Prediksi Volume Penjualan Suatu Produk Perusahaan PT.X dengan Menggunakan Analisis Deret Waktu

1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perusahaan harus merancang berbagai macam teknik strategi untuk dapat bertahan di era globalisasi yang melanda dunia bisnis dan usaha. Data kuantitatif dan kualitatif dapat dipilih perusahaan untuk mendukung strategi usaha yang akan dibuat. Akan tetapi dewasa ini orang cenderung elbih suka berfikir secara kuantitatif. Hasil atau keputusan yang diambil dari data kuantitatif diperlukan metode statistik guna sebagai alat analisis sehingga mencegah adanya kesalahan pengambilan keputusan untuk melangkah kedepannya.

Peramalan merupakan salah satu elemen terpenting dalam proses pengambilan keputusan. Umumnya peramalan yang dilakukan didasarkan pada kejadian masa lampau yang dianalisis dengan menggunakan metode tertentu. Kejadian masa lampau yang berupa data, dikumpulkan, dipelajadi, dianalisis, dan dihubungkan dengan perjalanan waktu, karena adanya faktor waktu tersebut maka kita dapat mengambil suatu keputusan atau hasil yang dapat digunakan untuk masa yang akan datang. Tujuan peramalan selain untuk mengetahui apa yang akan terjadi di masa yang akan datang juga meminimumkan kesalahan peramalan, artinya perbedaan antara kenyataan dengan ramalan tidak terlalu jauh. Dapat diartikan bahwa ramalan yang baik ialah ramalan yang mendekati kenyataan.

Peranan peramalan telah tersebar ke berbagai bidang, seperti keuangan, pemasaran, ekonomi, geofisika, kependudukan negara, pemasaran, dan lain-lain. Karena besarnya peran peramalan tersebut maka diharuskan memerlukan kerja lebih dalam langkah-langkah dalam melakukan peramalan ini. Langkah-langkah peramalan yang baik diharapkan dapat diperoleh hasil ramalan yang baik pula.

Beberapa metode yang digunakan untuk peramalan yaitu peramalan subyektif, model ekonometrik dan struktural, model Deterministik, Peramalan Ad Hoc dan Analisis Deret Waktu. Pada laporan praktikum ini metode yang akna digunakan dalam melakukan peramalan yaitu Analisis Deret Waktu (ARIMA).

ARIMA pertama kali dicetuskan oleh George Box dan Gwilym Jenkins dalam penelitian analisis time series. Mereka membuat metode ini untuk mencari model mana yang dirasa lebih cocok untuk melakukan sistem prediksi time series (deret waktu).

Auto-ARIMA (AutoRegressive Intergrated Moving Average) merupakan metode prediksi berdasarkan data time series. Metode in idapat beralan maksimal jika data yang diperoleh cukup banyak dan panjang serta hubungan antar data timeseries stabil. Variabel random (acak) di model ini sebagai kombinasi adanya signal dan noise. Signal yang jelas mungkin menjadi bentuk pola cepat lambatnya pengembalian rata-rata data atau bisa mempunyai komponen seasonal. ARIMA dapat dilihat sebagai filter (penyaring) yang memisahkan signal dari noise, kemudian signal itu diekstrapolasi menjadi bahan untuk mencari prediksi.

Oleh karena itu pada laporan praktikum ini dibuatlah sebuah metode prediksi yang menggunakan ARIMA model sebagai dasar untuk mengidentifikasi jenis model prediksi serta mencari output prediksi dengan berusaha mendekati nilai aktual (sebenarnya) dan meminimalkan data error yang akan timbul dari hasil proses prediksi yang didapat.

2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Deret Waktu

Analisis Deret waktu merupakan suatu metode kuantitatif untuk menentukan data di masa lampau yang telah dikumpulkan secara teratur jika kita telah menentukan pola data tersebut, maka kita dapat menggunakannya untuk mengadakan peramalan di masa datang.

