1 Sobre mim

Me chamo Kaius, sou um economista formado na UFV e agraciado com a medalha de prata Presidente Bernandes. Tive o privilégio de atuar como monitor da disciplina de ECO450 (Econometria I), ECO455 (Econometria II) e ECO457 (Econometria III), auxiliando os alunos de forma complementar as aulas.

Atuo como Cientista de Dados, uma área que sou completamente apaixonado, que mistura elementos de computação, estatística e conhecimento de área para resolução de inúmeros problemas. Espero fazer jus a minha paixão pelo mundo de dados e lhe introduzir de forma descontraída os principais métodos e ferramentas utilizadas para produção científica ou para utilização de empresas em meio a resolver problemas.

Ao longo deste documento, irei priorizar a utilização de elementos visuais, por meio de um pacote do R chamado ggplot2. Acredito que a matemática seja uma parte importante do processo de aprendizado, mas não podemos depender somente dela e devemos recorrer a lógica como base, por isso meu foco aqui será de instigar você a entender e se entusiasmar com o que pode ser feito com os métodos econométricos sem entrar em muitas expressões mais cabeludas.

2 Introdução

A econometria das séries temporais é uma área da econometria que se preocupa em utilizar modelos mais adequados sob presença do elemento tempo como variável explicativa de um fenômeno. Acima de tudo, lembrando da econometria I, esse efeito é o responsável pela introdução da autocorrelação serial em nossas estimativas.

A definição de google para esse problema é bem direto ao ponto: correlação existente entre uma observação i qualquer e a observação imediatamente anterior (i-1). Além disso, a autocorrelação (correlação serial) de ordem q é a correlação existente entre uma observação i qualquer e a observação anterior (i-q).

Na prática, podemos dizer que uma variável possui autocorrelação serial, quando, por exemplo, o PIB do ano passado explica o PIB desse ano. Isso faz sentido, visto que podemos dar uma previsão com base no que já aconteceu.

Por esse efeito, a econometria de séries temporais tem todo o foco em gerar previsões robustas sobre efeitos temporais, e é exatamente isso que busco explicar nesse documento, que não exclui a leitura de um material mais específico.

3 Conhecendo os dados.

Abaixo é a tabela relacionada a série de tempo. É a mesma ideia de abrir a série de tempos no excel, e no R a ideia é exatamente a mesma.

Observe que a série de tempo está apresentando as observações mês a mês.

library(forecast) # me dá mais funções para análise e estimação de séries temporais
library(astsa) # me dá mais funções para análise e estimação de séries temporais
library(aTSA) # teste para cointegração
library(dplyr) # me fornece funções para manipulação de dados
library(data.table) #formato de tabela melhor que o padrão do R
library(readxl) # leitura de dados do excel
library(kableExtra) # Só uso pra melhorar a imagem da tabela, nem considere isso
library(plotly) # igual o de cima só que pros gráficos
library(ggplot2) # melhor biblioteca de visualização de dados que tem por aí
library(vars) # modelagem VAR

dataset <- read_excel("PIB.xls")
dataset %>%
  kbl() %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")

Essa série pode ser representada graficamente simplesmente se usarmos a coluna Data no eixo x e PIB no eixo y.

# Tive que converter pra um formato específico de tempo para estimar, não é importante se você não quer usar o R...
dataset$data_em_segundos <- as.numeric(dataset$Data) 

ggplot(dataset, aes(x = Data, y= PIB)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  theme_classic()

4 Tendência e sazonalidade.

A definição ténica que o google vai dar é:

Tendência e sazonalidade são os componentes não observáveis de uma série temporal que representam, respectivamente, o movimento de longo prazo e o padrão regular (queda/subida) de um determinado período da série de tempo.

A definição que eu posso te dar é: tendência vai ser o comportamento do que você quer explicar ao longo de todo o tempo. Sazonalidade são as variações ao longo dessa tendência, que se repetem constantemente em dados periodos.

