1 Objetivo

Calcular covarianza y correlación así como visualizar la dispersión entre dos variables para su adecuada y correcta interpretración.

2 Descripción

Se cargan o se construyen datos y se determinan covarianza, correlación y diagrama de dispersión

Antes se cargan las librerías a utilizar

2.1 Cargar librerías

Se requiere install.packages() para cada librería a utilizar

library(ggplot2)
library(readr)
library(dplyr)
library(knitr)
library(PerformanceAnalytics) # Para coorelaciones gráficas

2.2 Cargar funciones preparadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/f.diagramas.graficos.r", encoding = "UTF-8")

3 Marco teórico

Se necesitan datos para calcular la covarianza, la correlación y mostrar el diagrama de dispersión.

3.1 Datos

Se tienen unos datos de interés de una tienda que tiene vendedores y hacen ventas; los vendedores hacen llamadas a prospectos y clientes y en razón de ello tal vez realizan cierta cantidad de ventas de cada uno de ellos.

Las variables de interés son llamadas que hacen los vendedores y la cantidad de ventas.

vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84) 
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)
datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos
##    vendedores llamadas ventas
## 1          V1       96     41
## 2          V2       40     41
## 3          V3      104     51
## 4          V4      128     60
## 5          V5      164     61
## 6          V6       76     29
## 7          V7       72     39
## 8          V8       80     50
## 9          V9       36     28
## 10        V10       84     43
## 11        V11      180     70
## 12        V12      132     56
## 13        V13      120     45
## 14        V14       44     31
## 15        V15       84     30

3.2 Covarianza

La covarianza se establece como una medida descriptiva de la asociación entre dos variables \(x\) e \(y\). (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).

\[ S_{xy} = \frac{\sum(x_i - \bar{x}) \cdot (y_i - \bar{y})}{n - 1} \]

Se necesitan dos variable de interés:

  • Se requiere la media de la variable \(x\)

  • Se requiere la media de la variable \(y\)

  • Se necesita el número de observaciones del conjunto de datos.

3.2.1 Calcular la covarianza

3.2.1.1 Construyendo una tabla

Se construye una tabla para determinar la covarianza manualmente.

tabla <- data.frame(x = llamadas, y = ventas, x.med = mean(llamadas), y.med=mean(ventas))
tabla <- cbind(tabla, xi.menos.x.med = tabla$x-mean(tabla$x))
tabla <- cbind(tabla, yi.menos.y.med = tabla$y-mean(tabla$y))
tabla <- cbind(tabla, prod = tabla$xi.menos.x.med * tabla$yi.menos.y.med)
tabla <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla[nrow(tabla), c(1:6)] <- '*'
kable(tabla)
x y x.med y.med xi.menos.x.med yi.menos.y.med prod
96 41 96 45 0 -4 0
40 41 96 45 -56 -4 224
104 51 96 45 8 6 48
128 60 96 45 32 15 480
164 61 96 45 68 16 1088
76 29 96 45 -20 -16 320
72 39 96 45 -24 -6 144
80 50 96 45 -16 5 -80
36 28 96 45 -60 -17 1020
84 43 96 45 -12 -2 24
180 70 96 45 84 25 2100
132 56 96 45 36 11 396
120 45 96 45 24 0 0
44 31 96 45 -52 -14 728
84 30 96 45 -12 -15 180
* * * * * * 6672

\[ S_{xy} = \frac{\sum(x_i - \bar{x}) \cdot (y_i - \bar{y})}{n - 1} \therefore \\ covarianza = S_{xy} = \frac{6672}{n-1} = \frac{6672}{14} = 476.5714 \]

n <- nrow(datos)
numerador <- sum((datos$llamadas - mean(datos$llamadas))  * (datos$ventas - mean(datos$ventas)))
# numerador ; sum(tabla$prod)
denominador <- n - 1
covarianza <- numerador / denominador
covarianza
## [1] 476.5714

3.3 Diagrama de dispersión

El diagrama de dispersión es una gráfica que identifica la relación entre dos variables con respectos a sus medias.

Se observa el diagrama de dispersión de llamadas y ventas

f_diag.dispersion(datos = datos[,c(2,3)])

3.4 Correlación

La covarianza muestral dividida entre el producto de las desviaciones estándar de cada variable de interés identifica la correlación entre dos variables

\[ r = \frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y} \]

El coeficiente de correlación del producto–momento de Pearson para datos muestrales (llamado coeficiente de correlación muestral) se calcula dividiendo la covarianza muestral entre el producto de la desviación estándar muestral de \(x\) por la desviación estándar muestral de \(y\).