Sedangkan Deret Waktu merupakan data statistik yang di susun berdasarkan waktu kejadian. Pengertian waktu di sini dapat berapa tahun, bulan, minggu dan sebagainya. Ciri-ciri analisis waktu yang menonjol adalah bahwa deretan observasi pada suatu variabel dipandang sebagai realisasi dari variabel random berdistribusi bersama, yakni kita menganggap adanya fungsi probabilitas bersama pada variabel random  \(Z_1,...,Z_n,\) misalnya  \(f_1,...,n\) \((Z_1,...,Z_n)\). Subskrip 1,…, n pada fungsi kepadatan itu menunjukan kenyataan pada umumnya parameter atau bahkan bentuk fungsi kepadatan itu bergantung pada titik waktu tertentu yang kita perhatikan. Model ini dinamakan model statistik (stokastik), ramalan yang dibuat pada waktu t untuk k langkah kedepan di pandang sebagai nilai ekspektasi  \(Z_{t+k}\) dengan syarat diketahui observasi yang lalu sampai  \(Z_t\). Sebagai contoh sederhana suatu proses stokastik kita pandang random walk, di mana dalam setiap perubahan yang berturutan diambil secara independen dari suatu distribusi probabilitas dengan mean nol maka variabel  \(Z_t\) mengikuti.  \(Z_t-Z_{t-1}=a_t\) atau  \(Z_t=Z_{t-1}+a_t\).

2.2 Prediksi

Prediksi merupakan suatu teknik untuk memprediksi kejadian di masa depan (Heizer & Hender, 2005). Dalam melakukan suatu kegiatan prediksi diperlukan kegiatan pengambilan data di masa lalu(past) dan mengolahnya di masa sekarang(present) dengan menyusun data tersebut dalam bentuk yang terstruktur dan matematis. Proses prediksi dapat dimulai dari asumsi tertentu berdasarkan pengalaman, pengetahuan, dan penilaian terhadap suatu yang akan diprediksi. Prediksi diproyeksikan ke dalam suatu periode waktu (baik hari, bulan, tahun).

Prediksi juga didefenisikan penggunaan data untuk menguraikan kejadian yang akan datang di dalam menentukan sasaran yang akan dikehendaki(Tampubolon, 2004). Sedangkan menurut (Heryanto, 2004) pendefenisian prediksi yaitu proses suatu variable(kejadian) di masa datang dengan variabel data yang bersangkutan pada masa sebelumnya. Sementara menurut (Nasution, 2006) prediksi diartikan sebagai proses memperkirakan berapa kebutuhan di masa datang yang meliputi kebutuhan dalam urusan kuantitas, kualitas, waktu, dan lokasi yang dibutuhkan dalam rangka memenuhi permintaan barang dan jasa.

Sistem prediksi pada umumnya memiliki langkah langkah dalam melakukan proses penghitungan yaitu :
1. Penentuan Tujuan
Tahapan pertama yang terdiri dari penentuan macam estimasi parameter yang diinginkan sesuai dengan kebutuhan akan objek yang diprediksi.

2. Pengembangan Model
   Mengembangkan model dengan memakasi estimasi parameter yang sudah ditentukan dan menyajikan data secara lebih sederhana untuk kemudahan dalam penginputan data hasil prediksi di masa datang.

3. Pengujian Model
   Sebelum model diimplementasikan, umumnya dilakukan pengujian terhadap tingkat akurasi, validasi, realibilitas yang diharapkan. Model harus disesuaikan dengan data time-series sekarang dan masa sebelumnya.

4. Penerapan Model
   Setelah proses pengujian model diterapkan untuk dimasukkan ke dalam sistem prediksi.

5. Revisi dan Evaluasi
   Sistem prediksi yang baik seharusnya melakukan evaluasi terhadap kegiatan proses prediksi sehingga dapat memperbaiki dan mengembangkan suatu sistem agar lebih bagus.