Como estimar a tendência? Vamos lembrar do estimador de MQO! Podemos estimar a tendência de X sobre Y, dado que X é o tempo. Não é muito distante de qualquer outro modelo linear estimado na econometria I, só que aqui não temos a preocupação acima da significância do beta estimado (porque esse valor não é confiável).

Não lembra aquela formula enjoada de disperção do MQO? Nem eu lembro esse trem. Usa a formula matricial! (Ou faz que nem qualquer pessoa normal e usa um programa pra estimar isso). De toda forma, usando a ferramenta que você achar melhor, o objetivo aqui é estimar o que?

Vamos lembrar:

• Uma função linear tem a fórmula a + bX
• Uma função exponencial tem a fórmula a + bX + cX^2
• Uma função cúbica tem a fórmula a + bX + cX^2 + dX^3

Podemos estimar esses valores que não são X, e pronto!. A linear tem essa cara:

modelo_linear <- lm(PIB ~ data_em_segundos, dataset)
ggplot(dataset, aes(x = Data, y= PIB)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  geom_line(aes(y = predict(modelo_linear))) + 
  theme_classic()

A exponencial tem essa:

modelo_exp <- lm(PIB ~ data_em_segundos + I(data_em_segundos ^ 2) , dataset)
ggplot(dataset, aes(x = Data, y= PIB)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  geom_line(aes(y = predict(modelo_exp))) + 
  theme_classic()

A cúbica tem essa:

modelo_cubico <- lm(PIB ~ data_em_segundos + I(data_em_segundos ^ 2) + I(data_em_segundos ^ 3), dataset)
ggplot(dataset, aes(x = Data, y= PIB)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  geom_line(aes(y = predict(modelo_cubico))) + 
  theme_classic()

Agora você pode estar se perguntando: e o quico?

A gente pode fazer uma previsão usando a tendência. É uma previsão robusta? Não necessariamente. (para a teoria econômica pelo menos.)

Nesse caso, o MQO é o melhor estimador linear não viesado? Lembrando de econometria I, sob presença de autocorrelação serial (defini lá na introdução), o MQO perde sua eficiencia (apresenta cada vez maiores variâncias), por isso, não é interessante para a análise temporal.

E a sazonalidade? Bom, sazonalidade pode ser uma dummy.

Vamos lembrar o que é uma dummy com um exemplo: Sou um graduando em economia e gostaria de estimar disparidades salariais no mercado de trabalho para indivíduos de sexos opostos. Tenho uma base de dados com as seguintes informações: Sexo, anos_de_estudo, renda.

Sexo assume um valor de 1 quando o indivíduo é do sexo masculino e 0 quando é do sexo feminino.

Uma forma bem simples de estimar desigualdade poderia ser feita da seguinte forma:

\[ y_{renda} = \beta_0 + \beta_1 escolaridade + \beta_2 Sexo \]

A dummy quando assume o valor de 1 pode adicionar ou reduzir do valor da renda quando comparado com o caso em que ela assume o valor 0.

Perfeito! Lembramos qual é a ideia de uma estimação com dummies. Vamos voltar ao modelo de séries temporais.

A sazonalidade pode ser estimada pra tentar trazer mais poder explicativo ao modelo geral. Poderíamos criar 4 dummies trimestrais:

D1 <- assume o valor de 1 quando o mês estiver entre janeiro e março. 0 caso contrário.

D2 <- assume o valor de 1 quando o mês estiver entre abril e junho. 0 caso contrário.

D3 <- assume o valor de 1 quando o mês estiver entre julho e setembro. 0 caso contrário.

D4 <- assume o valor de 1 quando o mês estiver entre outubro e dezembro. 0 caso contrário.

Minha estimação de tendência linear com sazonalidade teria essa cara:

\[ y_{PIB} = \beta_0 + \beta_1 data + \beta_2 D_1 + \beta_3 D_2 + \beta_4 D_3 \]

Observe que D4 está fora da equação por ser a base.

