es:

##  [1]  -999.5  1586.5  4172.5  6758.5  9344.5 11930.5 14516.5 17102.5 19688.5
## [10] 22274.5 24860.5 27446.5 30032.5 32618.5 35204.5 37790.5 40376.5 42962.5
## [19] 45548.5 48134.5 50720.5 53306.5 55892.5 58478.5

Los intervalos obtenidos con la funcion cut aplicada sobre el vector L son:

levels(cut(Datos$ingresos, breaks = L , include.lowest = T))

##  [1] "[-1e+03,1.59e+03]"   "(1.59e+03,4.17e+03]" "(4.17e+03,6.76e+03]"
##  [4] "(6.76e+03,9.34e+03]" "(9.34e+03,1.19e+04]" "(1.19e+04,1.45e+04]"
##  [7] "(1.45e+04,1.71e+04]" "(1.71e+04,1.97e+04]" "(1.97e+04,2.23e+04]"
## [10] "(2.23e+04,2.49e+04]" "(2.49e+04,2.74e+04]" "(2.74e+04,3e+04]"   
## [13] "(3e+04,3.26e+04]"    "(3.26e+04,3.52e+04]" "(3.52e+04,3.78e+04]"
## [16] "(3.78e+04,4.04e+04]" "(4.04e+04,4.3e+04]"  "(4.3e+04,4.55e+04]" 
## [19] "(4.55e+04,4.81e+04]" "(4.81e+04,5.07e+04]" "(5.07e+04,5.33e+04]"
## [22] "(5.33e+04,5.59e+04]" "(5.59e+04,5.85e+04]"

La notación científica distorsiona los extremos de los intervalos. Usando el argumento dig.lab podemos desactivar la notacion cientifica, y asi obtener los intervalos con los extremos exactos:

levels(cut(Datos$ingresos, breaks = L , include.lowest = T, dig.lab=10))

##  [1] "[-999.5,1586.5]"   "(1586.5,4172.5]"   "(4172.5,6758.5]"  
##  [4] "(6758.5,9344.5]"   "(9344.5,11930.5]"  "(11930.5,14516.5]"
##  [7] "(14516.5,17102.5]" "(17102.5,19688.5]" "(19688.5,22274.5]"
## [10] "(22274.5,24860.5]" "(24860.5,27446.5]" "(27446.5,30032.5]"
## [13] "(30032.5,32618.5]" "(32618.5,35204.5]" "(35204.5,37790.5]"
## [16] "(37790.5,40376.5]" "(40376.5,42962.5]" "(42962.5,45548.5]"
## [19] "(45548.5,48134.5]" "(48134.5,50720.5]" "(50720.5,53306.5]"
## [22] "(53306.5,55892.5]" "(55892.5,58478.5]"

dig.lab=10 $\Rightarrow$ se muestran los 10 primeros digitos de los intervalos sin recurrir a notacion cientifica, en este caso tienen menos digitos que 10, por lo que no se recurre a la notacion cientifica.

Como hay muchos intervalos, usar ifelse() para obtener la variable cuantitativa categorizada no es eficiente.

Pero existe una opción mucho más eficiente para tal proposito en estos casos.

El siguiente código asigna a cada intervalo un número (al $i$-esimo intervalo el número $i$), y muestra a que intervalo pertenece cada observación de la variable cuantitativa ingresos, usando para ello el argumento labels

cut(Datos$ingresos, breaks = L, include.lowest = T, labels=F)[1:20]

##  [1] 9 8 5 7 9 7 2 6 7 3 2 2 3 6 7 3 3 3 4 5

Categorizamos la variable ingresos, generando una nueva variable que que indica el intervalo al que pertenece cada observación. Si la observacion $j$-esima de la variable ingresos pertenece al intervalo $i$-esimo, el valor $j$-esimo de la nueva variable será $i-1$ , en este caso para $i=1,2,...,23$, puesto que hay 23 intervalos de categorización.

a<-(cut(Datos$ingresos, breaks = L, include.lowest = T,  labels=F))

ingresos_categorizados_regla_Scott <- a-1

ingresos_categorizados_regla_Scott[1:20]