2.3 Time Series

Time series adalah rangkaian data yang diperoleh dari suatu obeservasi atau kegiatan yang dilakukan pada interval suatu periode waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadian interval waktu yang tetap (Wei, 2006: 1). Menurut Hendikawati (2014: 8), time series merupakan salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk memprediksikan struktur probabilistik keadaan yang terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan untuk sebuah perencanaan tertentu.

Sistem prediksi dengan time series mempunyai ciri interval waktu antar indeks waktu t dapat dinyatakan dalam satuan waktu yang sama (identik). Jarak waktu kali (lag k) memisahkan ketergantungan waktu antara pengamatan  \(z_{t}\) dengan  \(Z_{t-k}\). Salah satu tujuan yang paling penting dalam time series yaitu memperkirakan nilai masa depan. Bahkan tujuan akhir dari pemodelan time series adalah untuk mengontrol sistem operasi biasanya didasarkan pada prediksi. Istilah prediksi lebih sering digunakan dalam literatur time series daripada prediksi jangka panjang (Wei, 2006: 88).

Di dalam melakukan proses prediksi time series ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu (Hendikawati, 2014: 9).

1. Stokastik
   Sebuah proses stokastik adalah kumpulan parameter dari variabel acak { \(X^t\)} \(t\) \(\epsilon\)\(T\) didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, F, P) (Ω, F, P) dan nilai-nilai asumsi di  \(R^n\) dimana parameter T adalah [0, ∞], tetapi bisa juga menjadi interval [a, b] bilangan bulat negatif dan bahkan bagian dari  \(R^n\) dimana n >= 1. Proses ini sering dijumpai model keuangan, industri, perdagangan, perniagaan, dan lain sebagainya.

2. Stationeritas
   Dalam melakukan proses prediksi kestationeran data sangat perlu diperhatikan. Kestationeran dapat diamati dengan ada tidaknya perubahan dalam rata-rata(mean) dan variansi data.

3. Differencing Data
   Jika suatu data belum bersifat stationer, pada rata rata (mean) maka dilakukanlah proses diffrencing. Diffrencing dilakukan dengan melakukan pengurangan terhadap pengamatan data pada waktu(t)  \(Z_t\) dengan pengamatan awal  \(Z_{t-1}\).
    \(\Delta\)\(Z_t=Z_t-Z_{t-1}\)
    \(\Delta^2\)\(Z_t=Z_t-Z_{t-1}+Z_{t-2}\)

Dimana,
 \(\Delta\)\(Z_t\)= proses diffrencing 1 kali
 \(\Delta^2\)\(Z_t\)= proses diffrencing 2 kali
 \(Z_t\)= pengamatan saat waktu t
 \(Z_{t-1}\) = pengamatan saat waktu sebelum t

4. Cox Box Transformation
   Jika data tidak stasioner pada varian, proses cox box transformaton boleh dilakukan
    \(Z_t^{(\lambda)}= \frac{Z_t-1}{\lambda},-1<\lambda<1\)

Dimana:
 \(Z_t\)= Data pada waktu t
 \(\lambda\) = Nilai parameter transformasi

5. Auto Correlation Factor
   Di dalam melakukan pencarian model time series data, auto correlation factor(ACF) memiliki peranan yang sangat penting. ACf berfungsi menunjukkan besarnya korelasi antara pengamatan awal dengan pengamatan pada waktu t. (Wei, 2006:20).

6. Partial Correlation Factor
   Partial Auto Correlation Factor(PACF) berfungsi sebagai penunjuk yang menandakan besarnya korelasi parsial antara pengamatan awal dengan pengamatan pada waktu t.

2.4 Autoregressive Integrated Moving Average

Prediksi sudah banyak dilakukan oleh para ahli dari tahun ke tahun. Situasi dan kondisi juga sangat bervarisasi dalam mempengaruhi faktor proses prediksi. Hal ini jelas akan berdampak pada hasil akhir proses prediksi. Banyak metode teknik prediksi yang telah dilakukan untuk menjawab permasalahan tersebut salah satunya yakni prediksi kuantitatif dan prediksi kualitatif (Heizer & Render, 2005).

