Tarea 2. Método de bisección e iteración de punto fijo.

Ejercicio 1

Sea \(f(x)=\sqrt{x}-\cos x\). Usa el método de la bisección para encontrar \(x\in [0,1]\) tal que \(f(x)=0\).

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## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6420898 0.6418457 0.6417236 0.6416626
## [15] 0.6416931 0.6417084 0.6417160 0.6417122 0.6417141 0.6417150 0.6417146
## [22] 0.6417143 0.6417145 0.6417144
## 
## $precision
## [1] 5.960464e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 24

El metodo de la biseccion despues de 24 iteraciones, con una precisión de \(5.96\times 10^{-8}\), aproximó la raíz a \(0.6417144\)

## $root
## [1] 0.6417144
## 
## $f.root
## [1] -2.220446e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Ejercicio 2

Usa el método de la bisección para encontrar una raíz con una precisión de \(10^{-2}\) para \(x^3-7x^2+14x-6=0\) en cada intervalo.

\[\begin{equation} a) [0,1]\qquad\qquad b) [1, 3.2]\qquad\qquad c)[3.2, 4] \end{equation}\]

## $aprox
## [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.5625000 0.5937500 0.5781250 0.5859375
## 
## $precision
## [1] 0.0078125
## 
## $iteraciones
## [1] 7

El metodo de la biseccion despues de 7 iteraciones, con una precisión de \(7.81\times 10^{-2}\), aproximó la raíz a \(0.5859375\)

## $root
## [1] 0.5857864
## 
## $f.root
## [1] -8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

## $aprox
## [1] 2.100000 2.650000 2.925000 3.062500 2.993750 3.028125 3.010938 3.002344
## 
## $precision
## [1] 0.00859375
## 
## $iteraciones
## [1] 8

El metodo de la biseccion despues de 8 iteraciones, con una precisión de \(8.593\times 10^{-3}\), aproximó la raíz a \(3.002344\)

## $root
## [1] 3
## 
## $f.root
## [1] 7.105427e-15
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

## $aprox
## [1] 3.60000 3.40000 3.50000 3.45000 3.42500 3.41250 3.41875
## 
## $precision
## [1] 0.00625
## 
## $iteraciones
## [1] 7

El metodo de la biseccion despues de 7 iteraciones, con una precisión de \(6.25\times 10^{-3}\), aproximó la raíz a \(3.41875\)

## $root
## [1] 3.414214
## 
## $f.root
## [1] -2.131628e-14
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

Ejercicio 3

Usa el metodo de la bisección para encontrar las soluciones con una precisión de \(10^{-5}\) para los siguientes problemas.

1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6411133 0.6413574 0.6412354 0.6411743
## [15] 0.6412048 0.6411896 0.6411819
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El metodo de la biseccion despues de 17 iteraciones, con una precisión de \(7.6293\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(0.6411819\)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.2500000 0.3750000 0.3125000 0.2812500 0.2656250 0.2578125
##  [8] 0.2539062 0.2558594 0.2568359 0.2573242 0.2575684 0.2574463 0.2575073
## [15] 0.2575378 0.2575226 0.2575302
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El metodo de la biseccion despues de 17 iteraciones, con una precisión de \(7.6293\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(0.2575302\)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

f_3c <- function(x){2*x*cos(2*x)-(x+1)^2}

x_3c <- seq(-2, 10, by=0.001)
y_3c <- f_3c(x_3c)

graf_3c <- ggplot()+
  geom_vline(xintercept = 0, linetype="continue")+ #eje x
  geom_hline(yintercept = 0, linetype="continue")+ #eje y
  geom_line(aes(x=x_3c, y=y_3c), color="blue", size=0.5)+
  #coord_fixed(ratio = 1)+ # misma escala en los ejes
  labs(x="x", y="f(x)", title="Método Bisección 3c")+
  theme_minimal()

ggplotly(graf_3c)

## $aprox
##  [1] -0.5000000 -0.7500000 -0.8750000 -0.8125000 -0.7812500 -0.7968750
##  [7] -0.8046875 -0.8007812 -0.7988281 -0.7978516 -0.7983398 -0.7980957
## [13] -0.7982178 -0.7981567 -0.7981873 -0.7981720 -0.7981644
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

El metodo de la biseccion despues de 17 iteraciones, con una precisión de \(7.6293\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(-0.7981644\)

