1 Objetivo

Determinar predicciones de datos bajo el modelo de regresión lineal simple.

2 Descripción

De un conjunto de datos con dos variables (bivariable) en donde una de ellas es \(X\) variable independiente y otra de ellas \(Y\) variable dependiente, predecir el valor de Y conforme la historia de X.

3 Fundamento teórico

3.1 Coeficiente de Correlación \(r\)

La utilidad principal de los análisis correlacionales es saber cómo se puede comportar un concepto o una variable al conocer el comportamiento de otras variables vinculadas, por ejemplo: a mayor estudio mejor rendimiento; a mayor cantidad de sol mayor temperatura de ambiente; a mayor frecuencia de actividad social mayor porcentaje de contagios, entre muchos otros (Hernández Sampieri, Fernández Collado, and Baptista Lucio 2014).

La importancia de la correlación es conocer el grdo de relación entre variables y ayuda a las técnicas de predicción, es decir, intentar predecir el valor aproximado que tendrá un grupo de individuos o casos en una variable, a partir del valor que poseen en las variables relacionadas (Hernández Sampieri, Fernández Collado, and Baptista Lucio 2014).

La correlacion puede ser positiva o negativa de entre \(-1\) a \(1\) y significa que el coeficiente r de Pearson puede variar de −1.00 a +1.00, donde:

−1.00 = correlación negativa perfecta. (“A mayor X, menor Y,” de manera proporcional. Es decir, cada vez que X aumenta una unidad, Y disminuye siempre una cantidad constante). Esto también se aplica “a menor X, mayor Y.”

  • −0.90 = Correlación negativa muy fuerte.
  • −0.75 = Correlación negativa considerable.
  • −0.50 = Correlación negativa media.
  • −0.25 = Correlación negativa débil.
  • −0.10 = Correlación neg ativa muy débil.
  • 0.00 = No existe correlación alguna entre las variables.
  • +0.10 = Correlación positiva muy débil.
  • +0.25 = Correlación positiva débil.
  • +0.50 = Correlación positiva media.
  • +0.75 = Correlación positiva considerable.
  • +0.90 = Correlación positiva muy fuerte.
  • +1.00 = Correlación positiva perfecta (“A mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor Y,” de manera proporcional. Cada vez que X aumenta, Y aumenta siempre una cantidad constante).

El signo indica la dirección de la correlación (positiva o negativa); y el valor numérico, la magnitud de la correlación (Hernández Sampieri, Fernández Collado, and Baptista Lucio 2014).

Por otra parte (Walpole, Myers, and Myers 2012), menciona que el análisis de correlación intenta medir la intensidad de tales relaciones entre dos variables por medio de un solo número denominado coeficiente de correlación.

Para determinar el coeficiente de correlación de Pearson de una muestra se utiliza la siguiente fórmula:

3.1.1 Fórmula para correlación de Pearson

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}\cdot\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^{2}}}\]

Siendo \(r\) el valor del coeficiente de correlación. La correlación de Pearson funciona bien con variables cuantitativas que tienen una distribución normal. (Amat Rodrigo 2016)

La idea básica del análisis de correlación es identificar la asociación entre dos variables; por lo general, se puede describir la relación graficando o elaborando un diagrama de dispersión entre \(x\) y \(y\).

3.2 Regresión lineal simple

La regresión lineal simple implica aplicar una ecuación matemática de mínimos cuadrados que permite pronosticar o predecir el valor de una variable con base en el valor de otra; este procedimiento se llama análisis de regresión.

El análisis de regresión es un método para examinar una relación lineal entre dos variables; se utiliza el concepto de correlación \(r\), sin embargo, la regresión proporciona mucho más información, además de permitir estimaciones o predicciones de la relación lineal con la ecuación de mínimos cuadrados (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

3.3 Fórmula de mínimo cuadrados para regresión lineal

\[Y = a + bx\]

En donde:

  • \(Y\) es el valor a predecir
  • \(a\) Es el valor del cruce del eje y
  • \(b\) Es el valor de la pendiente o inclinación.
  • \(x\) el valor de la variable independiente
3.3.0.0.1 Fórmulas par obtener coeficientes a y b en el método de mínimos cuadrados

\[b = r \cdot(\frac{ s_{y}}{s_x}) = \frac{\sum(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}\] En donde:

  • \(r\) es el coeficiente de correlación.