1. Prediksi Kualitatif
   Prediksi ini mengkolaborasi faktor pengalaman, intuisi, emosi yang bersifat subjektif. Adapun cara yang dilakukan untuk mencari sumbernya yaitu dengan melakukan survey, kuisoner kepada masyarakat.

2. Prediksi Kuantitatif
   Prediksi ini berdasarkan pada model matematis pada variable time series dan variabel sebab akibat (causal method). Salah satu Predisi kuantitatif yang menggunakan time series adalah Autoregressive Integrated Moving Average(ARIMA).

ARIMA memiliki model dalam melakukan proses prediksi yaitu
1. Model Autoregressive
Model AR(1)
 \(Z_1= \phi_{1}Z_{t-1}+a_t\)

Model AR(2)
 \(Z_1= \phi_{1}Z_{t-1}+\phi_{2}Z_{t-2}+a_t\)

Model AR(p)
 \(Z_1= \phi_{1}Z_{t-1}+\phi_{2}Z_{t-2}+...+\phi_{p}Z_{t-p}+a_t\)
 \((1-\phi_{1}Z_{t-1}-\phi_{2}Z_{t-2}-...-\phi_{p}Z_{t-p})Z_t=a_t\)
 \(1-\phi_{t}B-\phi_{t}B^2-...-\phi_{p}B^p)Z_t=a_t\)
 \(\phi_p(B)Z_t=a_t\)

Dimana,
 \(\phi_p\) = parameter autoregressive
 \(a_t\)= nilai kesalahan pada saat t
 \(z_t\) = nilai pada periode ke-t
 \(z_{t-p}\) = nilai pada periode ke t- p

2. Model Moving Average (MA)
   Model MA (1)
    \(z_t = a_t-\theta_1a_{t-1}\)

Model MA (2)
 \(z_t = a_t-\theta_1a_{t-1} - \theta_2a_{t-2}\)

Model MA (q)
 \(z_t = a_t-\theta_1a_{t-1} - \theta_2a_{t-2}-...- \theta_qa_{t-q}\)
 \(z_t = \theta_q(B)a_t\)

Dimana,
 \(\theta_q\) = parameter moving average
 \(a_t\) = error random ke-t
 \(a_{t-q}\) = error random ke t - q

3. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
    \(z_t = (1-\phi_1)z_{t-1}+\phi_1z_{t-2}+a_t-\theta_1a_{t-1}-\theta_2a_t-2\)
   (Wei, 2005:71).

2.5 Mengidentifikasikan Model

Dalam mengindentifikasi model dilakukan dengan fungsi Autocorrelation Factor(ACF) dan fungsi Partial AutoCorrelation Factor(PACF).
1. Autocorrelation Factor Model Moving Average.
2. Autocorrelation Factor Model Moving Average.
3. Partial Autocorrelation Factor Model AR.
4. Partial Autocorrelation Factor Model MA.

2.6 Mengidentifikasi Model ARIMA Terbaik

Langkah-langkah yang dilakukan yaotu :
1. Menguji kevalidan parameter
Adapun parameter AR(p), MA(q), diffrencing(d) haruslah benar benar valid.
 \(t_{hitung}= \frac{\phi}{se\phi_1}\)
 \(\phi_1 = 0\) Parameter valid
 \(\phi_1\)≠ 0 parameter tidak valid

2. Estimasi nilai  \(a^2\) Nilai  \(a^2\) dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :
    \(\sigma= \frac{\Sigma^n_{i=1}a_i}{n}\)
   Model ARIMA terbaik dilakukan dengan mencari nilai  \(a^2\) terkecil.

