Mazkur maqolada derivativlarning qo‘llanilish modellari ko‘rib chiqiladi va qisqacha tahliliy fikrlar beriladi. Derivativlarning matematik modellarining ahamiyati yoritiladi.
derivativlar, matematik modellar, modellarning implementatsiyasi, moliya bozorida derivativlarning qo‘llanilishi.
Moliyaviy derivativlarning modellarini amalga oshirish – bu moliyaviy derivativlar modellari uchun VBA (visual basic application)da ilg‘or amalga oshirish usullarini kompleks ko‘rib chiqishdir. Monte-Karlo simulyatsiyasi kontekstida, shuningdek, panjara va PDE usullari uchun kengroq ta’kidlaydi. Uning baholashga o‘ziga xos yondashuvi, ham raqamli, ham hisoblash nuqtayi nazaridan samarali amalga oshirilishini ta’kidlab, uni bebaho manbaga aylantiradi.
“Moliyaviy derivativlarning matematik modellari” koʻpgina qimmatli qogʻozlar uchun umumiy boʻlgan martingale bahosi tamoyillariga eʼtiborni qaratgan holda, moliyaviy muhandislik yondashuvidan foydalangan holda lotinlarni modellashtirish nazariyasi boʻyicha darslikdir. Qimmatli qogʻozlar va qat’iy daromad bozorlarida sotiladigan moliyaviy derivativlarning keng doirasi baho, xedjlash va ularning risklarini boshqarish jihatlariga urg‘u berib, tahlil qilindi. Taniqli Blek-Skoulz-Mertonning opsion narxlash modeli formulasidan boshlab, oʻquvchilar eng soʻnggi derivativ narxlash modellari va foiz stavkalari modellari boʻyicha yangi yutuqlar boʻyicha matn orqali yoʻl-yoʻriq koʻrsatadilar. Har xil turdagi derivativ narxlash modellarini yechishning analitik usullari va raqamli usullari ta’kidlangan. Doimiy vaqtli martingal narxlari nazariyasi diskret vaqt doirasidagi moliyaviy iqtisodiyotning asosiy tamoyillarini tahlil qilish orqali asoslanadi. Turli xil ekzotik kapital va qat’iy daromad hosilalarining yopiq shakldagi formulalarining katta to’plami hujjatlashtirilgan. Eng soʻnggi tadqiqot natijalari va metodologiyalari har bir bobning oxiridagi keng koʻlamli mashqlar to’plami orqali o’quvchilarga taqdim etiladi. Yue-Kuen Kvok Gonkong fan va texnologiya universitetining matematika professori. U 80 dan ortiq tadqiqot ishlari va bir nechta kitoblar, jumladan, Amaliy kompleks oʻzgaruvchilar muallifi. U Journal of Economic Dynamics and Control and Asia-Pacific Financial Markets jurnalining yordamchi muharriri.
Moliyaviy derivativlar ma’lum bir moliyaviy vosita yoki ko‘rsatkich yoki tovar bilan bog‘langan moliyaviy vositalar bo‘lib, ular orqali o‘ziga xos moliyaviy risklarni moliya bozorlarida sotish mumkin. Moliyaviy derivativlar bo‘yicha operatsiyalar ular bog‘lanishi mumkin bo‘lgan asosiy operatsiyalar qiymatining ajralmas qismi sifatida emas, balki alohida operatsiyalar sifatida ko‘rib chiqilishi kerak. Moliyaviy derivativning qiymati aktiv yoki indeks kabi asosiy obyekt narxidan kelib chiqadi. Qarz vositalaridan farqli o‘laroq, asosiy qarzni to‘lash uchun avans berilmaydi va hech qanday investitsiya daromadi hisoblanmaydi. Moliyaviy derivativlar risklarni boshqarish, xedjlash, bozorlar o‘rtasidagi arbitraj va chayqovchilik kabi bir qator maqsadlarda qo‘llaniladi. 