  • \(S_y\) es la desviación estándar de \(y\).

  • \(S_x\) es la desviación etándar de la variable \(x\).

Y para determinar a:

\[a = \bar{y} - b \cdot\bar{x}\]

  • Se requiere la media de y \(\bar{y}\)
  • Se necesita la media de x \(\bar{x}\)

(Lind, Marchal, and Wathen 2015).

Un valor que es importante destacar en la regresión lineal, es el coeficiente de determinación también representado por \(r^{2}\) que se puede sacar elevando al cuadrado el coeficiente de correlación previamente determinado.

Cuando el coeficiente \(r\) de Pearson se eleva al cuadrado \(r^{2}\), se obtiene el coeficiente de determinación y el resultado indica la variabilidad de factores comunes. Esto es, el porcentaje de la variación de una variable debido a la variación de la otra variable y viceversa (o cuánto explica o determina una variable la variación de la otra) (Hernández Sampieri, Fernández Collado, and Baptista Lucio 2014).

El coeficiente de determinación es la proporción y la explicación de la variación total de la variable dependiente \(y\) con respecto a la variable independiente \(x\). (Lind, Marchal, and Wathen 2015).

4 Desarrollo

4.1 Las librerías

library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos

4.2 Ejercicio llamadas y ventas

4.2.1 Cargar los datos

Datos de llamadas que hacen vendedores y las ventas que realizan.

vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84) 
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)
datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos
##    vendedores llamadas ventas
## 1          V1       96     41
## 2          V2       40     41
## 3          V3      104     51
## 4          V4      128     60
## 5          V5      164     61
## 6          V6       76     29
## 7          V7       72     39
## 8          V8       80     50
## 9          V9       36     28
## 10        V10       84     43
## 11        V11      180     70
## 12        V12      132     56
## 13        V13      120     45
## 14        V14       44     31
## 15        V15       84     30

4.2.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los llamadas y ‘y’ las ventas.
r <- cor(datos$llamadas, datos$ventas)
r
## [1] 0.8646318

4.2.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.2.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~llamadas)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     llamadas  
##     19.9800       0.2606

4.2.5 Encontrar el coeficiente de determinación

  • Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.747588134135855"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.7476 significa que el valor de llamadas representa y explica el 74.76 % de las ventas.

4.2.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##       19.98
## llamadas 
## 0.260625

4.2.7 Medias de las variables

mean(datos$llamadas)
## [1] 96
mean(datos$ventas)
## [1] 45

4.2.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$llamadas), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$llamadas, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Llamadas") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.2.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores 100, 130 y 160
x <- c(100, 130, 160)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(llamadas = x))
prediccion
##        1        2        3 
## 46.04250 53.86125 61.68000
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 46.04250 53.86125 61.68000

4.2.10 Interpretar el ejercicio

  • Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de \(a\) y \(b\).
  • Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o ventas.
  • Se comprobó las predicciones
  • Para un valor de 170 el valor de la predicción es 64.28 en ventas

4.3 Ejercicio ventas en función de comerciales

4.3.1 Cargar o generar los datos

De un conjunto de datos para una empresa que invierte dinero en comerciales se tienen un historial de ventas de doce semanas.

semanas <- c(1:12)
comerciales <- c(2,5,1,3,4,1,5,3,4,2,3,2)
ventas <- c(50,57,41,54,54,38,63,48,59,46, 45, 48 )
datos <- data.frame(semanas,comerciales,ventas)
kable(datos, caption = "Ventas en función de inversión en comerciales")
Ventas en función de inversión en comerciales
semanas comerciales ventas
1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 3 48
9 4 59
10 2 46
11 3 45
12 2 48

4.3.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los comerciales y ‘y’ las ventas.
r <- cor(datos$comerciales, datos$ventas)
r
## [1] 0.9006177

4.3.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.3.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~comerciales)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)  comerciales  
##      36.131        4.841

4.3.5 Encontrar el coeficiente de determinación

  • Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.6534 -2.7331  0.1076  2.8357  4.1873 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  36.1315     2.3650  15.278 2.93e-08 ***
## comerciales   4.8406     0.7387   6.553 6.45e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.378 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8111, Adjusted R-squared:  0.7922 
## F-statistic: 42.94 on 1 and 10 DF,  p-value: 6.449e-05
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.811112191696598"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.8111 significa que el valor de comerciales representa el 81.11 % de las ventas.

