Aplikasi Rancangan Petak Terpisah (Split-plot) pada Data Percobaan Kekuatan Tarik Kertas

Gusti Ayu Putu Rawi Rotchildi

22 Mei 2022

1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Ketika melakukan percobaan dengan dua faktor, terkadang kombinasi perlakuan belum tentu dapat diacak sempurna terhadap unit percobaan entah karena keterbatasan lahan, biaya, atau waktu.

Sebagai ilustrasi sederhana, studi tentang pengaruh dua metode irigasi (faktor A) dan dua pupuk (faktor B) terhadap hasil panen. Terdapat empat lahan yang tersedia sebagai unit percobaan. Dalam percobaan ini, tidak mungkin untuk menerapkan metode irigasi yang berbeda (faktor A) di area yang lebih kecil dari lahan, namun jenis pupuk yang berbeda (faktor B) dapat diterapkan di area yang relatif kecil.

Contoh kasus lain adalah ketika seorang peneliti menginginkan ketepatan yang lebih tinggi pada salah satu faktor dibandingkan faktor lainnya. Dalam kasus inilah Rancangan Petak Terpisah atau Split-plot paling baik digunakan.

1.2 Split-plot atau Rancangan Petak Terpisah

Percobaan petak terbagi atau Split-plot adalah rancangan percobaan yang melibatkan dua faktor, yaitu faktor yang sulit dilakukan pengacakan dan faktor yang lebih mudah dilakukan pengacakan. Sehingga terdapat perbedaan tingkat keragaman.

Sebenarnya Split-plot merupakan percobaan faktorial namun terdapat perbedaan pada penempatan perlakuan ke dalam satuan-satuan percobaan dan pengacakan dilakukan bertahap. Dua faktor dalam desain ini disebut Petak utama dan Anak petak (Whole plot dan Subplot).

1.2.1 Petak utama (Whole plot)

Petak satuan percobaan yang ukurannya lebih besar dan didalamnya terdapat anak-anak petak dinamakan dengan Petak Utama. Petak utama memiliki tingkat keragaman yang lebih rendah.

1.2.2 Anak petak (Subplot)

Petak satuan percobaan kedua yang berukuran lebih kecil dan ditempatkan secara acak pada Petak Utama dinamakan Anak Petak (Sub Plot). Pengaruh Anak petak lebih diutamakan maka memiliki tingkat ketelitian lebih tinggi dan tingkat keragaman yang lebih tinggi pula.

1.3 Keunggulan desain Split-plot

Ketika Split-plot digunakan pada kondisi yang tepat dan cara yang tepat, desain ini akan memberikan kelebihan seperti :

  • Biaya lebih murah dan lebih cepat
    Melakukan eksperimen dengan Split-plot tentu akan jauh lebih hemat daripada menggunakan rancangan lain karena sampel yang dibutuhkan lebih sedikit. Ketika sampel yang dibutuhkan lebih sedikit, otomatis waktu yang dibutuhkan untuk mengumpulkan data tersebut juga jauh lebih cepat.

  • Meningkatkan efisiensi
    Rancangan percobaan Split-plot seringkali lebih efisien secara statistik dan presisi.

  • Lebih valid
    Percobaan yang sudah direncanakan dan dipantau dengan cermat memastikan validitas eksperimen dan analisis berikutnya.

1.4 Kelemahan desain Split-plot

Terdapat pertimbangan lain dalam memilih desain Split-plot, sehingga tidak semua skenario percobaan dapat menerapkan rancangan percobaan ini. Beberapa kelemahan Split-plot antara lain :

  • Pengaruh utama dari petak utama memiliki tingkat ketelitian lebih rendah dibandingkan pengaruh interaksi dan pengaruh anak petaknya sehingga mengorbankan ketelitian petak utama.

  • Analisis lebih kompleks dibandingkan rancangan faktorial dan interpretasi cenderung lebih sulit.

