Tarea 3. Método de Newton Raphson y de la secante.

Ejercicio 1

Usa el método de Newton paso por paso para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado.

1. \(x^3-2x^2-5=0\), \([1,4]\)

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## Please use `gather()` instead.
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## [1] 2.690647

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de cinco interaciones es 2.690647

2. \(x-cosx=0\), \([0, \pi/2]\)

## [1] 0.7390851

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de cuatro interaciones es 0.7390851

Ejercicio 2

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y compáralo con las soluciones obtenidas por medio del método de la bisección (ejercicio 3 de la tarea 2).

1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 8.131176e-09

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de 4 interaciones es 0.6411857, pero en el método de la bisección fueron necesarias 17 interacciones

2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.665238e-12

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de 4 interaciones es 0.2575303, pero en el método de la bisección fueron necesarias 17 interacciones

3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y $-1x

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] 1.332268e-15
## 
## $niter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 3.085562e-10

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de 4 interaciones es -2.191308, pero en el método de la bisección fueron necesarias 17 interacciones

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.689924e-16

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de 5 interaciones es -0.798160, pero en el método de la bisección fueron necesarias 17 interacciones

4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] -2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 1.849281e-09

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de 4 interaciones es 0.297530, pero en el método de la bisección fueron necesarias 14 interacciones

## $root
## [1] 1.256623
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 3.01132e-10

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función después de 4 interaciones es 1.256622, pero en el método de la bisección fueron necesarias 14 interacciones

Ejercicio 3

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y de la secante.

1. \(e^x+2^{-x}+2\,cos\,x-6=0\), para \(1\leq x\leq 2\).

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 8.881784e-16
## 
## $niter
## [1] 8
## 
## $estim.prec
## [1] 5.786101e-10

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 2.306688e-11
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 2.559105e-07

Se aproximo la raiz a 1.829384, se utilizaron 8 interaciones en el metodo de Newton-Raphson mintras que solo 6 en el método de la secante.

2. \(log(x-1)+cos(x-1)=0\) para \(1.3\leq x \leq 2\).

## Warning in log(x - 1): Se han producido NaNs

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] 2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 6.951135e-13

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] -2.376654e-12
## 
## $iter
## [1] 8
## 
## $estim.prec
## [1] 6.395966e-08

Se aproximo la raiz a 1.397748, se utilizaron 5 interaciones en el metodo de Newton-Raphson mintras que 8 en el método de la secante.

3. \(2x\,cos\,2x-(x-2)^2=0\) para \(2\leq x \leq 3\) y \(3\leq x \leq 4\).

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 1.720846e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.970602e-15

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 3.376466e-13
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.939082e-08

Se aproximo la raiz a 2.370687, se utilizaron 8 interaciones en el metodo de Newton-Raphson mintras que también 8 en el método de la secante.

## $root
## [1] 3.722113
## 
## $f.root
## [1] -3.552714e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.552625e-15

## $root
## [1] 3.722113
## 
## $f.root
## [1] -5.194745e-09
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 3.512699e-06

Se aproximo la raiz a 3.722113, se utilizaron 5 interaciones en el metodo de Newton-Raphson mintras que 6 en el método de la secante.

4. \(e^x-3x^2=0\) para \(0\leq x \leq 1\) y \(3\leq x \leq 5\).

## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 2.217891e-10

## $root
## [1] 0.9100076
## 
## $f.root
## [1] 2.827174e-09
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.22289e-06

Se aproximo la raiz a 0.910007, se utilizaron 6 interaciones en el metodo de Newton-Raphson mintras que también 6 en el método de la secante.

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] -7.105427e-15
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 7.321725e-16

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] -2.557954e-13
## 
## $iter
## [1] 10
## 
## $estim.prec
## [1] 5.375394e-09

Se aproximo la raiz a 3.733079, se utilizaron 4 interaciones en el metodo de Newton-Raphson mintras que 10 en el método de la secante.