Motivácia

Načo je dobré zisťovať lokálne extrémy? Hľadanie extrémov je súčasť bežného života. Či už potrebujeme zistiť, aké rozmery má mať teleso aby bol jeho objem najväčší alebo kedy a kde bol benzín najlacnejší. Pokiaľ vieme tieto problémy previesť do reči matematiky, vieme ich ľahko vyriešiť a uľahčiť si život.

Lokálne extrémy jednej premennej

Keď máme nájsť lokálne extrémy, tak hľadáme lokálne maximá a lokálne minimá. Funkcia f má v bode b lokálne maximum / minimum, ak existuje také okolie I bodu b, že pre všetky x Є I- {b} platí f(x) < f(b) / f(x) > f(b).

Ako nájdeme tieto extrémy?

Predpokladajme, že má funkcia f prvú aj druhú deriváciu. Je zrejmé, že dotyčnica funkcie v danom bode musí byť vodorovná, čiže jej derivácia v danom bode musí byť rovná 0. Najprv musíme teda nájsť body, v ktorých táto rovnosť f ‘(x) = 0 platí, čiže hľadáme stacionárne body. Následne vypočítame druhú deriváciu f, a dosadíme do nej náš bod b. Ak f’‘(b) < 0, tak funkcia f má v bode b lokálne maximum, ak f’’(b) > 0, tak má funkcia lokálne minimum. Ukážme si jeden príklad. Vezmime si napríklad funkciu: \(f(x)= \ 4*x^4 - 3*x^3 +5*x^2\)

Músíme nájsť stacionárne body.

## 4 * (4 * x^3) - 3 * (3 * x^2) + 5 * (2 * x)

4 * (4 * x^3) - 3 * (3 * x^2) + 5 * (2 * x) = 0

V tomto prípade vyjde x = 0, čiže náš bod je (0, f(0)) = (0,0).

Teraz vykonáme druhú deriváciu funkcie f:

## 4 * (4 * (3 * x^2)) - 3 * (3 * (2 * x)) + 5 * 2

A následne za x dosadíme hodnotu, ktorá nám vyšla v predchádzajúcej rovnici. Čiže x dáme rovné 0:

## [1] 10

Vyšla nám hodnota 10 a keďže je 10 > 0 vyšlo nám, že v bode (0,0) má naša funkcia lokálne minimum. Môžeme si našu funkciu vykresliť, aby sme videli, či náš výsledok je správny.

curve(4*x^4 - 3*x^3 +5*x^2, from = -5, to = 5,xlab='x',ylab='f(x)',col="blue",main='4*x^4 - 3*x^3 +5*x^2')
points(x=0,y=0,col="red")

Z grafu je vidno, že bod (0,0) je naozaj lokálne minimum.

Lokálne extrémy funkcie viac premenných

Najprv je dôležité určiť stacionárne body. Budeme postupovať podobne ako pri funkciách s jednou premennou. Keďže tu ale máme viac premenných nemôžeme použiť obyčajné derivácie. Núka sa teda možnosť použiť parciálne derivácie. Majme funkciu: \(f(x,y)= \ (2*x+y-1)^2 +y^2\)

Máme funkciu 2 premenných, preto aby sme určili stacionárne body, musíme vypočítať parciálnu deriváciu podľa x \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\),

## 2 * (2 * (2 * x + y - 1))

a parciálnu deriváciu podľa y \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\),

## 2 * (2 * x + y - 1) + 2 * y

Následne obe derivácie položíme rovné 0 a dosťaneme sústavu rovníc, ktorej riešenia nám dajú stacionárne body.

\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\) = 0

\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\) = 0

2 * (2 * (2 * x + y - 1)) = 0

2 * (2 * x + y - 1) + 2 * y = 0

Z tejto sústavy rovníc dostaneme bod (0.5, 0). Teraz budeme postupovať trochu inak ako pri funkcií s jednou premennou. Už nám nebude stačiť len druhá derivacia, teraz budeme potrebovať determinant z matice, ktorá sa bude skladať z druhých derivácií.Táto matica sa volá Hessova matica a skladá sa z \(\frac{\partial f^2}{\partial x^2}\), \(\frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x}{\partial y}}\), \(\frac{\partial f^2}{\partial y^2}\) a má tvar:

\(\displaystyle \frac{\partial f^2}{\partial x^2}\) \(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x}{\partial y}}\)

\(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x}{\partial y}}\) \(\displaystyle \frac{\partial f^2}{\partial y^2}\)

Čiže determinatnt z tejto matice má tvar:

\(\displaystyle \frac{\partial f^2}{\partial x^2}\) * \(\displaystyle \frac{\partial f^2}{\partial y^2}\) - \(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x}{\partial y}}\) * \(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x}{\partial y}}\)

Do tohto determinantu, za neznáme vložíme postupne naše stacionárne body. Podľa toho aký nám vyjde determinat určíme extrémy. Ak det > 0 a zároveň \(\frac{\partial f^2}{\partial x^2}\) v bode b > 0 tak tento bod je lokálne minimum, ak det > 0 a \(\frac{\partial f^2}{\partial x^2}\) v bode b < 0 tak tento bod je lokálne maximum, ak det < 0 tak tento bod je sedlový bod a pokiaľ det = 0 tak touto metódou nevieme určiť, či v tomto bode je nejaký extrém, a v tom prípade treba na to ísť iným spôsobom.

Pre náš príklad, by Hessova matica mala tvar

eval(D(D(f,'x'),'x'))
## [1] 8
eval(D(D(f,'y'),'y'))
## [1] 4
eval(D(D(f,'x'),'y'))
## [1] 4
A<-matrix(c(eval(D(D(f,'x'),'x')),eval(D(D(f,'x'),'y')),eval(D(D(f,'x'),'y')),eval(D(D(f,'y'),'y'))),nrow=2,ncol=2);A
##      [,1] [,2]
## [1,]    8    4
## [2,]    4    4

Do takejto matice by sme mali dosadiť náš stacionárny bod, v tomto prípade je ale zjavné, že nech by sme dosadili hocijaký bod, determinant bude rovnaký, a to

det(A)
## [1] 16

Nakoniec už stačí náš determinat porovnať s 0. Náš determinat je väčší ako 0 a druhá parciálna derivácia podľa x v našom bode je tiež väčšie než 0, čiže náš bod (0,5, 0) by mal byt lokálne minimum. Môžeme si to overiť grafom.

Z grafov je vidno, že lokálne minimum našej funkcii skutočne bude v bode (0.5, 0)

Záver

Ako sme mohli vidieť, výpočet lokálnych extrémov funkcií dvoch premenných nie je nič zložité. Postup je dosť podobný ako pri obyčajných funkciách s jednou premennou. Tento postup sa samozrejme dá rozšíríť na n premenných. V takom prípade by matica vyzerala nasledovne:

\(\displaystyle \frac{\partial f^2}{\partial x_1^2}\) \(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x_1}{\partial x_2}}\) … \(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x_1}{\partial x_n}}\)

. …

. …

. …

\(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x_n}{\partial x_1}}\) \(\displaystyle \frac{{\partial f}{\partial f}}{{\partial x_n}{\partial x_2}}\) … \(\displaystyle \frac{\partial f^2}{\partial x_n^2}\)