4.3.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    36.13147
## comerciales 
##    4.840637

4.3.7 Medias de las variables

mean(datos$comerciales)
## [1] 2.916667
mean(datos$ventas)
## [1] 50.25

4.3.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$comerciales), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$comerciales, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Comerciales") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.3.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores 4, 3.5, 2, 0 y 1
x <- c(4, 3.5, 2, 0,1)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(comerciales = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211

4.3.10 Interpretar el ejercicio

  • Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de a y b.
  • Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o comerciales.
  • Se comprobó las predicciones
  • Por ejemplo para un valor de 4 en comerciales la predicción de ventas es de 55.99.

4.4 Ejercicio. Medidas de los sólidos contaminantes y la demanda de oxígeno bioquímico.

Uno de los problemas más desafiantes que se enfrentan en el área del control de la contaminación del agua lo representa la industria de la peletería (dedicada a la elaboración de indumentaria, cuero y piel animal).

Los desechos de ésta tienen una complejidad química. Se caracterizan por valores elevados de demanda de oxígeno bioquímico, sólidos volátiles y otras medidas de la contaminación. (Walpole et al. 2007)

Tal vez si existen contaminantes sólidos se requiera mayor oxígeno bioquímico.

4.4.1 Cargar o generar los datos

seq <- c(1:33)
solido <- c(3,7,11,15,18,27,29,30,30,31,31,32,33,33,34,36,36,36,37,38,39,39,39,40,41,42,42,43,44,45,46,47,50)
oxigeno <- c(5,11,21,16,16,28,27,25,35,30,40,32,34,32,34,37,38,34,36,38,37,36,45,39,41,40,44,37,44,46,46,49,51 )
datos <- data.frame(seq,solido,oxigeno)
kable(datos, caption = "Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes")
Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes
seq solido oxigeno
1 3 5
2 7 11
3 11 21
4 15 16
5 18 16
6 27 28
7 29 27
8 30 25
9 30 35
10 31 30
11 31 40
12 32 32
13 33 34
14 33 32
15 34 34
16 36 37
17 36 38
18 36 34
19 37 36
20 38 38
21 39 37
22 39 36
23 39 45
24 40 39
25 41 41
26 42 40
27 42 44
28 43 37
29 44 44
30 45 46
31 46 46
32 47 49
33 50 51

4.4.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los valores de sólido y ‘y’ el porcentaje de oxígeno.
r <- cor(datos$solido, datos$oxigeno)
r
## [1] 0.9554794

4.4.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.4.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = oxigeno~solido)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)       solido  
##      3.8296       0.9036

4.4.5 Encontrar el coeficiente de determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.939 -1.783 -0.228  1.506  8.157 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.82963    1.76845   2.166   0.0382 *  
## solido       0.90364    0.05012  18.030   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.23 on 31 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9129, Adjusted R-squared:  0.9101 
## F-statistic: 325.1 on 1 and 31 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.912940801014387"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.9129 significa que el valor de solido representa el 91.29 % del oxígeno.

4.4.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    3.829633
##    solido 
## 0.9036432

4.4.7 Medias de las variables

mean(datos$solido)
## [1] 33.45455
mean(datos$oxigeno)
## [1] 34.06061

4.4.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$solido), y = mean(datos$oxigeno)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$solido, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Reducción de sólido") + 
  ylab("% Oxígeno") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.4.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores \(x=15,20,35,40,50\)
x <- c(15,20,35,40,50)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(solido = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179

4.4.10 Interpretar el ejercicio

Pendiente..

4.5 Ejercicio Caso de mediciones del cuerpo humano (Peso y Estatura)

Mediciones del cuerpo humano en donde se buscar identificar el coeficiente de correlación \(r\), el coeficiente de determinación \(r^2\) y el modelo de regresión lineal para predecir peso en relación a la estatura de una persona.