1.5 Model linier Split-plot

Linear model untuk Split-plot desain menurut Montgomery :

\[ \\Y_{ijk} = {\mu + \tau_i + \beta_j + (\tau\beta)_{ij} + \gamma_k + (\tau\gamma)_{ik} + (\beta\gamma)_{jk} + (\tau\beta\gamma)_{ijk} + \epsilon_{ijk}} \\i = 1, 2, \dots, r \\j = 1, 2, \dots, a \\k = 1, 2, \dots, b \]

1.6 Data

Data yang digunakan adalah data Percobaan Kekuatan Tarik Kertas yang diambil dari buku Design and analysis of experiments oleh Montgomery.
Data yang digunakan

2 Source Code

2.1 Library yang dibutuhkan

Library yang digunakan dalam analisis :

> library(tidyverse)
> library(agricolae)
> library(lme4)
> library(multcomp)

2.2 Meng-input Data

> library(readxl)
> Pulp = read_excel("C:/Users/gusti/OneDrive/Desktop/Semester 6/Komputasi Statistika/Praktikum/Tugas Akhir/Pulp.xlsx")
> Pulp$Preparation = as.factor(Pulp$Preparation)
> Pulp$Temperature = as.factor(Pulp$Temperature)
> attach(Pulp)
> kable(head(Pulp, 6), caption = "Data Kekuatan Tarik Kertas")
Data Kekuatan Tarik Kertas
Block Preparation Temperature Strength
1 1 200F 30
1 1 225F 35
1 1 250F 37
1 1 275F 36
1 2 200F 34
1 2 225F 41

2.3 Plot interaksi

Identifikasi data dengan melihat plot interaksi untuk semua blok dapat menggunakan fungsi ggplot2.

> library(ggplot2)
> ggplot(aes(x = Temperature, 
+            y = Strength, 
+            group = Preparation, 
+            colour = Preparation), 
+        data = Pulp) + geom_line() + facet_wrap(~ Block) + theme_bw()

_____________________________________________Gambar 1_____________________________________________________

2.4 Analisis Split-plot

Pengujian hipotesis

  • Pengaruh petak utama \[ H_0 : \beta_1 =\beta_2 =\beta_3=0\\\ vs \\ H_1 : \beta_j ≠ 0 \]

  • Pengaruh anak petak \[ H_0 : \gamma_1 =\gamma_2 =\gamma_3=\gamma_4=0\\\ vs \\ H_1 : \gamma_k ≠ 0 \]

  • Pengaruh interaksi \[ H_0 : \beta\gamma_{11} =\beta\gamma_{12} =\dots=\beta\gamma_{34}=0\\\ vs \\ H_1 : \beta\gamma_{jk} ≠ 0 \]

> #ANOVA split-plot
> attach(Pulp)
> modelpulp = sp.plot(block = Block,         #Ulangan
+                     pplot = Preparation,   #Petak utama
+                     splot = Temperature,   #Anak petak
+                     Y     = Strength)

ANALYSIS SPLIT PLOT:  Strength 
Class level information

Preparation     :  1 2 3 
Temperature     :  200F 225F 250F 275F 
Block   :  1 2 3 

Number of observations:  36 

Analysis of Variance Table

Response: Strength
                        Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
Block                    2  77.56  38.778     NaN       NaN    
Preparation              2 128.39  64.194  7.0781   0.04854 *  
Ea                       4  36.28   9.069     NaN       NaN    
Temperature              3 434.08 144.694 36.4266 7.449e-08 ***
Preparation:Temperature  6  75.17  12.528  3.1538   0.02711 *  
Eb                      18  71.50   3.972     NaN       NaN    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

cv(a) = 8.4 %, cv(b) = 5.5 %, Mean = 36.02778
Analysis of Variance Split-plot Design
Sumber Keragaman db JK KT Fhitung p - value
Block 2 77.56 38.78
Preparation 2 128.39 64.19 7.078 0.049
Galat petak utama 4 36.28 9.069
Temperature 3 434.08 144.69 36.43 0.000
Interaksi 6 75.17 12.53 3.154 0.027
Galat anak petak 18 71.5 3.972

2.5 Uji Lanjut

Hasil ANOVA diatas menunjukkan bahwa baik petak utama, anak petak, maupun interaksi berpengaruh signifikan. Selanjutnya akan digunakan Uji Beda Nyata Terkecil (BNT) atau Least Significant Difference (LSD).

