Ejercicio 1.

En cada inciso considera la función de valores reales, usa splines cúbicos para encontrar una aproximación en el intervalo dado. Calcula el valor de la función, de la derivada y en cada caso calcula el error real.

  1. \(f(x)=e^{2x}\). Puntos: \(x_0=0, x_1=0.25, x_2=0.5, x_3=0.75\). Aproximar \(f(0.43)\) y \(f'(0.43)\).

Valor de la función en \(x=0.43\), \(f(0.43)=2.3631607\)

Valor aproximado por el spline

## [1] 2.347353

Error absoluto

## [1] 0.01580817

Derivada de la función \(f´(x)=2 e^(2x)\), evaluada en \(x=0.43\)

## [1] 4.726321
  1. \(f(x)=x\, log(x)\), \(x\in [2,12]\), \(h=2\). Aproximar \(f(8.4)\) y \(f'(8.4)\).

Valor de la función en \(x=8.4\), \(f(8.4)=17.8771463\)

Valor aproximado por el spline

## [1] 17.87406

Error absoluto:

## [1] 0.003082143

Derivada de la función \(f´(x)=log(x)+1\), evaluada en \(x=8.4\)

## [1] 3.128232
  1. \(f(x)=sen(e^x-2)\), \(x\in [0,5]\), \(h=1\). Aproximar \(f(0.9)\) y \(f'(0.9)\).

Valor de la función en \(x=0.9\), \(f(0.9)=0.4435924\)

Valor aproximado por spline

## [1] 0.656121

Error absoluto

## [1] 0.2125286

Derivada de la función \(f´(x)=cos(e^x-2)\), evaluada en \(x=0.9\)

## [1] 0.8962286
  1. \(f(x)=x\, cos\,x-2x^2+3x-1\). \(x\in [0,2]\), \(h=0.5\). Aproximar \(f(0.25)\) y \(f'(0.25)\).

Valor de la función en \(x=0.25\), \(f(0.25)=-0.1327719\)

Valor aproximado por spline

## [1] -0.1773416

Error absoluto

## [1] 0.04456967

Derivada de la función \(f´(x)=-xsen(x)-4x+cos(x)+3\), evaluada en \(x=0.25\)

## [1] 2.907061
  1. \(f(x)=x\,cos\,x-3x\). Puntos: \(x_0=0.1, x_1=0.2, x_2=0.3, x_3=0.4\). Aproximar \(f(0.18)\) y \(f'(0.18)\).

Valor de la función en \(x=0.18\), \(f(0.18)=-0.3629081\)

valor aproximado por el spline

## [1] -0.362941

Error absoluto

## [1] 3.28817e-05

**Derivada de la función \(f´(x)=cos(x)-xsen(x)-3\), evaluada en \(x=0.18\)*

## [1] -2.048382

Ejercicio 2

Encuentra los splines cúbicos condicionados para las funciones del ejercicio anterior.

  1. \(f(x)=e^{2x}\). Puntos: \(x_0=0, x_1=0.25, x_2=0.5, x_3=0.75\). Aproximar \(f(0.43)\) y \(f'(0.43)\).
  1. \(f(x)=x\, log(x)\), \(x\in [2,12]\), \(h=2\). Aproximar \(f(8.4)\) y \(f'(8.4)\).
  1. \(f(x)=sen(e^x-2)\), \(x\in [0,5]\), \(h=1\). Aproximar \(f(0.9)\) y \(f'(0.9)\).
  1. \(f(x)=x\, cos\,x-2x^2+3x-1\). \(x\in [0,2]\), \(h=0.5\). Aproximar \(f(0.25)\) y \(f'(0.25)\)
  1. \(f(x)=x\,cos\,x-3x\). Puntos: \(x_0=0.1, x_1=0.2, x_2=0.3, x_3=0.4\). Aproximar \(f(0.18)\) y \(f'(0.18)\)

Ejercicio 3

Se sospecha que las elevadas concentraciones de tanina en las hojas de los robles maduros inhiben el crecimiento de las larvas de la polilla invernal (Operophtera bromata L. Geometridae) que tanto dañan a los árboles en algunos años. La tabla anexa contiene el peso promedio de dos muestras de larva, tomadas en los primeros 28 días después de nacimiento. La primera muestra se crió en hojas de robles jóvenes, mientras que la segunda lo hizo en hojas maduras del mismo árbol.

  1. Usa splines cúbicos para aproximar la curva del peso promedio de las muestras.
  1. Para calcular un peso promedio máximo aproximado de cada muestra, determina el máximo del polinomio interpolante.

\[\begin{equation} \begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|r} \text{Día} & 0 & 6 & 10 & 13 & 17 & 20 & 28 \\ \hline \text{Peso promedio muestra 1 (mg)} & 6.67 & 17.33 & 42.67 & 37.33 & 30.10 & 29.31 & 28.74 \\ \text{Peso promedio muestra 2 (mg)} & 6.67 & 16.11 & 18.89 & 15.00 & 10.56 & 9.44 & 8.89 \end{array} \end{equation}\]

1

## 6.67 - 42.64348*x + 16.14272*x^2 - 2.094639*x^3 + 0.1269024*x^4 -  
## 0.003671679*x^5 + 4.094576e-05*x^6

Calculamos el punto máximo, iteramos usando el método de la secante y encontramos la raíz de la derivada entre el día 10 y 11.

## $root
## [1] 10.18858
## 
## $f.root
## [1] 2.345633e-09
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 1.180142e-05

Obtendremos la imagen de este valor en la función que describe el peso de la Muestra 1 para obtener el peso máximo que esta muestra puede tener:

## [1] 42.70842

*El peso máximo de la muestra 1 ocurre en el día \(10.18858\), en el cual, la muestra alcanza un peso de \(42.70842\).

2

## 6.67 - 5.678207*x + 2.912809*x^2 - 0.4137987*x^3 + 0.02584128*x^4 -  
## 0.0007525462*x^5 + 8.361598e-06*x^6

Calculamos el punto máximo, iteraremos usando el método de la secante y encontramos la raíz de la derivada entre el día 7 y 9.

## $root
## [1] 8.769426
## 
## $f.root
## [1] -1.309113e-10
## 
## $iter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 4.446447e-06

Obtendremos la imagen de este valor en la función que describe el peso de la Muestra 2 para obtener el peso máximo que esta muestra puede tener:

## [1] 19.41575

*El peso máximo de la muestra 2 ocurre en el día \(8.769426\), en el cual, la muestra alcanza un peso de \(19.41575\).

Ejercicio 4

Construye los splines cúbicos con \(n\) nodos, donde \(n=3,4\) para las siguientes funciones en el intervalo dado.

  1. \(f(x) = e^{2x}\, cos 3x\), \([0,2]\).
  1. \(f(x) = sen(log\,x)\), \([1,3]\).
  1. \(f(x) = e^{x}+e^{-x}\), \([0,2]\).
  1. \(f(x) = cos \,x+sen\,x\), \([0,2\pi]\).

Ejercicio 5

Dada la partición \(x_0=0, x_1=0.5, x_2=1\), del intervalo \([0,1]\), encuentra el spline cúbico \(S\) para \(f(x)=e^{2x}\). Aproxima \(\int_0^{1} e^{2x}\,dx\) con \(\int_0^{1} S(x)\,dx\) y compara el resultado con el valor real.

Integral de la función

## [1] 3.194528