\[ correlación = r = \frac{covarianza}{S_x \cdot S_y} = \frac{476.5714}{42.7618\cdot12.88964}=\frac{476.5714}{551.1843}=0.8646318 \]

\[ S_{xy}\text{ es la covarianza muestral previamente calculada} \\ S_x \text{ es la desviación std. de la variable x} \\ S_y \text{ es la desviación std. de la variable y} \\ S_x\cdot S_y \text { es el producto de ambas desviaciones} \]

prod.dispersion = sd(datos$llamadas) * sd(datos$ventas)
prod.dispersion
## [1] 551.1843
r <- covarianza / prod.dispersion
r
## [1] 0.8646318

3.5 Covarianza y correlación con cov() y cor()

covarianza <- cov(x = datos$llamadas, y = datos$ventas, )
r <- cor(x = datos$llamadas, y = datos$ventas)
         
covarianza; r
## [1] 476.5714
## [1] 0.8646318

3.6 Correlación con chart.Correlation

Se visualiza la correlación entre dos variables de interés usando chart.Correlation de la librería PerformanceAnalytics.

chart.Correlation(datos[,2:3], histogram = TRUE)

De acuerdo a Hernández Sampiere (hernándezsampieri2014?), los valores del coeficiente de correlación de Pearson se interpreta de la siguiente manera:

  • -0.90 = Correlación negativa muy fuerte.
  • -0.75 = Correlación negativa considerable.
  • -0.50 = Correlación negativa media.
  • -0.25 = Correlación negativa débil.
  • -0.10 = Correlación negativa muy débil.
  • 0.00 = No existe correlación alguna entre las variables.
  • +0.10 = Correlación positiva muy débil.
  • +0.25 = Correlación positiva débil.
  • +0.50 = Correlación positiva media.
  • +0.75 = Correlación positiva considerable.
  • +0.90 = Correlación positiva muy fuerte.
  • +1.00 = Correlación positiva perfecta (“A mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor Y,” de manera proporcional. Cada vez que X aumenta, Y aumenta siempre una cantidad constante).

El coeficiente de correlación va desde -1 hasta +1. Los valores cercanos a -1 o a +1 corresponden a una relación lineal fuerte. Entre más cercano a cero sea el valor de la correlación, más débil es la relación lineal(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).

4 Desarrollo

Se cargan datos de la dirección de internet

4.1 Cargar datos

#datos.bruto <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/datos/players_20.csv", stringsAsFactors = TRUE, encoding = "UTF-8")
#str(datos.bruto)

Son 18278 observaciones o registros y 104 variables.

4.2 Seleccionar las variables de interés

Se seleccionan dos variables numéricas de interés, height_cm y weight_kg; se modifican los nombres de variables o columnas en el conjunto de datos y se muestran los primeros 10 y últimos 10 registros.

#datos <- datos.bruto %>%
    #select(height_cm, weight_kg)
#colnames(datos) <- c("altura", "peso")
#head(datos, 10)
#tail(datos, 10)

Se muestran los estadísticos descriptivos principales de datos

#summary(datos)

4.3 Dispersión de los datos

#f_diag.dispersion(datos)

4.4 Correlación de los datos

#chart.Correlation(datos, histogram = TRUE)
#r <- cor(x = datos$altura, y = datos$peso)
#r

La correlación de las variables peso y estatura o estatura y peso es de 0.8646 y se interpreta como positiva considerable.

4.5 Otros datos de ejemplo

Se pide al alumno importar y utilizar los datos de ejemplo del ejercicio del caso 22 para determinar la covarianza y la correlación entre dos variables.

4.5.1 Cargar datos

datos.csv = read.csv("C:/Users/fvg88/Documents/Trabajos en R/datos/Libro12.csv",stringsAsFactors = TRUE,encoding = "UFT-8")
datos.csv
##   ï..Edades Estatura
## 1        10      150
## 2         6      140
## 3         8      130
## 4         9      120
## 5        12      150
## 6        15      160
## 7        11      175
## 8         9      140

4.5.2 Variables de interés

datos <- datos.csv %>%
    select(ï..Edades,Estatura)
colnames(datos) <- c("ï..Edades","Estatura")
head(datos, 10)
##   ï..Edades Estatura
## 1        10      150
## 2         6      140
## 3         8      130
## 4         9      120
## 5        12      150
## 6        15      160
## 7        11      175
## 8         9      140

4.5.3 Diagrama de dispersión

f_diag.dispersion(datos)

4.5.4 Covarianza con cov()

cov(datos.csv$ï..Edades,datos.csv$Estatura)
## [1] 27.85714

4.5.5 Correlación con cor()

cor(datos.csv$ï..Edades,datos.csv$Estatura)
## [1] 0.5940885

4.5.6 Correlación con chart.Correlation()

chart.Correlation(datos,histogram = TRUE)

5 Interpretación

Con la covarianza podemos observar como se comporta una variable con respecto a la otra. Es decir como se comporta la variable x conforme la variable y.

Bibliografía

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008b. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
———. 2008a. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur: Cengage Learning,.