##  [1] 8 7 4 6 8 6 1 5 6 2 1 1 2 5 6 2 2 2 3 4

Calculamos la tabla de frecuencias de la variable ingresos usando la función Tabla_Frecuencias() , aplicada sobre la variable ingresos categorizada con la regla de Scott:

Tabla_Frecuencias_Ingresos_Regla_Scott <- Tabla_Frecuencias(Datos, ingresos_categorizados_regla_Scott, p1=22)

rownames(Tabla_Frecuencias_Ingresos_Regla_Scott) <- paste(levels(cut(Datos$ingresos, breaks = L,
include.lowest = T,  dig.lab=10 )) , 0:22 , sep = "  -  ") 

Tabla_Frecuencias_Ingresos_Regla_Scott <- round(Tabla_Frecuencias_Ingresos_Regla_Scott , 3)

Tabla_Frecuencias_Ingresos_Regla_Scott

	F.Abs	F.Rel	F.Abs.Cum	F.Rel.Cum
[-999.5,1586.5] - 0	14	0.011	14	0.011
(1586.5,4172.5] - 1	57	0.046	71	0.057
(4172.5,6758.5] - 2	141	0.114	212	0.172
(6758.5,9344.5] - 3	177	0.143	389	0.315
(9344.5,11930.5] - 4	199	0.161	588	0.476
(11930.5,14516.5] - 5	157	0.127	745	0.603
(14516.5,17102.5] - 6	128	0.104	873	0.706
(17102.5,19688.5] - 7	117	0.095	990	0.801
(19688.5,22274.5] - 8	71	0.057	1061	0.858
(22274.5,24860.5] - 9	61	0.049	1122	0.908
(24860.5,27446.5] - 10	32	0.026	1154	0.934
(27446.5,30032.5] - 11	20	0.016	1174	0.950
(30032.5,32618.5] - 12	15	0.012	1189	0.962
(32618.5,35204.5] - 13	17	0.014	1206	0.976
(35204.5,37790.5] - 14	9	0.007	1215	0.983
(37790.5,40376.5] - 15	5	0.004	1220	0.987
(40376.5,42962.5] - 16	5	0.004	1225	0.991
(42962.5,45548.5] - 17	3	0.002	1228	0.994
(45548.5,48134.5] - 18	4	0.003	1232	0.997
(48134.5,50720.5] - 19	2	0.002	1234	0.998
(50720.5,53306.5] - 20	0	0.000	1234	0.998
(53306.5,55892.5] - 21	1	0.001	1235	0.999
(55892.5,58478.5] - 22	1	0.001	1236	1.000

Esta tabla nos revela informacion muy util, como por ejemplo que hay 14 observaciones de la variable ingresos que caen en el intervalo, o equivalentemente, hay 14 ceros (0) entre los valores de la variable ingresoso categorizada con la regla de Scott.

Histograma

Un histograma es un gráfico de barras apiladas empleado para representar las frecuencias absolutas o relativas de una variable cuantitativa.

Para representar el histograma de una variable cuantitativa, se necesitan las frecuencias absolutas o relativas de dicha variable, por lo que se necesitan obtener los intervalos de categorizacion de la variable cuantitativa. Para ello se pueden seguir las reglas de categorización antes vistas.

Una vez que tenemos los intervalos de categorizacion de la variable cuantitativa, el histograma se construye de la siguiente manera:

En el eje x contiene el recorrido de la variable cuantitativa. En el eje y las frecuencias absolutas o relativas de los intervalos de categorización en la variable cuantitativa.

En el interior del gráfico hay barras apiladas, tantas como intervalos, y la $i$-esima barra está asignada al intervalo $i$-esimo, con una altura igual a la frecuencia absoluta o relativa del intervalo i-esimo en la variable cuantitativa.

Generamos un histograma de la variable cuantitativa ingresos usando los intervalos de categorización que se obtienen con la regla de Scott.

ggplot(data = Datos, aes(x=ingresos ))+
geom_histogram(aes(y = after_stat(count / sum(count))) , breaks=L , fill="bisque3", color="black")+
 scale_y_continuous( n.breaks = 15 )+
  scale_x_continuous(n.breaks = 12)+
  labs(x = "Ingresos",y = "Frecuencia Relativa")

Añadimos al histograma anterior lineas discontinuas verticales asociadas a los valores de algunos estadisticos descriptivos:

Gráfico de Barras

Un gráfico de barras es un gráfico de barras no apliladas empleado para representar las frecuencias absolutas o relativas de una variable categorica.

