Tarea 5. Splines cúbicos.

Ejercicio 1.

En cada inciso considera la función de valores reales, usa splines cúbicos para encontrar una aproximación en el intervalo dado. Calcula el valor de la función, de la derivada y en cada caso calcula el error real.

1. \(f(x)=e^{2x}\). Puntos: \(x_0=0, x_1=0.25, x_2=0.5, x_3=0.75\). Aproximar \(f(0.43)\) y \(f'(0.43)\).

Valor

## [1] 2.347353

Error abs

## [1] 0.01580817

Derivada

## [1] 4.726321

2. \(f(x)=x\, log(x)\), \(x\in [2,12]\), \(h=2\). Aproximar \(f(8.4)\) y \(f'(8.4)\).

Valor

## [1] 17.87406

Error abs

## [1] 0.003082143

Derivada

## [1] 3.128232

3. \(f(x)=sen(e^x-2)\), \(x\in [0,5]\), \(h=1\). Aproximar \(f(0.9)\) y \(f'(0.9)\).

Valor

## [1] 0.656121

Error abs

## [1] 0.2125286

Derivada

## [1] 0.8962286

4. \(f(x)=x\, cos\,x-2x^2+3x-1\). \(x\in [0,2]\), \(h=0.5\). Aproximar \(f(0.25)\) y \(f'(0.25)\).

Valor

## [1] -0.1773416

Error abs

## [1] 0.04456967

Derivada

## [1] 2.907061

5. \(f(x)=x\,cos\,x-3x\). Puntos: \(x_0=0.1, x_1=0.2, x_2=0.3, x_3=0.4\). Aproximar \(f(0.18)\) y \(f'(0.18)\).

Valor

## [1] -0.362941

Error

## [1] 3.28817e-05

Derivada

## [1] -2.048382

Ejercicio 2

Encuentra los splines cúbicos condicionados para las funciones del ejercicio anterior. a

b

c

d

e

Ejercicio 3

Se sospecha que las elevadas concentraciones de tanina en las hojas de los robles maduros inhiben el crecimiento de las larvas de la polilla invernal (Operophtera bromata L. Geometridae) que tanto dañan a los árboles en algunos años. La tabla anexa contiene el peso promedio de dos muestras de larva, tomadas en los primeros 28 días después de nacimiento. La primera muestra se crió en hojas de robles jóvenes, mientras que la segunda lo hizo en hojas maduras del mismo árbol.

1. Usa splines cúbicos para aproximar la curva del peso promedio de las muestras.

2. Para calcular un peso promedio máximo aproximado de cada muestra, determina el máximo del polinomio interpolante.

\[\begin{equation} \begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|r} \text{Día} & 0 & 6 & 10 & 13 & 17 & 20 & 28 \\ \hline \text{Peso promedio muestra 1 (mg)} & 6.67 & 17.33 & 42.67 & 37.33 & 30.10 & 29.31 & 28.74 \\ \text{Peso promedio muestra 2 (mg)} & 6.67 & 16.11 & 18.89 & 15.00 & 10.56 & 9.44 & 8.89 \end{array} \end{equation}\]

poly.calc(dias, muestra1)

## 6.67 - 42.64348*x + 16.14272*x^2 - 2.094639*x^3 + 0.1269024*x^4 -  
## 0.003671679*x^5 + 4.094576e-05*x^6

## 16.14272 * (2 * x) - 42.64348 - 2.094639 * (3 * x^2) + 0.1269024 * 
##     (4 * x^3) - 0.003671679 * (5 * x^4) + 4.094576e-05 * (6 * 
##     x^5)

Ejercicio 4

Construye los splines cúbicos con \(n\) nodos, donde \(n=3,4\) para las siguientes funciones en el intervalo dado.

1. \(f(x) = e^{2x}\, cos 3x\), \([0,2]\).

2. \(f(x) = sen(log\,x)\), \([1,3]\).

3. \(f(x) = e^{x}+e^{-x}\), \([0,2]\).

4. \(f(x) = cos \,x+sen\,x\), \([0,2\pi]\).

Ejercicio 5

Dada la partición \(x_0=0, x_1=0.5, x_2=1\), del intervalo \([0,1]\), encuentra el spline cúbico \(S\) para \(f(x)=e^{2x}\). Aproxima \(\int_0^{1} e^{2x}\,dx\) con \(\int_0^{1} S(x)\,dx\) y compara el resultado con el valor real.

Integral

## [1] 3.194528