3. Estimasi Nilai log likelihood
   

4. Estimasi Nilai AIC (Aikake’s Information Criterion)

3 SOURCE CODE

3.1 Library yang Dibutuhkan

> # Library
> library(tidyr)
> library(readxl)
> library(FitAR)
> library(forecast)
> library(tseries)

3.2 Data

Data yang digunakan dapat diakses melalui link berikut : https://bit.ly/Volume_ARIMA

> data = read_excel("D:/Kuliah/Semester 6/Komstat/Data tugas prak.xlsx")
> jumlah= data$Jumlah

3.3 Statistika Deskriptif

> summary(data)
      No.            Jumlah    
 Min.   : 1.00   Min.   :1779  
 1st Qu.:15.75   1st Qu.:3467  
 Median :30.50   Median :3686  
 Mean   :30.50   Mean   :3742  
 3rd Qu.:45.25   3rd Qu.:4022  
 Max.   :60.00   Max.   :7498  

3.4 Plot Time Series

> plot.ts(jumlah, 
+         main= "Plot Time Series Volume Penjualan Produk PT.X",
+         xlab= "Periode")

## Uji Stasioneritas ### Uji Stasioneritas Ragam

> FitAR::BoxCox(jumlah)

> 
> transjumlah = ((jumlah^0.064)-1)/0.064
> FitAR::BoxCox(transjumlah)

### Uji Stasioneritas Rata-Rata

> 
> adf.test(transjumlah)

    Augmented Dickey-Fuller Test

data:  transjumlah
Dickey-Fuller = -3.0878, Lag order = 3, p-value = 0.1351
alternative hypothesis: stationary
> 
> diffjumlah = diff(transjumlah)
> adf.test(diffjumlah)

    Augmented Dickey-Fuller Test

data:  diffjumlah
Dickey-Fuller = -6.7659, Lag order = 3, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary

3.5 Idetifikasi ACF & PACF

> acf(diffjumlah)

> pacf(diffjumlah)

3.6 Penentuan Model ARIMA

> auto.arima(jumlah)
Series: jumlah 
ARIMA(0,1,1) 

Coefficients:
          ma1
      -0.7826
s.e.   0.0820

sigma^2 estimated as 470264:  log likelihood=-468.99
AIC=941.98   AICc=942.19   BIC=946.13

3.6.1 ARIMA (0,1,1)

> mo <- Arima(jumlah, order = c(0,1,1),include.drift = TRUE)
> coeftest(mo)
Error in coeftest(mo): could not find function "coeftest"

3.7 Peramalan

> frcst = forecast(mo, h=10)
> frcst
   Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
61       4477.513 3608.649 5346.377 3148.700 5806.326
62       4502.810 3623.120 5382.500 3157.440 5848.180
63       4528.107 3637.722 5418.491 3166.381 5889.833
64       4553.403 3652.451 5454.356 3175.516 5931.291
65       4578.700 3667.303 5490.097 3184.838 5972.562
66       4603.997 3682.273 5525.721 3194.341 6013.652
67       4629.294 3697.357 5561.230 3204.020 6054.567
68       4654.590 3712.552 5596.628 3213.867 6095.313
69       4679.887 3727.854 5631.919 3223.879 6135.895
70       4705.184 3743.261 5667.107 3234.049 6176.318
> plot(frcst)

4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Statistika Deskriptif

Data yang digunakan merupakan volume penjualan produk PT.X dari bulan Januari 2003 hingga Desember 2007 (Satuan Ton). Berdasarkan Data yang digunakan, diperoleh beberapa informasi sebagai berikut: Rata-rata volume penjualan sebesar 3742 Ton, Volume penjualan terkecil sebesar 1779 Ton, dan Volume penjualan terbesar 7498 Ton.

4.2 Identifikasi Plot Time Series

Plot Time Series digunakan untuk meliat kecenderungan pergerakan data pada periode-periode waktu sebelumnya. Mengingat bahwa peramalan yang reliabel dapat dilakukan melalui pemodelan pola data pada periode-periode sebelumnya, dan kemudian mengekstrapolasi pola tersebut ke masa depan. Output yang dihasilkan terlihat terdapat pencilan atau nilai ekstrim pada periode ke 11 dan 20. Serta jika diperhatikan lebih teliti pola data pada plot time series yang dihasilkan menunjukkan trend linear positif. Dua hal tersebut menyebabkan data tidak stasioner baik terhadap ragam dan rata-rata. Uji Stasioneritas diperlukan untuk memastikan kedua hal tersebut.