## $root
## [1] -0.79816
## 
## $f.root
## [1] 4.857226e-17
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

## $aprox
##  [1] 1.250000 1.275000 1.262500 1.256250 1.259375 1.257812 1.257031 1.256641
##  [9] 1.256445 1.256543 1.256592 1.256616 1.256628 1.256622
## 
## $precision
## [1] 6.103516e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 14

El metodo de la biseccion despues de 14 iteraciones, con una precisión de \(6.1035\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(1.256622\)

## $root
## [1] 1.256623
## 
## $f.root
## [1] 8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 49
## 
## $estim.prec
## [1] 2.220446e-16

Ejercicio 4

Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=2 \sin x\). Usa el método de la bisección para encontrar una aproximación con una precisión de \(10^{-5}\) para el primer valor positivo \(x\) tal que \(f(x)=g(x)\).

## $aprox
##  [1] 2.500000 1.750000 2.125000 1.937500 1.843750 1.890625 1.914062 1.902344
##  [9] 1.896484 1.893555 1.895020 1.895752 1.895386 1.895569 1.895477 1.895523
## [17] 1.895500 1.895489 1.895494
## 
## $precision
## [1] 5.722046e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 19

El metodo de la biseccion despues de 19 iteraciones, con una precisión de \(5.722046\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(1.895494\)

## $root
## [1] 1.895494
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 2.220446e-16

Ejercicio 5

Sea \(f(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)^3(x-2)\). ¿A cuál raíz de \(f\) converge el método de la bisección cuando se aplica a los siguientes intervalos?

\[\begin{equation} a) [-3,2.5]\qquad \qquad b) [-2.5, 3]\qquad\qquad c)[-1.75, 1.5]\qquad\qquad d) [-1.5, 1.75] \end{equation}\]

## $aprox
##  [1] -0.250000  1.125000  1.812500  2.156250  1.984375  2.070312  2.027344
##  [8]  2.005859  1.995117  2.000488  1.997803  1.999146  1.999817  2.000153
## [15]  1.999985  2.000069  2.000027  2.000006  1.999995  2.000000
## 
## $precision
## [1] 5.245209e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 20

El metodo de la biseccion despues de 20 iteraciones, con una precisión de \(5.2452\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(2.0\)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

## $aprox
##  [1]  0.250000 -1.125000 -1.812500 -2.156250 -1.984375 -2.070312 -2.027344
##  [8] -2.005859 -1.995117 -2.000488 -1.997803 -1.999146 -1.999817 -2.000153
## [15] -1.999985 -2.000069 -2.000027 -2.000006 -1.999995 -2.000000
## 
## $precision
## [1] 5.245209e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 20

El metodo de la biseccion despues de 20 iteraciones, con una precisión de \(5.2452\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(-2.0\)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

## $aprox
##  [1] -0.1250000 -0.9375000 -1.3437500 -1.1406250 -1.0390625 -0.9882812
##  [7] -1.0136719 -1.0009766 -0.9946289 -0.9978027 -0.9993896 -1.0001831
## [13] -0.9997864 -0.9999847 -1.0000839 -1.0000343 -1.0000095 -0.9999971
## [19] -1.0000033
## 
## $precision
## [1] 6.198883e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 19

El metodo de la biseccion despues de 19 iteraciones, con una precisión de \(5.2452\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(-1.0\)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

## $aprox
##  [1] 0.1250000 0.9375000 1.3437500 1.1406250 1.0390625 0.9882812 1.0136719
##  [8] 1.0009766 0.9946289 0.9978027 0.9993896 1.0001831 0.9997864 0.9999847
## [15] 1.0000839 1.0000343 1.0000095 0.9999971 1.0000033
## 
## $precision
## [1] 6.198883e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 19

El metodo de la biseccion despues de 19 iteraciones, con una precisión de \(5.2452\times 10^{-6}\), aproximó la raíz a \(1\)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

Ejercicio 6

En cada una de las siguientes ecuaciones, determina un intervalo \([a,b]\) en que convergerá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de \(10^{-5}\) y realiza los cálculos.