2.5.1 Derajat bebas dan jumlah kuadrat galat

> #Mendapatkan derajat bebas galat petak utama
> Prep_df = modelpulp$gl.a
> Prep_df
[1] 4
> #Mendapatkan derajat bebas galat anak petak
> Temp_df = modelpulp$gl.b
> Temp_df
[1] 18
> #Mendapatkan Jumlah Kuadrat Galat petak utama
> Prep_JKG = modelpulp$Ea
> Prep_JKG
[1] 9.069444
> #Mendapatkan Jumlah Kuadrat Galat anak petak
> Temp_JKG = modelpulp$Eb
> Temp_JKG
[1] 3.972222

2.5.2 Uji BNT (LSD Test) pada petak utama

> BNT_prep <- LSD.test(y = Strength, 
+                trt = Preparation,
+                DFerror = Prep_df, 
+                MSerror = Prep_JKG,
+                console = TRUE)

Study: Strength ~ Preparation

LSD t Test for Strength 

Mean Square Error:  9.069444 

Preparation,  means and individual ( 95 %) CI

  Strength      std  r      LCL      UCL Min Max
1 35.66667 4.519319 12 33.25294 38.08040  28  41
2 38.50000 3.825750 12 36.08627 40.91373  31  44
3 33.91667 5.299371 12 31.50294 36.33040  26  45

Alpha: 0.05 ; DF Error: 4
Critical Value of t: 2.776445 

least Significant Difference: 3.413531 

Treatments with the same letter are not significantly different.

  Strength groups
2 38.50000      a
1 35.66667     ab
3 33.91667      b

2.5.2.1 Plot Uji BNT pada Petak Utama Preparation

> plot(BNT_prep, 
+      xlab = "Preparation",
+      ylab = "Strength",
+      las = 1, 
+      variation = "IQR")

_____________________________________________Gambar 2_____________________________________________________

2.5.3 Uji BNT (LSD Test) pada anak petak

> BNT_temp <- LSD.test(y = Strength, 
+                trt = Temperature,
+                DFerror = Temp_df, 
+                MSerror = Temp_JKG,
+                console = TRUE)

Study: Strength ~ Temperature

LSD t Test for Strength 

Mean Square Error:  3.972222 

Temperature,  means and individual ( 95 %) CI

     Strength      std r      LCL      UCL Min Max
200F 31.22222 2.223611 9 29.82648 32.61797  28  35
225F 34.55556 4.746344 9 33.15981 35.95130  26  41
250F 37.88889 3.407508 9 36.49315 39.28463  32  42
275F 40.44444 3.086710 9 39.04870 41.84019  36  45

Alpha: 0.05 ; DF Error: 18
Critical Value of t: 2.100922 

least Significant Difference: 1.973879 

Treatments with the same letter are not significantly different.

     Strength groups
275F 40.44444      a
250F 37.88889      b
225F 34.55556      c
200F 31.22222      d

2.5.3.1 Plot Uji BNT pada Anak Petak Temperature

> plot(BNT_temp, 
+      xlab = "Temperature",
+      ylab = "Strength",
+      las = 1, 
+      variation = "IQR")

_____________________________________________Gambar 3_____________________________________________________

2.5.4 Uji BNT (LSD Test) pada faktor interaksi

> BNT_interaksi <- LSD.test(y = Strength, 
+                trt = Preparation:Temperature,
+                DFerror = Temp_df, 
+                MSerror = Temp_JKG,
+                console = TRUE)