4.3 Uji Stasioneritas

4.3.1 Uji Stasioneritas Ragam

Berdasarkan hasil perhitungan transformasi Box-Cox, dengan selang kepercayaan 95%, didapatkan  \(\lambda\) sebesar 0.064. Karena nilai  \(\lambda\) tidak sama dengan 1 maka dapat disimpulkan bahwa tidak stasioner terhadap ragam dan perlu dilakukan transformasi.

Setelah dilakukan transformasi dapat dilihat bahwa nilai  \(\lambda\) sama dengan 1. Maka dapat disimpulkan bahwa sudah stasioner terhadap ragam.

4.3.2 Uji Stasionertas Rata-Rata

Berdasarab hasil perhitungan Augmented Dicky-Fuller Test didapatkan P-Value > 0.05. Maka dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner terhadap rata-rata sehingga diperlukan differencing untuk menanganinya.

Setelah dilakukan differencing didapatkan P-Value < 0.05. Maka dapat disimpulkan bahwa data sudah stasioner terhadap rata-rata.

4.4 Identifikasi ACF & PACF

4.4.1 ACF

Berdasarkan plot ACF, dapat dilihat bahwa pada lag 1 dan 2 signifikan. Sehingga dapat diketahui bahwa nilai pada orde q paling besar ialah 2 dan orde q yang mungkin adalah 0, 1, dan 2.

4.4.2 PACF

Berdasarkan plot PACF dapat dilihat bahwa pada lag 1 dan lag 2 signifikan. Sehingga dapat diketahui bahwa nilai pada orde p paling besar ialah 2 dan orde p yang mungkin adalah 0, 1, dan 2

4.5 Penentuan Model ARIMA

Dengan bantuan Auto-ARIMA diperoleh model tentatif yang sesuai untuk data ialah ARIMA(0,1,1)

4.6 Peramalan

Model ARIMA terbaik yang didapatkan ialah ARIMA(0,1,1), maka model tersebut layak untuk selanjutnya dilakukan peramalan. Model terbaik yang terbentuk adalah sebagai berikut
 \[Y_t = 25.296713 +e_t - 0.841647e_{t-1}\]

Hasil dari peramalan untuk sepuluh periode ke depan adalah sebagai berikut

Periode	Volume Penjualan
61	4477.513
62	4502.810
63	4528.107
64	4553.403
65	4578.700
66	4603.997
67	4629.294
68	4654.590
69	4679.887
70	4705.184

Berdasarkan hasil peramalan sepuluh periode ke depan, dapat dilihat bahwa Volume Penjualan Suatu Produk PT.X cenderung mengalami penurunan pada awal periode peramalan lalu naik perlahan untuk periode selanjutnya.

5 DAFTAR PUSTAKA

• Makridakis, Spyres, dkk.(Penterjemah) Untung S. Andriyanto, dkk .1993. Metode dan Aplikasi Peramalan Jilid I. Jakarta: Erlangga.

• Wei & William W. S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Addison-Wesley Publishing Company.

• Susanto, F. (2009). Forecasting Volume Penjualan Produk Kertas Perusahaan PT. Pura Barutama dengan Menggunakan Analisis Runtun Waktu dan Program Minitab.

• Ketaren, C. J. (2017). Prediksi Kebutuhan BBM Menggunakan Metode Arima di Pertamina UPMS-1 Medan.

• Hendikawati, P., 2010, Algoritma Levenberg-Marquardt Untuk Training Feedforward Neural Network Pada Peramalan Data Time Series, Tesis, Program Studi S2 Matematika, Universitas Gadjah Mada Yogyakarta, Agustus 2010.