LMAFY1101 - TP4 - VA continues

Massimo Meert

20 Mai, 2022

Exercice 1

Considérons une v.a. \(X\) définie par la fonction de densité suivante: \[ f(x) = \begin{cases} x \hspace{1em} si \hspace{0.3em} 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x \hspace{1em} si \hspace{0.3em} 1 \leq x \leq 2 \\ 0 \hspace{1em} sinon \end{cases} \]

  1. Déterminez la fonction de répartition \(F(x)\) associée à la v.a. \(X\) puis représentez-la graphiquement. \[F(x) = \begin{cases}0 \hspace{1em} si \hspace{0.3em} x < 0 \\ \frac{x^2}{2} \hspace{1em} si \hspace{0.3em} 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{-x^2}{2}+2x-1 \hspace{1em} si \hspace{0.3em} 1 \leq x \leq 2 \\ 1 \hspace{1em} si \hspace{0.3em} x \geq 2 \end{cases}\]
  2. Calculez \(P[0.8 \leq X \leq 1.2]\). \[\Rightarrow F(1.2) - F(0.8) = (\frac{-1.2^2}{2} + 2*1.2-1) - (\frac{0.8^2}{2}) = 0.36\]
  3. Calculez \(P[X \leq 1.5 | X \geq 1]\). \[\Rightarrow \frac{F(1.5) - F(1)}{1 - F(1)} = \frac{0.375}{0.5} = 0.75\]
curve((x^2 / 2) * (x >= 0 & x < 1) +
        (-x^2 / 2 + 2 * x - 1) * (x >= 1 & x < 2) +
        I(x >= 2), from = -0.5, to = 2.5, ylab = "F(x)", main = "Graphe de F(x)")

Exercice 2

Soit \(Y\) le temps (en centaine d’heures) avant une panne d’un ordinateur. Des études montrent que la distribution de \(Y\) est caractérisée par la fonction de répartition suivante: \[F(y) = \begin{cases} 1-e^{-y^2} \hspace{1em} si\hspace{.3em} y > 0 \\ 0 \hspace{1em} si\hspace{.3em} y < 0\end{cases}\]

  1. Trouvez la probabilité qu’un ordinateur n’ait pas de panne pendant au moins 200 heures (depuis sa mise en marche). \[P(Y \leq 2) = 1 - F(2) = 1 - (1 - e^{-4}) = 0.0183\]
  2. Trouvez \(p \to F^{−1}(p)\) la fonction quantile de cette distribution puis représentez-la graphiquement. \[1 - e^{y^2} = p, \hspace{.2em} p \in [0,1] \Leftrightarrow y = \sqrt{-log(1-p)}\]
curve(sqrt(-log(1 - x)), from = 0, to = 1, ylab = "p", main = "Fonction quantile de Y")

  1. Complétez la phrase suivante “dans 93.5% des cas, un ordinateur pris au hasard fonctionnera pour au moins ?? heures”. \[P(Y \geq y) = 0.935 \Leftrightarrow P(Y \leq y) = 0.065 \Leftrightarrow \sqrt{-log(1-0.065)} * 100 \sim 26h\]
  2. Trouvez la fonction de densité de \(Y\) puis représentez-la graphiquement. \[f(y) = \frac{d}{dy}F(y) = 2ye^{−y^2}\]
curve(2 * x * exp(-x^2), from = 0, to = 3, xlab = "y", ylab = "f(y)", main = "Fonction de densité F(y)")

  1. Calculez la moyenne et la variance de \(Y\). \[\mu = E[Y] = \int_{0}^{\infty}2y^2e^{−y^2}dy \\ Var(Y) = E[Y^2] = \int_{0}^{\infty}2y^3e^{−y^2}dy\]
E <- integrate(function(x) 2 * x^2 * exp(-x^2), lower = 0, upper = Inf)$value
E
## [1] 0.8862269
integrate(function(x) 2 * x^3 * exp(-x^2), lower = 0, upper = Inf)$value - E^2
## [1] 0.2146018

Exercice 3

Soit \(X\) la v.a. dont la densité est \(f(x) = cI(0 \leq x \leq 1)\), où \(c\) est une constante positive.

  1. Trouvez la valeur de \(c\). \[c\int_0^11dx = 1 \Leftrightarrow c = 1\]
  2. Calculez la densité de \(X^2 + 1\) \[P(Y \leq y) = P(X \leq \sqrt{y-1}), \hspace{0.3em} pour \hspace{0.3em} 1 \leq y \leq 2 \\ \Leftrightarrow F(y) = \begin{cases} 0, \hspace{1em} pour \hspace{0.3em} y < 1 \\ \sqrt{y-1}, \hspace{1em} pour \hspace{0.3em} 1 \leq y \leq 2 \\ 1, \hspace{1em} pour \hspace{0.3em} y > 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow f(y) = \frac{d}{dy}F(y) = \frac{1}{2\sqrt{y-1}}I(1\leq y \leq2)\]
  3. Calculez \(E(X^2+1)\) en utilisant deux méthodes différentes. \[E(X^2 + 1) = \frac{1}{2}\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x-1}}dx = 1.33\] \[E(X^2 + 1) = E(X^2) + 1 = 1 + \int_0^1 x^2 dx = 1 + 1/3\]