4.5.1 Cargar los datos

  • La variable x independiente será la estatura
  • La variable y dependiente será la peso
datos <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/body.dat.txt", quote="\"", comment.char="")
datos <- as.data.frame(datos)

4.5.1.1 Estructura de los datos

Son 507 observaciones y 25 variables. Se identifican todas las variables de datos. Las variables de interés son las variables numéricas (columnas 23 y 24) y la columna 25 de género solo para ubicar género Masculino (1) o Femenino (2).

str(datos)
## 'data.frame':    507 obs. of  25 variables:
##  $ V1 : num  42.9 43.7 40.1 44.3 42.5 43.3 43.5 44.4 43.5 42 ...
##  $ V2 : num  26 28.5 28.2 29.9 29.9 27 30 29.8 26.5 28 ...
##  $ V3 : num  31.5 33.5 33.3 34 34 31.5 34 33.2 32.1 34 ...
##  $ V4 : num  17.7 16.9 20.9 18.4 21.5 19.6 21.9 21.8 15.5 22.5 ...
##  $ V5 : num  28 30.8 31.7 28.2 29.4 31.3 31.7 28.8 27.5 28 ...
##  $ V6 : num  13.1 14 13.9 13.9 15.2 14 16.1 15.1 14.1 15.6 ...
##  $ V7 : num  10.4 11.8 10.9 11.2 11.6 11.5 12.5 11.9 11.2 12 ...
##  $ V8 : num  18.8 20.6 19.7 20.9 20.7 18.8 20.8 21 18.9 21.1 ...
##  $ V9 : num  14.1 15.1 14.1 15 14.9 13.9 15.6 14.6 13.2 15 ...
##  $ V10: num  106 110 115 104 108 ...
##  $ V11: num  89.5 97 97.5 97 97.5 ...
##  $ V12: num  71.5 79 83.2 77.8 80 82.5 82 76.8 68.5 77.5 ...
##  $ V13: num  74.5 86.5 82.9 78.8 82.5 80.1 84 80.5 69 81.5 ...
##  $ V14: num  93.5 94.8 95 94 98.5 95.3 101 98 89.5 99.8 ...
##  $ V15: num  51.5 51.5 57.3 53 55.4 57.5 60.9 56 50 59.8 ...
##  $ V16: num  32.5 34.4 33.4 31 32 33 42.4 34.1 33 36.5 ...
##  $ V17: num  26 28 28.8 26.2 28.4 28 32.3 28 26 29.2 ...
##  $ V18: num  34.5 36.5 37 37 37.7 36.6 40.1 39.2 35.5 38.3 ...
##  $ V19: num  36.5 37.5 37.3 34.8 38.6 36.1 40.3 36.7 35 38.6 ...
##  $ V20: num  23.5 24.5 21.9 23 24.4 23.5 23.6 22.5 22 22.2 ...
##  $ V21: num  16.5 17 16.9 16.6 18 16.9 18.8 18 16.5 16.9 ...
##  $ V22: num  21 23 28 23 22 21 26 27 23 21 ...
##  $ V23: num  65.6 71.8 80.7 72.6 78.8 74.8 86.4 78.4 62 81.6 ...
##  $ V24: num  174 175 194 186 187 ...
##  $ V25: int  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

4.5.1.2 Selección de variables de interés

Se seleccionan las columnas que tienen valores de peso en kilogramso y estaturas en centímetros de personas así como el género, Se muestran los primeros 10 y últimos 10 registros.

colnames(datos)[23:25] <- c("peso", "estatura", "genero")
# Solo interesan las tres últimas columnas
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)
kable(head(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")
Datos de pesos y estaturas de personas
estatura peso genero
174.0 65.6 1
175.3 71.8 1
193.5 80.7 1
186.5 72.6 1
187.2 78.8 1
181.5 74.8 1
184.0 86.4 1
184.5 78.4 1
175.0 62.0 1
184.0 81.6 1 
kable(tail(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")
Datos de pesos y estaturas de personas
estatura peso genero
498 169.5 67.3 0
499 160.0 75.5 0
500 172.7 68.2 0
501 162.6 61.4 0
502 157.5 76.8 0
503 176.5 71.8 0
504 164.4 55.5 0
505 160.7 48.6 0
506 174.0 66.4 0
507 163.8 67.3 0

4.5.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) estatura y \(y\) peso de una persona.
r <- cor(datos$estatura, datos$peso)
r
## [1] 0.7173011
  • El coeficiente de correlación con valor de 0.7173011 significa el grado de relación entre las variables y su valor se interpreta siendo \(0.50 \le r \le 0.75\) una correlación positiva de media a considerable (Hernández Sampieri, Fernández Collado, and Baptista Lucio 2014).