El gráfico de barras se construye de la siguiente manera:

En el eje x contiene el recorrido de la variable categorica. En el eje y las frecuencias absolutas o relativas de los intervalos de categorización en la variable cuantitativa.

En el interior del gráfico hay barras no apiladas, tantas como categorias tiene la variable categorica, cada barra está asignada a una categoria de la variable, y tiene una altura igual a la frecuencia absoluta o relativa de la categoria en la variable categorica.

Generamos un gráfico de barras de la variable categórica neduc (nivel de educación):

ggplot(data = Datos, aes(x=neduc ))+
geom_bar(aes(y = after_stat(count / sum(count))) ,
 fill="bisque3", color="black")+
 scale_y_continuous( n.breaks = 15 )+
  labs(x = "Nivel de Educacion",
  y = "Frecuencia Relativa")

Box-Plot

Generamos un box-plot de la variable cuantitativa ingresos

ggplot(Datos) + 
  geom_boxplot( aes(x = ingresos), fill="bisque3", 
  color = 'black') + 
  xlab("Ingresos") + 
  ggtitle("Box-plot de la variable Ingresos ")+
  scale_x_continuous(n.breaks = 12)

El box-plot o gráfico de caja es un gráfico para variables cuantitativas que contiene los siguientes elementos:

El extremos izquierdo de la caja (box) representa el valor $Q(0.25, X_k)$
El extremo derecho de la caja representa el valor $Q(0.75, X_k)$
La linea del interior de la caja representa el valor $Mediana(X_k)$
El extremo izquierdo de la linea horizontal es:

\[\begin{equation*} Max \left( Min(X_k) \hspace{0.1cm},\hspace{0.1cm} Q(0.25,X_k) - 1.5\cdot RIC \right) \end{equation*}\]

El extremo derecho de la linea horizontal es:

\[\begin{equation*} Min \left( Max(X_k) \hspace{0.1cm},\hspace{0.1cm} Q(0.75,X_k) + 1.5\cdot RIC \right) \end{equation*}\]

Los puntos que estan mas alla del extremos izquierdo o derecho de la linea horizontal son consideradas observaciones atípicas.

Donde: $RIC= Q(0.75,X_k) - Q(0.25,X_k)$ es el rango intercuartilico de $X_k$.

Añadimos lineas verticales discontinuas con valores relevantes sobre el gráfico anterior:

Asimetria y Curtosis

Coeficiente de Asimetria

El coeficiente de asimetria de Fisher de la variable cuantitativa $X_k$ es:

\[\begin{gather*} Asimetria(X_k) = \dfrac{\overline{x_{k}}_{3}}{S(X_k)^{3}} \end{gather*}\]

donde: \[\begin{gather*} \overline{x_{k}}_{3}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_{ik})^{3} \end{gather*}\]

Propiedades del coeficiente de asimetria

El coeficiente de asimetria de Fisher mide el grado de simetria de la distribucion de las observaciones de una variable respecto de su media aritmética.

Si $Asimetria(X_k) > 0$ $\Rightarrow$ la distribución de $X_k$ es asimétrica a la derecha.
Si $Asimetria(X_k) <0$ $\Rightarrow$ la distribución de $X_k$ es asimétrica a la izquierda.
Si la distribución es simétrica respecto de la media $\Rightarrow$ $Asimetria(X_k)=0$ . Pero el recíproco no es cierto.

Asimetria en R

library(moments)

skewness(Datos$ingresos)

## [1] 1.304721

Comparación Asimetia

Coeficiente de Curtosis

El coeficiente de curtosis de la variable cuantitativa $X_k$ es:

\[\begin{gather*} Curtosis(X_k) = \dfrac{\overline{x_k}_{4}}{S(X_k)^{4}} \end{gather*}\]

Donde: \[\begin{gather*} \overline{x_k}_{4}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i)^{4} \end{gather*}\]

Propiedades del coeficiente de Courtosis

El coeficiente de curtosis mide principalemte el grado de apuntamiento de la distribucion de las observaciones de una variable.