1973-yilda Chikagoda opsion savdosi joriy etilganidan beri derivativlar risklarni samarali ajratish va uzatish imkonini berish orqali kapital bozorlari evolyutsiyasini shakllantirdi. Moliyaviy vositachilar derivativlar chayqovchilar va xedjerlar uchun davlat to‘lovlarini moslashtirish uchun mukammal vosita ekanligini darhol tan oldilar. Binobarin, uyushgan birjalarda hamda birjadan tashqari bozorlarda sotiladigan derivativ shartnomalar hajmi va har xil turlari barqaror o‘sib bordi. Ushbu muvaffaqiyatning katalizatorlari moliyaviy nazariyaning rivojlanishi va narxning murakkab matematik modellari, real vaqtda ma’lumotlarning mavjudligi, texnologik innovatsiyalar (ayniqsa, tobora kuchayib borayotgan kompyuterlar), shuningdek, ochiq savdodan elektron savdoga o‘tish edi. Bugungi kunda biz derivativlar deyarli har qanday moliyaviy shartnomaning muhim xususiyatiga aylangan darajaga yetdik. Ular kompaniyalar va jismoniy shaxslarning sarmoya kiritish, kapitalni oshirish va hatto xavfni o‘lchash, boshqarish va tushunish usullarini o‘zgartirdi. Derivativlar bilan bog‘liq asosiy risklar (masalan, kredit, bozor, operatsion va huquqiy risklar va boshqalar) ko’plab moliyaviy institutlar va firmalar o‘zlarining an’anaviy bizneslarida duch keladigan risklardan farq qilmaydi. Biroq, derivativlar bilan bog‘liq risklar, ularning dinamik tabiati, to‘lovlarning nosimmetrikligi va derivativ pozitsiyalarining yashirin leverageligi tufayli baholash va boshqarish uchun ancha murakkab bo‘lishi mumkin. 1973-yilda Fisher Blek, Robert Merton va Myron Skoulz tomonidan ishlab chiqilgan Blek-Skoulz modeli joriy aksiyalar bahosi, kutilayotgan dividendlar, opsionning ishlamay narxi, kutilayotgan qiymatdan foydalangan holda opsion shartnomasining nazariy qiymatini hisoblashda keng qo‘llaniladigan birinchi matematik usul bo‘ldi. Dastlabki tenglama Blek va Skoulzning 1973-yilda Journal of Political Economy jurnalida chop etilgan “Opsiyonlar va korporativ majburiyatlarning bahosi” nomli maqolasida kiritilgan. Robert C. Merton ushbu maqolani tahrirlashda yordam bergan. O‘sha yilning oxirida u “The Bell Journal of Economics and Management Science” jurnalida o‘zining “Ratsional opsion narxlari nazariyasi” nomli maqolasini nashr etdi, bu modelning matematik tushunchasi va qo‘llanilishini kengaytirdi va “Black-Scholes opsion narxining nazariyasi” atamasini yaratdi. 1997-yilda Skoulz va Merton “derivativlar qiymatini aniqlashning yangi usuli”ni topishdagi ishlari uchun iqtisod fanlari bo‘yicha Nobel xotira mukofoti bilan taqdirlandilar. Blek ikki yil oldin vafot etgan va shuning uchun laureat bo‘lishi mumkin emas edi, chunki Nobel mukofotlari vafotidan keyin berilmaydi; ammo Nobel qo‘mitasi uning Blek-Skoulz modelidagi rolini tan oldi. Blek-Skoulzning ta’kidlashicha, aksiyalar yoki fyuchers shartnomalari kabi vositalar doimiy siljish va o‘zgaruvchanlik