Gerei exatamente essas dummies na tabela apresentada no início do documento, dá uma olhada abaixo:

dataset <- read_excel("PIB.xls")
dataset <- dataset %>%
  mutate(D1 = ifelse(months(Data) %in% c("janeiro", "fevereiro", "março"), 1, 0),
         D2 = ifelse(months(Data) %in% c("abril", "maio", "junho"), 1, 0),
         D3 = ifelse(months(Data) %in% c("julho", "agosto", "setembro"), 1, 0),
         D4 = ifelse(months(Data) %in% c("outubro", "novembro", "dezembro"), 1, 0))


dataset %>%
  kbl() %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")

Dá uma olhada na minha nova estimação do pib com essas dummies:

modelo_dummies <- lm(PIB ~ Data + D1 + D2 + D3, dataset)
ggplot(dataset, aes(x = Data, y= PIB)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  geom_line(aes(y = predict(modelo_dummies))) + 
  theme_classic()

5 Estacionaridade: O que é? Porque usamos séries estacionárias?

Existem dois conceitos sobre a estacionariedade, sendo divididos em estacionariedade fraca e forte.

Estacionariedade forte: a média e a variância são as mesmas independente de translações no tempo. \[ \bar{\mu} = f(tempo) \] \[ \bar{\sigma}^2 = f(tempo) \] Estacionariedade fraca: a média, a variância e a autocorrelação da série como um todo, são constantes.

Ao invés de colocar uma equação aqui, vou mostrar o comportamento de uma média não constante com a série apresentada no documento.

Lembrando daquele primeiro gráfico que apresentei, vou definir 3 diferentes intervalos:

1. de 1990 a 1999
2. de 2000 a 2009
3. de 2010 para frente.

Em cada intervalo, calculo a média do pib. A média (a linha preta) é a mesma em todo o intervalo analisado?

media_primeiro <- dataset %>%
  filter(Data < as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC")) %>%
  summarise(mean(PIB)) %>%
  pull()

media_segundo <- dataset %>%
  filter(Data >= as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC") &
           Data < as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC")) %>%
  summarise(mean(PIB)) %>%
  pull()

media_terceiro <- dataset %>%
  filter(Data >= as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC")) %>%
  summarise(mean(PIB)) %>%
  pull()

ggplot(dataset, aes(x = Data, y= PIB)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  geom_vline(xintercept = as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC"), color = "red") +
  geom_vline(xintercept = as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC"), color = "red") +
  geom_segment(aes(
    x=as.POSIXct("1990-01-01", tz="UTC"),
    xend=as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC"),
    y=media_primeiro,
    yend=media_primeiro)) +
  geom_segment(aes(
    x=as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC"),
    xend=as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC"),
    y=media_segundo,
    yend=media_segundo)) +
  geom_segment(aes(
    x=as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC"),
    xend=as.POSIXct("2022-02-01", tz="UTC"),
    y=media_terceiro,
    yend=media_terceiro)) +
  theme_classic()

Como vimos anteriormente, essa série de tempo tem uma tendência positiva. Então a média dela aumenta conforme o passar do tempo, e isso é uma característica de série não estacionária.

E qual o problema disso? Bom, existem alguns motivos do por que não é algo interessante trabalhar com séries não estacionárias. Alguns desses podem estar relacionados ao comportamento dessa série em presença de choques (série mal comportada), outras podem criticar que pela média (e variância) não ser constante, a distribuição de valores dessa variável também muda. No fim, é interessante trabalhar com série estacionária por um motivo crucial: a estimação fica mais precisa e os resultados são confiáveis.