Si $Curtosis(X_k) > 3$ $\Rightarrow$ la distribucion de $X_k$ es mas apuntada y con colas mas gruesas que la distribución normal.
Si $Curtosis(X_k) < 3$ $\Rightarrow$ la distribucion de $X_k$ es menos apuntada y con colas menos gruesas que la distribución normal.

Curtosis en R

library(moments)

kurtosis(Datos$ingresos)

## [1] 5.630726

Comparación Apuntamiento:

Tablas de Frecuencias Relativas Conjuntas

Tablas de Frecuencias Relativas Conjuntas para 2 variables

Vamos a crear una función en R a la que le metemos un par de variables y nos devuelve una tabla con las frecuencias relativas conjuntas de las dos variables.

Las caracteristicas de la función son las siguientes:

Entrada: matriz de datos $X$
Entrada: variables $V1$ y $V2$ de $X$
$V1$ y $V2$ deben estar cargadas en R como vectores
$V1$ y $V2$ pueden ser variables categoricas o cuantitativas categorizadas
El recorrido de $V1$ tiene que ser $0:p1$ , con $p1=1,2,3,...$
El recorrido de $V2$ tiene que ser $0:p2$ , con $p2=1,2,3,...$
Entrada: $p1$ , $p2$
$V1$ es la variable de la parte superior (columnas) de la tabla
$V2$ es la variable de la parte inferior (filas) de la tabla

Tabla_Frecuencias_Relativas_Conjuntas_2_Variables <- function(X, V1, V2, p1, p2){

tabla<- matrix(NA, nrow=p2+1, ncol=p1+1 )

for(i in 0:p2){
  for(j in 0:p1){
    
tabla[i+1,j+1] <- ( dim( ( X %>% select(V1,V2) %>% filter(V1==j & V2==i) ) )[1] / dim(X)[1] )
  }
}

rownames(tabla)<-0:p2
colnames(tabla)<-0:p1
 
print("V1 esta en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la parte inferior (filas)")

tabla <- as.data.frame(tabla)

return(tabla) 
}

Ejemplo 1: Dos variables categoricas

Datos$edad <- recode(Datos$edad, "1"="0", "2"="1", "3"="2", "4"="3")
Datos$edad<- as.double( Datos$edad )
edad<-Datos$edad

Datos$genero <- recode(Datos$genero, "1"="0", "2"="1" )
Datos$genero <- as.double( Datos$genero )
genero <- Datos$genero

Tabla_Frecuencias_Relativas_Conjuntas_2_Variables(X=Datos, V1=edad , V2=genero, p1=3, p2=1 )

## [1] "V1 esta en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la parte inferior (filas)"

	0	1	2	3
0	0.0631068	0.2160194	0.1108414	0.1076052
1	0.0590615	0.2119741	0.1116505	0.1197411

Por ejemplo, la proporción de individuos que son hombres (genero=0) y mayores de 60 años (edad=3) es 0.107

Ejemplo 2: Una variable categorica y otra cuantitativa

Lo primero es categorizar la variable cuantitativa, para ello aplicamos una regla facil de categorizacion como la de la media

L<- c(min(Datos$ingresos), mean(Datos$ingresos), max(Datos$ingresos))

b<-cut(Datos$ingresos , breaks = L , include.lowest = T)

ingresos_categorizados_regla_media <- recode(b, "[-1e+03,1.41e+04]"=0 , "(1.41e+04,5.85e+04]"=1)

Hay que añadir la variable ingresos categorizada a la matriz de datos

Datos <- cbind(Datos, ingresos_categorizados_regla_media)

Tabla_Frecuencias_Relativas_Conjuntas_2_Variables(X=Datos, V1=ingresos_categorizados_regla_media , V2=genero, p1=1, p2=1 )

## [1] "V1 esta en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la parte inferior (filas)"

	0	1
0	0.2847896	0.2127832
1	0.2985437	0.2038835

Por ejemplo, la proporción de individuos que son hombres (genero=0) con ingresos superiores a la media (ingresos_categorizados_regla_media=1) es 0.21

Comprobación:

# Calculamos manualmente la entrada (V1=0, V2=0)

 ( dim( ( Datos %>% select(ingresos_categorizados_regla_media, genero) %>% filter(ingresos_categorizados_regla_media==0 & genero==0) ) )[1] / dim(Datos)[1] )

## [1] 0.2847896

Para dos variables cuantitativas seria un procedimiento analogo.