bilan tasodifiy yurishdan keyin narxlarning lognormal taqsimotiga ega bo’ladi. Ushbu taxmindan va boshqa muhim o‘zgaruvchilarda faktoringdan foydalangan holda, tenglama Yevropa uslubidagi qo‘ng‘iroq opsionining narxini chiqaradi. Blek-Skoulz tenglamasi beshta o‘zgaruvchini talab qiladi. Ushbu kirishlar o‘zgaruvchanlik, asosiy aktivning narxi, opsionning narxi, optsionning amal qilish muddati tugaguniga qadar vaqt va risksiz foiz stavkasi. Ushbu o‘zgaruvchilar yordamida opsion sotuvchilari o‘zlari sotayotgan opsionlar uchun oqilona narxlarni belgilashlari nazariy jihatdan mumkin. Bundan tashqari, model og‘ir sotiladigan aktivlarning narxi doimiy siljish va o‘zgaruvchanlik bilan geometrik Brownian harakatidan keyin sodir bo‘lishini taxmin qiladi. Birja opsioniga qo‘llanilganda, model aksiya narxining doimiy o‘zgarishini, pulning vaqt qiymatini, opsionning amal qilish narxini va opsionning amal qilish muddatini o‘z ichiga oladi. Blek-Skoulz modeli ma’lum taxminlarni keltirib chiqaradi: • Opsionning amal qilish muddati davomida dividendlar to‘lanmaydi; • Bozorlar tasodifiy (ya’ni, bozor harakatlarini oldindan aytib bo‘lmaydi); • Opsionni sotib olishda tranzaksiya xarajatlari yo‘q; • Asosiy aktivning risksiz darajasi va o’zgaruvchanligi ma’lum va doimiydir; • Asosiy aktivning daromadlari log-normal taqsimlanadi. Variant Yevropa bo‘lib, faqat amal qilish muddati tugashi bilan amalga oshirilishi mumkin. Blek-Skoulzning asl modeli optsionning amal qilish muddati davomida to‘langan dividendlarning ta’sirini hisobga olmagan bo‘lsa-da, model ko‘pincha asosiy aksiyaning sobiq dividend sanasi qiymatini aniqlash orqali dividendlarni hisobga olish uchun moslashtiriladi. Model, shuningdek, muddati tugashidan oldin amalga oshirilishi mumkin bo‘lgan opsionlarning ta’sirini hisobga olish uchun ko‘plab opsionlarni sotuvchi market-meykerlar tomonidan o‘zgartiriladi. Shu bilan bir qatorda, ko‘proq sotiladigan Amerika uslubidagi opsionlarning narxini aniqlash uchun firmalar binomial yoki trinomial model yoki Bjerksund-Stensland modelidan foydalanadilar. Blek-Skoulz modeli formulasi: formulaga kiritilgan matematika murakkab va qo‘rqitishi mumkin. Yaxshiyamki, o‘z strategiyangizda Blek-Skoulz modellashtirishdan foydalanish uchun matematikani bilishingiz yoki hatto tushunishingiz shart emas. Opsion treyderlari turli xil onlayn opsion kalkulyatorlaridan foydalanish imkoniyatiga ega va bugungi kundagi ko‘pgina savdo platformalari hisob-kitoblarni amalga oshiradigan va opsion narxlari qiymatlarini chiqaradigan ko‘rsatkichlar va elektron jadvallarni o’z ichiga olgan ishonchli opsion tahlil vositalariga ega. Blek-Skoulz koll opsion formulasi aksiyalar narxini umumiy standart normal ehtimollik taqsimoti funksiyasiga ko‘paytirish yo‘li bilan hisoblanadi. Shundan so‘ng, ish tashlash narxining sof joriy qiymati (NPV) yig‘ilgan standart normal taqsimotga ko‘paytiriladi, oldingi hisob-kitobning natijaviy qiymatidan chiqariladi.
