1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Analisis ragam (ANOVA) adalah analisis yang dilakukan untuk menguji
perbedaan rata-rata dari beberapa kelompok (>2) yang berasal dari
perlakuan yang berbeda-beda.
Hipotesis yang digunakan :
\(H_{0} : \mu_1 = \dots =
\mu_k\)
\(H_{1} :\) paling sedikit terdapat
satu pasang \(i\) dan \(i'\) dengan \(\mu_{i} \ne \mu_{i'}\)
Keterangan :
\(k\) = banyaknya perlakuan
Model linear untuk analisis ragam satu arah : \[
Y_{ij} = \mu_{i} + \varepsilon_{ij}
\] Keterangan :
\(Y_{ij}\) = Pengamatan pada perlakuan
ke \(i\) ulangan ke \(j\)
\(\mu_{i}\) = Rata-rata perlakuan ke
\(i\)
\(\varepsilon_{ij}\) = Galat pada
perlakuan ke \(i\) ulangan ke \(j\)
\(i=1,..,k\)
\(j=1,...,n_{i}\)
Dengan \(n_{i}\) adalah banyaknya
pengamatan di setiap kelompok perlakuan \(i\).
Jumlah kuadrat nilai pengamatan di sekitar rata-rata (JKT) dapat
diuraikan menjadi Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) dan Jumlah Kuadrat
Galat (JKG).
\[
JKT = JKP + JKG
\] \[
\Sigma \Sigma (Y_{ij}-\bar{Y_{..}})^{2}= \Sigma
n_{i}(Y_{i}-\bar{Y_{..}})^{2} + \Sigma \Sigma (Y_{ij}-\bar{Y_{i.}})^{2}
\]
1.2 Statistika Deskriptif
Sebagai langkah awal dalam analisis data, dilakukan eksplorasi data. Data respon masing-masing perlakuan disajikan dalam bentuk boxplot untuk melihat sebaran data respon masing-masing perlakuan. Akan dilihat apakah terlihat perbedaan antar perlakuan.
1.3 Data
Data respon pada analisis ini menggunakan data bangkitan yang
didapatkan dari fungsi rnorm. Respon masing-masing
perlakuan dibangkitkan dengan nilai rata-rata dan simpangan baku yang
berbeda.
y1 y2 y3 y4 y5
1 7.758097 8.758097 8.637146 8.516195 7.197622
2 9.079290 10.079290 10.618935 11.158580 8.849113
3 16.234833 17.234833 21.352250 25.469667 17.793542
4 10.282034 11.282034 12.423050 13.564067 10.352542
5 10.517151 11.517151 12.775726 14.034302 10.646439
6 16.860260 8.758097 22.290390 8.516195 18.575325
7 11.843665 10.079290 14.765497 11.158580 12.304581
8 4.939755 17.234833 4.409633 25.469667 3.674694
9 7.252589 11.282034 7.878883 13.564067 6.565736
10 8.217352 11.517151 9.326028 14.034302 7.7716902 SOURCE CODE
2.1 Library yang Dibutuhkan
> library(tseries)
> library(car)
> library(agricolae)2.2 Membangkitkan Data
> set.seed(123)
> y1=rnorm(10,10,4)
> set.seed(123)
> y2=rnorm(5,11,4)
> set.seed(123)
> y3=rnorm(10,12,6)
> set.seed(123)
> y4=rnorm(5,13,8)
> set.seed(123)
> y5=rnorm(10,10,5)
> respon=c(y1,y2,y3,y4,y5)Data dibangkitkan dengan cara simulasi. Function rnorm
digunakan untuk membangkitkan data dari distribusi normal sejumlah \(n\) dengan parameter \(\mu\) dan \(\sigma\). Argument yang diisikan dalam
function adalah rnorm(\(n,\mu,\sigma\))
dengan \(n\) banyaknya data yang ingin
dibangkitkan, \(\mu\) rata-rata data
respon dan \(\sigma\) simpangan baku
data respon.
2.3 Membuat Vektor Perlakuan
> f1=rep(1,10)
> f2=rep(2,5)
> f3=rep(3,10)
> f4=rep(4,5)
> f5=rep(5,10)
> perlakuan=as.factor(c(f1,f2,f3,f4,f5))Vektor perlakuan dibuat dengan menggunakan fungsi rep
untuk mereplikasi suatu bilangan sebanyak \(n\) kali. Argumen yang diisikan dalam
function adalah rep(\(x,n\)) dengan
\(x\) adalah bilangan atau huruf yang
melambangkan suatu perlakuan dan \(n\)
adalah banyaknya ulangan pada perlakuan tersebut.