Tablas de Frecuencias Relativas Conjuntas para 3 variables:

Vamos a crear una función en R a la que le metemos tres variables y nos devuelve una tabla con las frecuencias relativas conjuntas de las tres variables, pero considerando un valor fijo de una de ellas.

Las caracteristicas de la función son las siguientes:

Entrada: matriz de datos $X$
Entrada: variables $V1$ , $V2$ y $V3$ de $X$
$V1$ , $V2$ y $V3$ deben estar cargadas en R como vectores
$V1$ , $V2$ y $V3$ pueden ser variables categoricas o cuantitativas categorizadas
El recorrido de $V1$ tiene que ser $0:p1$ , con $p1=1,2,3,...$
El recorrido de $V2$ tiene que ser $0:p2$ , con $p2=1,2,3,...$
El recorrido de $V3$ tiene que ser $0:p2$ , con $p3=1,2,3,...$
Entrada: $p1$ , $p2$, $p3$
$V1$ es la variable de la parte superior (columnas) de la tabla
$V2$ es la variable de la parte inferior (filas) de la tabla
$V3$ es la variable cuyo valor se fija
Entrada el valor fijado de $V3$ (valor_fijado_V3)

Tabla_Frecuencias_Relativas_Conjuntas_3_Variables <- function(X, V1, V2, p1, p2, V3, valor_fijado_V3){

tabla<- matrix(NA, nrow=p2+1, ncol=p1+1 )

    
for(i in 0:p2){
  for(j in 0:p1){
   
    tabla[i+1,j+1] <- ( dim( ( X  %>% filter( V1==j & V2==i & V3==valor_fijado_V3 ) ) )[1] / dim(X)[1] )

  }
}
 rownames(tabla)<-0:p2
 colnames(tabla)<-0:p1
 
 print("Tabla de contingencia conjunta entre las variables V1 , V2 y V3, donde V1 esta en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la inferior (filas), y V3 toma siempre un mismo valor fijado")
 
 tabla <- as.data.frame(tabla)
 
 return(tabla) 
}

Ejemplo: una variable cuantitativa y dos variables categoricas

Tabla_Frecuencias_Relativas_Conjuntas_3_Variables(X=Datos, V1= ingresos_categorizados_regla_media , V2= genero , p1=1, p2=1, V3= edad, valor_fijado_V3=3)

## [1] "Tabla de contingencia conjunta entre las variables V1 , V2 y V3, donde V1 esta en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la inferior (filas), y V3 toma siempre un mismo valor fijado"

	0	1
0	0.0776699	0.0299353
1	0.0938511	0.0258900

Por ejemplo, la proporción de individuos que son hombres (genero=0) con ingresos superiores a la media (ingresos_categorizados_regla_media=1) y mayores de 60 años (edad=3) es 0.03

Comprobación:

# Calculamos manualmente la entrada (V1=0, V2=0, V3=3)

( dim( ( Datos  %>% filter( ingresos_categorizados_regla_media==0 & genero==0 & edad==3 ) ) )[1] / dim(Datos)[1] )

## [1] 0.0776699

Se puede extender esta idea a mas dimensiones (4,5,6… variables), aunque no es habitual un analisis con mas de 3 varibles.

Tabla de Frecuencias Relativas Condicionadas

Tabla de Frecuencias Relativas Condicionadas con 2 variables

La idea es obtener una tabla de frecuencias relativas para 2 variables, $V1$ y $V2$, donde $V1$ condiciona a $V2$ , $(V2 | V1)$.