1. \(\quad x=\frac{2-e^{x}+x^{2}}{3}\)

## $sucesion
##  [1] 0.2000000 0.2728657 0.2535773 0.2585582 0.2572636 0.2575995 0.2575123
##  [8] 0.2575349 0.2575291 0.2575306 0.2575302 0.2575303 0.2575303 0.2575303
## 
## $precision
## [1] 6.919711e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 13

El método del punto fijo converge, con una precisión de \(6.9197\times 10^{-9}\), después de 13 iteraciones a \(0.2575303\)

2. \(\quad x=\frac{5}{x^{2}}+2\)

## $sucesion
##  [1] 2.000000 3.250000 2.473373 2.817318 2.629939 2.722901 2.674383 2.699074
##  [9] 2.686342 2.692863 2.689511 2.691231 2.690348 2.690801 2.690569 2.690688
## [17] 2.690627 2.690658 2.690642 2.690650 2.690646 2.690648 2.690647 2.690648
## [25] 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647
## 
## $precision
## [1] 5.416017e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 30

El método del punto fijo converge, con una precisión de \(5.416017\times 10^{-9}\), después de 30 iteraciones a \(2.690647\)

3. \(\quad x=\left(e^{x} / 3\right)^{1 / 2}\)

## $sucesion
##  [1] 0.2000000 0.6380707 0.7943185 0.8588621 0.8870312 0.8996131 0.9052903
##  [8] 0.9078637 0.9090326 0.9095641 0.9098058 0.9099158 0.9099658 0.9099886
## [15] 0.9099989 0.9100036 0.9100058 0.9100068 0.9100072 0.9100074 0.9100075
## [22] 0.9100075 0.9100076 0.9100076
## 
## $precision
## [1] 8.657357e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 23

El método del punto fijo converge, con una precisión de \(8.657357\times 10^{-9}\), después de 23 iteraciones a \(0.9100075\)

4. \(\quad x=5^{-x}\)

## $sucesion
##  [1] 0.3000000 0.6170339 0.3704349 0.5509056 0.4120345 0.5152290 0.4363856
##  [8] 0.4954269 0.4505173 0.4842860 0.4586682 0.4779745 0.4633511 0.4743856
## [15] 0.4660352 0.4723407 0.4675715 0.4711743 0.4684501 0.4705085 0.4689523
## [22] 0.4701283 0.4692393 0.4699112 0.4694034 0.4697872 0.4694971 0.4697163
## [29] 0.4695506 0.4696758 0.4695812 0.4696527 0.4695986 0.4696395 0.4696086
## [36] 0.4696320 0.4696143 0.4696277 0.4696176 0.4696252 0.4696194 0.4696238
## [43] 0.4696205 0.4696230 0.4696211 0.4696225 0.4696215 0.4696223 0.4696217
## [50] 0.4696221 0.4696218 0.4696220 0.4696218 0.4696220 0.4696219 0.4696220
## [57] 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219 0.4696219
## [64] 0.4696219
## 
## $precision
## [1] 9.208277e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 63

El método del punto fijo converge, con una precisión de \(9.208277\times 10^{-9}\), después de 63 iteraciones a \(0.4696219\)

5. \(\quad x=6^{-x}\)

## $sucesion
##  [1] 0.3000000 0.5841907 0.3510842 0.5330935 0.3847447 0.5018922 0.4068665
##  [8] 0.4823878 0.4213367 0.4700416 0.4307612 0.4621710 0.4368789 0.4571325
## [15] 0.4408408 0.4538990 0.4434023 0.4518205 0.4450567 0.4504832 0.4461244
## [22] 0.4496222 0.4468131 0.4490677 0.4472573 0.4487105 0.4475436 0.4484803
## [29] 0.4477283 0.4483320 0.4478473 0.4482364 0.4479240 0.4481748 0.4479734
## [36] 0.4481351 0.4480053 0.4481095 0.4480258 0.4480930 0.4480391 0.4480823
## [43] 0.4480476 0.4480755 0.4480531 0.4480711 0.4480566 0.4480682 0.4480589
## 
## $precision
## [1] 9.302412e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 48

El método del punto fijo converge, con una precisión de \(9.302412\times 10^{-6}\), después de 63 iteraciones a \(0.4480589\)

6. \(\quad x=0.5(\sin x+\cos x)\)

## $sucesion
## [1] 0.6000000 0.6949890 0.7042189 0.7047781 0.7048101 0.7048119
## 
## $precision
## [1] 1.819414e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 5

El método del punto fijo converge, con una precisión de \(1.81941\times 10^{-6}\), después de 5 iteraciones a \(0.7048119\)