6 Estacionarizando uma série temporal.

A diferenciação de uma série é um método de tornar uma série não estacionária em estacionária. Para isso, fazemos simplesmente a diferenciação de um valor com sua observação passada. Exemplo: o valor do PIB em Janeiro de 2020 é subtraido do valor do PIB em dezembro de 2019 (exatamente um mês antes), assim, o novo valor resultante dessa subtração é o valor diferenciado. Dá uma olhada na coluna nova:

dataset$data_em_segundos <- NULL #nada demais aqui
dataset <- dataset %>%
  mutate(primeira_diferenca = PIB - lag(PIB))


dataset %>%
  kbl() %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")

Esse NA em janeiro de 1990 é simplesmente um valor faltante. Como não temos a informação do PIB um mês antes, esse valor é perdido. Por isso existe perda de informação na diferenciação da série. Quanto mais vezes eu repito esse processo, mais observações eu perco.

Visualmente a média naqueles mesmos intervalos é igual a partir de agora???

media_primeiro <- dataset %>%
  filter(Data < as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC")) %>%
  summarise(mean(primeira_diferenca, na.rm = TRUE)) %>%
  pull()

media_segundo <- dataset %>%
  filter(Data >= as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC") &
           Data < as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC")) %>%
  summarise(mean(primeira_diferenca)) %>%
  pull()

media_terceiro <- dataset %>%
  filter(Data >= as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC")) %>%
  summarise(mean(primeira_diferenca)) %>%
  pull()

ggplot(dataset, aes(x = Data, y= primeira_diferenca)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  geom_vline(xintercept = as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC"), color = "red") +
  geom_vline(xintercept = as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC"), color = "red") +
  geom_segment(aes(
    x=as.POSIXct("1990-01-01", tz="UTC"),
    xend=as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC"),
    y=media_primeiro,
    yend=media_primeiro)) +
  geom_segment(aes(
    x=as.POSIXct("2000-01-01", tz="UTC"),
    xend=as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC"),
    y=media_segundo,
    yend=media_segundo)) +
  geom_segment(aes(
    x=as.POSIXct("2010-01-01", tz="UTC"),
    xend=as.POSIXct("2022-02-01", tz="UTC"),
    y=media_terceiro,
    yend=media_terceiro)) +
  theme_classic()

Parece que sim! Mas como dá pra ver, não posso afirmar com a mais absoluta certeza que as médias são estatisticamente iguais. É aí que entram os testes de estacionariedade Dickey Fuller, Dickey Fuller aumentado, KPSS entre outros. Quanto mais testes são usados, mais certeza podemos ter que a média dessa série em primeira diferença é de fato uma constante (o mesmo vale para sua variância).

7 A função de autocorrelação e autocorrelação parcial.

Inicio essa seção com uma indagação, você sabe definir correlação? Como definiria correlação com suas palavras? Correlação implica causalidade?

Com as minhas palavras, correlação é o quanto uma coisa varia considerando a variação de outra coisa. Por exemplo, quanto maior a escolaridade de uma pessoa, maior tende a ser o nível de renda. Essas varíaveis são consideradas muito correlacionadas, e existe, além da correlação entre elas, um sentido de causalidade. Assim, além de maiores níveis de escolaridade estarem correlacionados com maiores níveis de renda, existe um componente causal, que explica a renda da pessoa com base em sua educação!

Muitas vezes, a correlação não é um indicativo de causalidade, mas causalidade é indicativo de correlação. Sobre esse assunto, acesse aqui para conhecer algumas séries temporais muito correlacionadas que não implicam em causalidade alguma!

Mas beleza, falei muito de correlação, e por que isso é relevante?

Nas séries temporais, o valor do presente tende a estar muito relacionado com algum componente do passado. Esse sentido é apresentado por meio de uma correlação entre o termo no presente com o termo defasado (atrasado) em k vezes, ou por meio de uma representação direta (explicação causal) de um termo com o seu passado em k vezes.