Las caracteristicas de la función son las siguientes:

Entrada: matriz de datos $X$
Entrada: variable $V1$
Entredas $V2\_indice$ es el indice de la variable V2 , si la variable $V2$ ocupa la columna 6 en $X$, entonces V2_indice=6
$V1$ debe estar cargada en R como vector
$V1$ y $V2$ pueden ser variables categoricas o cuantitativas categorizadas
El recorrido de $V1$ tiene que ser $0:p1$ , con $p1=1,2,3,...$
El recorrido de $V2$ tiene que ser $0:p2$ , con $p2=1,2,3,...$
Entrada: $p1$ y $p2$
$V1$ es la variable que condiciona, la de la parte superior (columnas) de la tabla
$V2$ es la variable de la parte inferior (filas) de la tabla

Tabla_Frecuencias_Relativas_Condicionadas_2_Variables <- function(X, V1, V2_indice, p1, p2 ){

tabla<- matrix(NA, nrow=p2+1, ncol=p1+1 )

for(i in 0:p2){
  for(j in 0:p1){
  
    X_new <- X %>% filter( V1==j)
     
    V2_new<- X_new[, V2_indice]
    
    tabla[i+1,j+1] <- (dim( ( X_new  %>% filter(V2_new==i) ) )[1] / dim(X_new)[1])
  }
}

 rownames(tabla)<-0:p2
 colnames(tabla)<-0:p1
 
print(" V1  es la variable que condiciona y esta en la parte superior (columnas) de la tabla y  V2 en la inferior (filas)")
 
 tabla <- as.data.frame(tabla)

 return(tabla) 
}

Tabla_Frecuencias_Relativas_Condicionadas_2_Variables(Datos, V1=genero, V2_indice=9, p1=1, p2=1)

## [1] " V1  es la variable que condiciona y esta en la parte superior (columnas) de la tabla y  V2 en la inferior (filas)"

	0	1
0	0.5723577	0.5942029
1	0.4276423	0.4057971

# La variable V2 es la de indice 9 de la matriz de datos, que es la variable ingresos categorizada con la regla de la media.

Por ejemplo, la proporción de personas con ingresos superiores a la media (ingresos_categorizados_regla_media=1), dentro del grupo de los hombres (genero=0) es 0.43

Comprobación:

# Comprobamos cual es la variable V2 usada en el codigo anterior

names(Datos %>% select(9))

## [1] "ingresos_categorizados_regla_media"

# Calculamos manualmente la entrada (V1=0, V2=0)

dim((Datos %>% filter(genero==0))%>% filter(ingresos_categorizados_regla_media==0))[1] / dim((Datos %>% filter(genero==0)))[1]

## [1] 0.5723577

Tablas de Frecuencias Relativas Condicionadas con 3 variables

La idea es obtener una tabla de frecuencias relativas para 3 variables, $V1$ , $V2$ y $V3$, donde $V1$ y $V3$ condicionan a $V2$ , $(V2 | V1 , V3 )$, y $V3$ tiene un valor fijado.

Las caracteristicas de la función son las siguientes:

Entrada: matriz de datos $X$
Entrada: variable $V1$ y $V3$
Entredas $V2\_indice$ es el indice de la variable V2 , si la variable $V2$ ocupa la columna 6 en $X$, entonces V2_indice=6
$V1$ y $V3$ debe estar cargada en R como vector
$V1$, $V2$ y $V3$ pueden ser variables categoricas o cuantitativas categorizadas
El recorrido de $V1$ tiene que ser $0:p1$ , con $p1=1,2,3,...$
El recorrido de $V2$ tiene que ser $0:p2$ , con $p2=1,2,3,...$
El recorrido de $V3$ tiene que ser $0:p3$ , con $p3=1,2,3,...$
Entrada: $p1$ , $p2$
$V1$ es una de las dos variables que condicionan, la de la parte superior (columnas) de la tabla
$V3$ es la otra variable que condiciona, pero tiene un valor fijado
$V2$ es la variable de la parte inferior (filas) de la tabla

Tabla_Frecuencias_Relativas_Condicionadas_3_Variables <- function(X, V1, V2_indice, p1, p2 , V3, valor_fijado_V3 ){

tabla<- matrix(NA, nrow=p2+1, ncol=p1+1 )

 
for(i in 0:p2){
  for(j in 0:p1){
  
     X_new <- X %>% filter( V1==j & V3==valor_fijado_V3)
     
     V2_new<- X_new[, V2_indice]
    
     tabla[i+1,j+1] <- ( dim( ( X_new  %>% filter(V2_new==i) ) )[1] / dim(X_new)[1] )