\[ C=S_tN(d_1) - Ke^{-rt}N(d_2) \] \[ d_1 = \frac{ln\frac{S_t}{K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})t}{\sigma_s*\sqrt{t}} \] va \[ d_2=d_1-\sigma_s*\sqrt{t} \]
Bu yerda, C – call option narxi S – joriy aksiya narxi K – strike narxi r – risksiz foiz stavka t – to‘yinish davrigacha vaqt N – normal taqsimot. Yuqorida aytib o‘tilganidek, Blek-Skoulz modeli faqat Yevropa opsionlarini baholash uchun ishlatiladi va AQSh opsionlarining amal qilish muddati tugashidan oldin amalga oshirilishini hisobga olmaydi. Bundan tashqari, model dividendlar va risksiz stavkalar doimiy bo‘lishini nazarda tutadi, ammo bu haqiqatda to‘g‘ri bo‘lmasligi mumkin. Model shuningdek, o‘zgaruvchanlik opsionning amal qilish muddati davomida doimiy bo‘lib qoladi deb taxmin qiladi, chunki bunday emas, chunki volatillik talab va taklif darajasiga qarab o‘zgarib turadi. Blek-Skoulz modeli faqat Yevropa opsionlarini baholash uchun ishlatiladi va Amerika opsionlari amal qilish muddati tugashidan oldin amalga oshirilishi mumkinligini hisobga olmaydi. Bundan tashqari, model dividendlar, o‘zgaruvchanlik va risksiz stavkalar optsionning amal qilish muddati davomida o‘zgarmasligini nazarda tutadi. Soliqlar, komissiyalar yoki savdo xarajatlari yoki soliqlarni hisobga olmaslik ham real natijalardan chetga chiqadigan baholarga olib kelishi mumkin. Merton modeli – bu kompaniya qarzining kredit riskini baholash uchun ishlatiladigan tahlil modeli. Tahlilchilar va investorlar Merton modelidan kompaniyaning moliyaviy majburiyatlarini bajarish, qarzlariga xizmat ko‘rsatish va kredit defoltiga tushib qolish ehtimolini baholash uchun qanchalik qodir ekanligini tushunish uchun foydalanadilar. Merton modeli quyidagi asosiy taxminlarni keltirib chiqaradi: • Barcha variantlar Yevropa va faqat amal qilish muddati tugashi bilan amalga oshiriladi; • Dividendlar to‘lanmaydi; • Bozor harakati oldindan aytib bo‘lmaydigan (samarali bozorlar); • Hech qanday komissiya kiritilmagan; • Asosiy aksiyalarning o’zgaruvchanligi va risksiz stavkalari doimiydir; • Asosiy aksiyalarning daromadlari muntazam ravishda taqsimlanadi. Formulada e’tiborga olingan o‘zgaruvchilar qatoriga opsion narxlari, joriy asosiy narxlar, xavf-xatarsiz foiz stavkalari va amal qilish muddati tugashiga qadar bo‘lgan vaqt kiradi. 1974-yilda Robert Merton kompaniyaning o‘z kapitalini uning aktivlari bo‘yicha opsion sifatida modellashtirish orqali kompaniyaning kredit riskini baholash modelini taklif qildi. Bu usul Blek-Skoulz-Merton opsion narxlash modelidan foydalanish imkonini beradi. Merton modeli defolt xavfi va kompaniyaning aktivlari o‘rtasidagi tarkibiy munosabatlarni ta’minlaydi. Robert C. Merton taniqli amerikalik iqtisodchi va Nobel Memorial mukofoti laureati bo‘lib, u o‘zining birinchi aktsiyasini 10 yoshida munosib ravishda sotib oldi. Keyinchalik u Kolumbiya universitetida fan bakalavri, Kaliforniya texnologiya institutida fan magistri (Cal Tech) darajasini oldi. Massachusets Texnologiya Institutida (MIT) iqtisod fanlari doktori, keyinchalik u 1988-yilgacha professor bo‘ldi. MIT da u moliyaviy dunyoda qo‘llash uchun innovatsion va pretsedentli g‘oyalarni ishlab chiqdi va nashr etdi.
Blek va Skoulz, Mertonning MITda ishlagan davrida, opsionni himoya qilish orqali tizimli xavfni yo‘q qilish haqida tanqidiy fikrni ishlab chiqdilar. Keyin Merton opsionni xedjlash barcha xavflarni bartaraf etishini ko‘rsatadigan derivativ ishlab chiqdi. Blek va Skoulz 1973-yildagi “Opsiyalarning narxlari va korporativ majburiyatlar” nomli maqolalarida Mertonning formulaning hosilasini tushuntirgan hisobotini kiritdilar. Keyinchalik Merton formula nomini Blek-Skoulz modeliga o‘zgartirdi. Derivativ narxi modellari investorlar tomonidan derivativning haqiqiy qiymatining obyektiv o‘lchovini topishga urinish uchun qo‘llaniladigan usullardir. Keyinchalik, bu munosib investitsiya yoki yo‘qligini bilish uchun uning haqiqiy bozor narxi bilan taqqoslanadi. Har bir model derivativga ta’sir qiluvchi turli ma’lum omillarni hisobga oladi. Hosilaviy narxlash modellari obyektiv tarzda ishlasa-da, model qamrab oladigan omillarni tanlashning o‘zi subyektivdir.