4.5.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = estatura, y = peso)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.5.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x.’
modelo <- lm(data = datos, formula = peso~estatura)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     estatura  
##    -105.011        1.018

4.5.5 Encontrar el coeficiente de determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.743  -6.402  -1.231   5.059  41.103 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -105.01125    7.53941  -13.93   <2e-16 ***
## estatura       1.01762    0.04399   23.14   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.308 on 505 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5145, Adjusted R-squared:  0.5136 
## F-statistic: 535.2 on 1 and 505 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.514520837538849"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.5145 significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

4.5.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##   -105.0113
## estatura 
## 1.017617

4.5.7 Medias de las variables

mean(datos$estatura)
## [1] 171.1438
mean(datos$peso)
## [1] 69.14753

4.5.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = estatura, y = peso), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$estatura), y = mean(datos$peso)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$estatura, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Estatura") + 
  ylab("Peso") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.5.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores \(x = {150, 160, 170, 175, 185, 190}\)
x <- c(150, 160, 170, 175, 185, 190)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(estatura = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5        6 
## 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593

4.5.10 Interpretar el ejercicio

Conforme a los datos obtenido de una muestra de mediciones del cuerpo humano en relación las variables independiente estatura y la variable dependiente el peso. Se concluye lo siguiente:

El valor de la correlación entre las variables estatura y peso es de 0.7173011 que significa y se interpreta como una correlación positiva considerable.

El valor del coeficiente determinación \(r^{2}\) significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

Por cada unidad de estatura en una persona el peso varía en funcíón de 1.0176168

Para una persona que mide 170 centímetros la prediccón de peso es de 67.9835977

Para una persona que mide 185 centímetros la predicción de peso es de 83.2478493

4.6 Ejercicio extra con los datos del caso 22 y 23

4.6.1 Cargar o construir los datos

¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?

La variable x será la edad de los jugadores fútbol.

La variable y será el valor de potencial general de cada jugador de fútbol

¿Cuál es la estructura de los datos?

Son 19825 observaciones y 12 variables. Las variables de interés se ubican en las columnas 4 y 6, ademas de la columna 1 como identificador.

datos.bruto <- read.csv(file = "C:/Users/Orlando/Documents/Tecno/2do Semestre/Probabilidad y estadistica/Trabajos en R/datos/FIFA22.csv")

str(datos.bruto)
## 'data.frame':    19825 obs. of  12 variables:
##  $ X          : int  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
##  $ ID         : int  236988 225863 241721 224371 200104 238041 232580 241637 264240 253072 ...
##  $ Name       : chr  "Eddie Nketiah" "Olivier Boscagli" "Rafael da Conceição Leão" "Jarrod Bowen" ...
##  $ Age        : int  22 23 22 24 28 21 23 21 16 22 ...
##  $ Nationality: chr  "England" "France" "Portugal" "England" ...
##  $ Overall    : int  72 77 82 79 89 78 81 81 77 78 ...
##  $ Potential  : int  79 82 90 82 89 83 87 88 89 86 ...
##  $ Club       : chr  "Arsenal" "PSV" "AC Milan" "West Ham United" ...
##  $ Contract   : chr  "2016 ~ 2022" "2019 ~ 2025" "2019 ~ 2024" "2020 ~ 2025" ...
##  $ Value      : chr  "€4.8M" "€14.5M" "€68.5M" "€24M" ...
##  $ Wage       : chr  "€45K" "€15K" "€52K" "€63K" ...
##  $ Total.stat : int  1698 1961 1959 1966 2141 1955 1730 2141 1970 1987 ...
datos <- datos.bruto %>%
    select(Age, Overall)
colnames(datos) <- c("Edad", "PotencialGeneral")

head(datos)
##   Edad PotencialGeneral
## 1   22               72
## 2   23               77
## 3   22               82
## 4   24               79
## 5   28               89
## 6   21               78
tail(datos)
##       Edad PotencialGeneral
## 19820   18               50
## 19821   18               52
## 19822   26               71
## 19823   19               57
## 19824   23               69
## 19825   17               64

4.6.2 Valor de correlación entre las variables

Determinar la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) e \(y\).

r <- cor(datos$Edad, datos$PotencialGeneral)
r
## [1] 0.5678824

¿Cómo se interpreta el valor del coeficiente de correlación?

Su valor es de 0.56, por lo que se puede interpretar una correlación de variables positiva media

4.6.3 Gráfica de dispersión

Construir la dispersión de las variables

ggplot(data = datos, aes(x = Edad, y = PotencialGeneral)) +
  geom_point(colour = 'black')

4.6.4 Construir el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

Construir el modelo de regresión lineal

modelo <- lm(data = datos, formula = PotencialGeneral~Edad)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = PotencialGeneral ~ Edad, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)         Edad  
##     41.2710       0.9594

4.6.4.1 Encontrar el coeficiente de determinación

\(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = PotencialGeneral ~ Edad, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -37.078  -4.418  -0.418   3.704  28.623 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 41.270977   0.230739  178.87   <2e-16 ***
## Edad         0.959387   0.009877   97.14   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.445 on 19823 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3225, Adjusted R-squared:  0.3225 
## F-statistic:  9436 on 1 and 19823 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.322490450403805"

¿Cuál es el valor y qué significa el coeficiente de determinación?

4.6.4.2 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    41.27098
##      Edad 
## 0.9593872

¿Cuáles son los valores de \(a\) y \(b\) en la ecuación de mínimos cuadrados? \(Y = a + b\cdot x\)

4.6.4.3 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = Edad, y = PotencialGeneral), colour='black') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$Edad), y = mean(datos$PotencialGeneral)), col = 'blue') +
  geom_line(aes( x = datos$Edad, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Edad") + 
  ylab("Potencial General") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.6.5 Predecir conforme al modelo

Predecir conforme a valores nuevos con la función predict() y verificar manualmente.

Predecir para valores x=20,30,35,40,50

x <- c(20,30,35,40,50)


prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(Edad = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 60.45872 70.05259 74.84953 79.64646 89.24033
y <- a + b * x

y
## [1] 60.45872 70.05259 74.84953 79.64646 89.24033

4.6.6 Interpretar el ejercicio

Con la base de datos que obtuvimos de los jugadores de la fifa, nos podemos a analizar las variables de las edades y coplementando el potencial de los jugadores.

Con las variables de edad y valor potencial podemos obtener el valor de correlación que es de 0.567, esto lo obtuvimos con la interpretacion de una correlación de variables de positiva media.

El valor de coeficiente es de 0.322, este valor lo obtenemos con la edad que corresponde al 32.2% de su valor potencial.

Por cada unidad de Edad (año) de cada jugador, el valor de Potencial General varía 0.9593872, comenzando desde un valor de 41.27098.

Para un jugador de 20 años, se predice un valor de Potencial General de 60.45872.

Para un jugador de 35 años, se predice un valor de Potencial General de 74.84953.

5 Interpretación

Se estan retomando los valores y conceptos que usamos en los otros casos que son del tema del coeficiente de correlecion de dos o mas variables, con un determinante de coeficiente, se aproxima al valor de una variable dependiente.

Otra manera para ser representada con una progesion lineal simple, que ya habia sido utilizada en casos anteriores, que trata en predecir el valor de una variable dependiente mediante el variable independiente (Matematica), la cual presenta una recta de diagrama de dispersion de variables.

Su formula es la de la recta-Pendiente Y = a + bX . Por la cual se pueden hacer predicciones de las variables.

Referencias bibliográficas

Amat Rodrigo, Joaquín. 2016. “Correlación Lineal y Regresión Lineal Simple. Correlación Lineal y Regresión Lineal Simple.” 2016. https://www.cienciadedatos.net/documentos/24_correlacion_y_regresion_lineal.
Hernández Sampieri, Roberto, Carlos Fernández Collado, and María del Pilar Baptista Lucio. 2014. Metodología de La Investigación. Sexta.
Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. 2007. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Octava Edición. México: Pearson Education.