Selanjutnya menggunakan fungsi as.factor agar bilangan yang
telah disusun terbaca sebagai faktor atau perlakuan.
2.4 Membuat Data Frame
> dataku=data.frame(perlakuan,respon)Vektor yang berisi perlakuan dan respon dimasukkan kedalam data frame
menggunakan function data.frame(). Argumen yang diisikan
dalam function adalah data.frame(nama-nama vektor yang ingin
dimasukkan).
2.5 Pembentukan Boxplot
> boxplot(respon~perlakuan, dataku, main="Boxplot respon setiap perlakuan",
+ xlab="perlakuan",ylab="respon")
Sebagai screening awal dari proses analisis data, dilakukan pembentukan
boxplot masing-masing perlakuan untuk melihat sebaran data dan
pembandingan masing-masing perlakuan secara grafis.
Function yang digunakan adalah boxplot(). Argumen yang
dimasukkan dalam function adalah boxplot(formula, data, main, xlab,
ylab).
2.6 Analisis Ragam
> anova=aov(respon~perlakuan,dataku)
> summary(anova)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
perlakuan 4 82.8 20.69 0.861 0.497
Residuals 35 840.9 24.03 Analisis ragam dilakukan dengan menggunakan built in function
aov. Argumen yang dimasukkan dalam function adalah
aov(formula,data).
Untuk menampilkan hasil analisis secara lengkap digunakan function
summary().
2.7 Diagnostik Sisaan
2.7.1 Diagnostic Plot
> plot(anova,1)
> plot(anova,2)
> plot(anova,3)
Sebelum pengujian asumsi, dilakukan screening awal dengan diagnostic
plot. Function yang digunakan adalah plot(). Argumen
yang dimasukkan dalam function adalah plot(objek kelas lm atau
anova,which). Berikut adalah kode yang dimasukkan dalam argumen
which beserta plot yang akan ditampilkan :
1. Plot residual vs fitted
2. QQ plot
3. Plot scale-location
2.8 Uji Asumsi
Terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu :
1. Asumsi normalitas sisaan
2. Asumsi homogenitas sisaan
2.8.1 Uji Normalitas Sisaan
> sisaan=residuals(anova)
> jarque.bera.test(sisaan)
Jarque Bera Test
data: sisaan
X-squared = 4.0079, df = 2, p-value = 0.1348
> shapiro.test(sisaan)
Shapiro-Wilk normality test
data: sisaan
W = 0.92401, p-value = 0.01032Terlebih dahulu dilakukan pendefinisian sisaan menggunakan function
residuals(). Selanjutnya dilakukan uji normalitas sisaan
menggunakan function jarque.bera.test() dan
shapiro.test(). Argumen yang dimasukkan dalam function
adalah jarque.bera.test(sisaan) dan shapiro.test(sisaan).
2.8.2 Uji Homogenitas Sisaan
> leveneTest(respon~perlakuan,dataku)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 4 0.5245 0.7184
35 Function yang digunakan dalam pengujian kehomogenan ragam sisaan
adalah leveneTest(). Argumen yang dimasukkan dalam function
adalah leveneTest(formula,data).
2.9 Uji Lanjut
> bnt=LSD.test(anova,"perlakuan",alpha=0.05)
> bnt$groups
respon groups
4 14.54856 a
3 12.44775 a
2 11.77428 a
5 10.37313 a
1 10.29850 a
> bnt$means
respon std r LCL UCL Min Max Q25 Q50
1 10.29850 3.815136 10 7.151776 13.44523 4.939755 16.86026 7.872911 9.680662
2 11.77428 3.244087 5 7.324137 16.22443 8.758097 17.23483 10.079290 11.282034
3 12.44775 5.722704 10 9.301027 15.59448 4.409633 22.29039 8.809367 11.520993
4 14.54856 6.488175 5 10.098418 18.99871 8.516195 25.46967 11.158580 13.564067
5 10.37313 4.768920 10 7.226401 13.51986 3.674694 18.57532 7.341139 9.600827
Q75
1 11.51204
2 11.51715
3 14.26805
4 14.03430
5 11.89005
> plot(bnt)
> TukeyHSD(anova, conf.level = 0.95)
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = respon ~ perlakuan, data = dataku)
$perlakuan
diff lwr upr p adj
2-1 1.47577847 -6.242982 9.194539 0.9812626
3-1 2.14925129 -4.153090 8.451593 0.8622084
4-1 4.25005951 -3.468701 11.968820 0.5177412
5-1 0.07462564 -6.227716 6.376967 0.9999997
3-2 0.67347282 -7.045287 8.392233 0.9990820
4-2 2.77428104 -6.138575 11.687137 0.8968536
5-2 -1.40115282 -9.119913 6.317607 0.9845447
4-3 2.10080822 -5.617952 9.819568 0.9339880
5-3 -2.07462564 -8.376967 4.227716 0.8766360
5-4 -4.17543387 -11.894194 3.543326 0.5349299
> plot(TukeyHSD(anova))
Uji lanjutan menggunakan function LSD.test() dan
TukeyHSD(). Argumen yang diisikan dalam function adalah
LSD.test(objek kelas lm atau anova, vektor perlakuan,alpha) dan
TukeyHSD(objek kelas lm atau anova, confident level).