  }
}
 rownames(tabla)<-0:p2
 colnames(tabla)<-0:p1
 
 print("V1 y V3 condicionan a V2, V3 toma valor fijo, V1 está en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la inferior (filas)")
 
 tabla <- as.data.frame(tabla)
 
 return(tabla) 
}

Tabla_Frecuencias_Relativas_Condicionadas_3_Variables(Datos ,V1=genero, V2_indice=9, p1=1, p2=1, V3=edad, valor_fijado_V3 =3 )

## [1] "V1 y V3 condicionan a V2, V3 toma valor fijo, V1 está en la parte superior (columnas) de la tabla y V2 en la inferior (filas)"

	0	1
0	0.7218045	0.7837838
1	0.2781955	0.2162162

Por ejemplo, la proporción de personas con ingresos superiores a la media (ingresos_categorizados_regla_media=1), dentro del grupo de los hombres (genero=0) mayores de 60 años (edad=3) es 0.28

Comprobación:

# Comprobamos cual es la variable V2 usada en el codigo anterior

names(Datos %>% select(9))

## [1] "ingresos_categorizados_regla_media"

# Calculamos manualmente la entrada (V1=0, V2=0, V3=3)

dim((Datos %>% filter(genero==0 & edad==3) )%>% filter(ingresos_categorizados_regla_media==0))[1] / dim((Datos %>% filter(genero==0 & edad==3) ))[1]

## [1] 0.7218045

Estadistica Descriptiva en R

Datos de trabajo

Variables Estadisticas

Matriz de Datos

Representacion de la matriz de datos por filas

Representacion de la matriz de datos por columnas

Recorrido de una variable

Tipos de variables estadisticas:

Variables Cuantitativas y Categoricas:

Tipos de Variables Cuantitativas

Variables Discretas y Continuas

Tipos de Variables Categoricas

Variables Nominales y Ordinales

Estadisticos descriptivos

Media Aritmetica

Media Aritmetica en R

Vector de medias

Expresión matricial del vector de medias

Media Ponderada

Media Geometrica

Mediana

Mediana en R

Cuantiles

Cuantiles en R

Varianza y Desvación Típica

Varianza y Desvación Típica en R

Matriz de datos centrada

Variables Escaladas

Matriz de datos escalada

Covarianza

Propiedades de la covarianza

Covarianza en R

Matriz de Covarianzas

Matriz de Covarianzas en R

Correlacion Lineal de Pearson

Propiedades de la correlación lineal de Pearson

Correlaciones de Pearson en R

Matriz de correlaciones

Matriz de correlaciones en R

Distribución de Frecuencias

Frecuencia Absoluta de un elemento

Frecuencia Absoluta de un elemento en R

Frecuencia Absoluta de un conjunto

Frecuencia Absoluta de un intervalo en R

Frecuencia Absoluta de un conjunto discreto en R

Frecuencia Relativa de un elemento

Frecuencia Relativa de un conjunto

Frecuencia Relativa de un elemento en R

Frecuencia Relativa de un intervalo en R

Frecuencia Relativa de conjunto discreto en R

Frecuencias Acumuladas

Frecuencias Absoluta Acumulada en R

Frecuencia Relativa Acumulada en R

Tabla de Frecuencias

Tabla de Frecuencias para variables categoricas

Tabla de Frecuencias para variables cuantitativas

Categorización de Variables Cuantitativas

Regla de la Mediana

Regla de la Media

Regla de los Cuartiles

Regla de Scott

Regla de Scott Modificada

Ejemplos de cálculo de Tablas de Frecuecias para variables cuantitativas

Ejemplo 1: Tabla Frecuencias para Variable Cuantitativa usando la Regla de la Mediana

Ejemplo 2: Tabla Frecuencias para Variable Cuantitativa usando la Regla de Scott

Histograma

Gráfico de Barras

Box-Plot

Asimetria y Curtosis

Coeficiente de Asimetria

Propiedades del coeficiente de asimetria

Asimetria en R

Comparación Asimetia

Coeficiente de Curtosis

Propiedades del coeficiente de Courtosis

Curtosis en R

Comparación Apuntamiento:

Tablas de Frecuencias Relativas Conjuntas

Tablas de Frecuencias Relativas Conjuntas para 2 variables

Tablas de Frecuencias Relativas Conjuntas para 3 variables: