Tarea 6. Diferenciación e integración numérica.

Ejercicio 1.

Para cada una de las siguientes funciones realiza la respectiva gráfica en el intervalo dado. Compara las gráficas de las derivadas aproximadas (con dos tamaños de paso \(h\neq 0\) y \(h=0\)) y la derivada exacta en tal intervalo.

1. \(f(x)=e^{2x}-cos 2x\), \(x\in [0,2]\)

Derivada exacta

Error \(h=0\)

Error \(h\neq 0\) h=1

2. \(f(x)=log(x+2)-(x+1)^2\), \(x\in [0,5]\)

Derivada exacta

Error \(h=0\)

Error \(h\neq 0\) h=1

3. \(f(x)=x\, sen\,x+x^2cos\,x\), \(x\in [0,\pi]\)

Derivada exacta

Error \(h=0\)

Error \(h\neq 0\) h=1

4. \(f(x)=(cos\,3x)^2-e^{2x}\), \(x\in [0,\pi/2]\)

Derivada exacta

Error \(h=0\)

Error \(h\neq 0\) h=1

Ejercicio 2

Da el valor aproximado (por medio de las funciones integral y cotes, del package pracma) y exacto (en caso de ser posible) de las siguientes integrales (realiza la respectiva gráfica).

\[\begin{equation} \int_{0.5}^1 x^4 dx \end{equation}\]

Método: Simpson

## [1] 0.19375

Newton. Cotes Nodos=3

## [1] 0.19375

\[\begin{equation} \int_{0}^{0.5} \frac{2}{x-4} dx \end{equation}\]

Método: Simpson

## [1] -0.2670628

Newton-Cotes Nodos=3

## [1] -0.2670628

\[\begin{equation} \int_{1}^{1.5} x^2\, log(x) dx \end{equation}\]

Método: Simpson

## [1] 0.1922594

Newton-Cotes Nodos=3

## [1] 0.1922594

\[\begin{equation} \int_{0}^{1} x^2 e^{-x}\, log(x) dx \end{equation}\]

## Warning: Removed 1 rows containing missing values (position_stack).

Método: Simpson

## [1] -0.06471697

Newton-Cotes Nodos=3

## [1] NaN

\[\begin{equation} \int_{1}^{1.6} \frac{2x}{x^2-4} dx \end{equation}\]

Método: Simpson

## [1] -0.7339692

Newton-Cotes Nodos=3

## [1] -0.7339692

\[\begin{equation} \int_{0}^{\pi/4} e^{3x}sin(2x) dx \end{equation}\]

Método: Simpson

## [1] 2.588629

Newton-Cotes Nodos=3

## [1] 2.588629