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Analisis grafis atau boxplot
Secara visual terlihat bahwa tidak terdapat perbedaan signifikan pada
rata - rata respon tiap perlakuan.
3.2 Anova
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
perlakuan 4 82.8 20.69 0.861 0.497
Residuals 35 840.9 24.03 Dengan nilai p yang besar, maka tidak terdapat bukti bahwa terdapat paling sedikit satu perlakuan yang secara signifikan memiliki rata-rata respon yang berbeda. Keabsahan hasil ini masih perlu dipastikan melalui pemeriksaan asumsi.
3.3 Diagnostik sisaan
Garis merah yang menghubungkan pusat dari 5 kelompok sisaan masih
terlihat datar, model sudah tepat.
Titik-titik berada tidak jauh dari garis dengan sudut 45 derajat antara
sumbu x dan Y di kuadran 1, secara grafis tidak ada indikasi pelanggaran
normalitas.
Garis merah yang menghubungkan pusat dari 4 kelompok akar sisaan yang
dibakukan, cenderung membentuk kurva cosinus, walaupun tidak terlalu
ekstrim. Ada kecurigaan ketidaksamaan ragam.
3.4 Uji Asumsi
3.4.1 Uji Normalitas Sisaan
Jarque Bera Test
data: sisaan
X-squared = 4.0079, df = 2, p-value = 0.1348
Shapiro-Wilk normality test
data: sisaan
W = 0.92401, p-value = 0.01032Nilai p yang didapat dari uji jarque bera cukup besar, sehingga H0 tentang normalitas galat tidak dapat ditolak. Asumsi normalitas galat masih terpenuhi.
3.4.2 Uji Homogenitas Sisaan
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
Df F value Pr(>F)
group 4 0.5245 0.7184
35 Nilai p yang cukup besar, sehingga H0 tentang kesamaan ragam antar lokasi, tidak dapat ditolak. Asumsi kesamaan ragam antar lokasi masih terpenuhi.
3.5 Uji Lanjutan
respon groups
4 14.54856 a
3 12.44775 a
2 11.77428 a
5 10.37313 a
1 10.29850 a
respon std r LCL UCL Min Max Q25 Q50
1 10.29850 3.815136 10 7.151776 13.44523 4.939755 16.86026 7.872911 9.680662
2 11.77428 3.244087 5 7.324137 16.22443 8.758097 17.23483 10.079290 11.282034
3 12.44775 5.722704 10 9.301027 15.59448 4.409633 22.29039 8.809367 11.520993
4 14.54856 6.488175 5 10.098418 18.99871 8.516195 25.46967 11.158580 13.564067
5 10.37313 4.768920 10 7.226401 13.51986 3.674694 18.57532 7.341139 9.600827
Q75
1 11.51204
2 11.51715
3 14.26805
4 14.03430
5 11.89005
Respon di semua perlakuan sama secara rata-rata
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = respon ~ perlakuan, data = dataku)
$perlakuan
diff lwr upr p adj
2-1 1.47577847 -6.242982 9.194539 0.9812626
3-1 2.14925129 -4.153090 8.451593 0.8622084
4-1 4.25005951 -3.468701 11.968820 0.5177412
5-1 0.07462564 -6.227716 6.376967 0.9999997
3-2 0.67347282 -7.045287 8.392233 0.9990820
4-2 2.77428104 -6.138575 11.687137 0.8968536
5-2 -1.40115282 -9.119913 6.317607 0.9845447
4-3 2.10080822 -5.617952 9.819568 0.9339880
5-3 -2.07462564 -8.376967 4.227716 0.8766360
5-4 -4.17543387 -11.894194 3.543326 0.5349299Batas atas dan bawah berbeda tanda untuk semua pasangan perlakuan (memuat nol). Respon di semua perlakuan sama secara rata-rata.
Selang kepercayaan memuat nol untuk semua pasangan perlakuan. Respon di
semua perlakuan sama secara rata-rata.
4 DAFTAR PUSTAKA
Rahma Fitriani. 2022. Materi pembelajaran komputasi statistika : M9 Anova dalam R.