A função de autocorrelação busca exatamente a representação de quanto o termo do passado varia considerando esse mesmo termo atrasado em k períodos. É o mesmo que comparar o seguinte:

dataset <- as.data.table(dataset)
dataset[, pib_um_mes_atras := lag(PIB)]
dataset[, pib_doze_meses_atras := lag(PIB, 12)]

dataset_long <- melt(
  dataset[, .SD, .SDcols = c("Data", "PIB", "pib_um_mes_atras", "pib_doze_meses_atras")],
  id.vars = "Data", variable.name = "Serie", value.name = "PIB")

ggplot(dataset_long[Data >= as.POSIXct("2019-01-01", tz="UTC")], aes(Data, PIB, color = Serie)) +
  geom_line() +
  scale_y_continuous(labels = scales::number_format()) +
  theme_classic()

Qual das linhas apresenta um desenho mais similar ao PIB? Como o PIB defasado em um mês é mais parecido em desenho, sua correlação com o PIB deve ser maior também!

Assim, vamos supor que para cada termo de Y, eu gostaria de estimar o quanto esse termo se correlaciona com seu valor defasado (ele atrasado em n vezes). A autocorrelação, no fim, é um valor entre -1 e 1, e, quanto mais próximo de |1|, maior a correlação de dois efeitos.

A função de autocorrelação faz a relação de y com sua enésima defasagem, e retornaria esses resultados no caso do PIB:

plot(acf(dataset$PIB))

O gráfico acima é conhecido como correlograma. Como é possível análisar, o ponto em que cada linha bate no eixo y indica o quão correlacionada está o PIB com sua defasagem, no eixo x. Quanto mais defasagens, menor o sinal esperado da correlação.

E a função de autocorrelação parcial? Ao invés de usarmos a correlação entre duas variáveis, estimamos um coeficiente direto (um sentido de causalidade), por meio de pequenas “regressões” relacionando Y com Y defasado em n termos. Na prática é estimar b, nessa equação: \(Y_t = b(Y_{t -n})\) (é um pouco mais complexa que isso, mas posso generalizar aqui para facilitar).

Assim, o sinal da PACF (função de autocorrelação parcial) é mais sensível ao termo defasado que a simples correlação entre termos, e, graficamente tem essa cara:

plot(pacf(dataset$PIB))

Se refizermos esses dois gráficos, só que em cima da primeira diferença da série do PIB (que é estacionária), veremos uma notável diferença.

dataset <- dataset %>%
  mutate(primeira_diferenca = PIB - lag(PIB))

plot(acf(dataset$primeira_diferenca, na.action = na.pass))

plot(pacf(dataset$primeira_diferenca, na.action = na.pass))

Os correlogramas da série normal, e em primeira diferença são bem diferentes! No caso, os dois primeiros gráficos são muito comuns a séries não estacionárias, enquanto que os dois últimos apresentam um padrão um pouco mais próximo de séries estacionárias.

A análise do correlograma não é suficiente para diagnosticar estacionariedade, mas pode ser uma ferramenta importante para identificar característiscas intrínsecas a essa série, conforme poderemos descobrir no decorrer da matéria. (Estimação por meio de ARIMA utiliza diagnóstico gráfico em cima desses conceitos)

8 Tratando a sazonalidade.

Recobrando do primeiro gráfico apresentado nesse documento, é possível notar que existem oscilações recorrentes ao longo da série temporal. Podemos utilizar uma técnica bem simples para “suavizar” essa série de tempo e tratar a sazonalidade. Essa técnica foi muito usada durante a pandemia do COVID-19 e se trata de suavizar por meio da média móvel de um periodo.

Funciona assim: em dado dia/mês/ano, pegamos n valores anteriores a essa observação e calculamos a média. Fazemos isso para todas as observações. Quanto mais valores forem utilizados para calcular a média, mais “suave” fica a série. Abaixo calculo a média de 3, 6, 9 e 12 meses:

dataset <- read_excel("PIB.xls")
dataset <- dataset %>%
  mutate(
    media_movel_3_meses = frollmean(PIB, 3),
    media_movel_6_meses = frollmean(PIB, 6),
    media_movel_9_meses = frollmean(PIB, 9),
    media_movel_12_meses = frollmean(PIB, 12)
)

dataset %>%
  kbl() %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")