Study: Strength ~ Preparation:Temperature

LSD t Test for Strength 

Mean Square Error:  3.972222 

Preparation:Temperature,  means and individual ( 95 %) CI

       Strength      std r      LCL      UCL Min Max
1:200F 29.66667 1.527525 3 27.24917 32.08416  28  31
1:225F 34.66667 2.516611 3 32.24917 37.08416  32  37
1:250F 39.33333 2.081666 3 36.91584 41.75083  37  41
1:275F 39.00000 2.645751 3 36.58250 41.41750  36  41
2:200F 33.33333 2.081666 3 30.91584 35.75083  31  35
2:225F 39.00000 2.645751 3 36.58250 41.41750  36  41
2:250F 39.66667 2.081666 3 37.24917 42.08416  38  42
2:275F 42.00000 2.000000 3 39.58250 44.41750  40  44
3:200F 30.66667 1.527525 3 28.24917 33.08416  29  32
3:225F 30.00000 4.000000 3 27.58250 32.41750  26  34
3:250F 34.66667 3.785939 3 32.24917 37.08416  32  39
3:275F 40.33333 4.509250 3 37.91584 42.75083  36  45

Alpha: 0.05 ; DF Error: 18
Critical Value of t: 2.100922 

least Significant Difference: 3.418858 

Treatments with the same letter are not significantly different.

       Strength groups
2:275F 42.00000      a
3:275F 40.33333      a
2:250F 39.66667      a
1:250F 39.33333      a
1:275F 39.00000      a
2:225F 39.00000      a
1:225F 34.66667      b
3:250F 34.66667      b
2:200F 33.33333     bc
3:200F 30.66667     cd
3:225F 30.00000     cd
1:200F 29.66667      d

2.5.4.1 Plot Uji BNT pada interaksi Preparation dan Temperature

> plot(BNT_interaksi, 
+      xlab = "Prep:Temp",
+      ylab = "Strength",
+      las = 1, 
+      variation = "IQR")

_____________________________________________Gambar 4_____________________________________________________

3 HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Deskripsi Data

Data merupakan Percobaan Kekuatan Tarik Kertas yang diambil dari buku Design and analysis of experiments oleh Montgomery, tabel 14.16. Dalam percobaan ini, dilakukan tiga kali pengulangan, sedangkan untuk perlakuan adalah tiga metode Preparation (sebagai petak utama) dan empat Temperature (sebagai anak petak). Maka total amatan sebanyak 36.

3.2 Identifikasi Plot Interaksi

Pada plot interaksi Gambar 1, dapat lebih mudah membandingkan interaksi dan pengulangan. Dari ketiga plot, tidak tampak banyak perbedaan sehingga dapat disimpukan bahwa pengulangan tidak berpengaruh signifikan terhadap kekuatan daya tarik kertas. Didalam individu plot, terlihat ketiga garis cenderung naik yang berarti semakin tinggi suhu, semakin kuat pula kertas yang dihasilkan terlepas dari perbedaan metode preparation. Sedangkan pada individu garis pada ketiga plot, terlihat bahwa garis hijau atau metode preparation 2 lebih tinggi, sehinggu kemungkinan metode 2 lah yang akan menghasilkan kertas terkuat. Plot ini hanya untuk menggambarkan secara umum bentuk data, kesimpulan statistik akan diperoleh setelah Uji ANOVA Split-plot dilakukan.

3.3 Hasil Analisis Split-plot

Dari output ANOVA didapatkan kesimpulan sebagai berikut :

  • Pada faktor Preparation, didapatkan p-value 0.04854 < \(\alpha\)(0.05) maka pengaruh petak utama signifikan.

  • Pada faktor Temperature, didapatkan p-value sangat kecil 0.00 < \(\alpha\)(0.05), maka pengaruh anak petak signifikan.

  • Pada faktor interaksi, didapatkan p-value 0.02711 < \(\alpha\)(0.05) maka interaksi berpengaruh signifikan terhadap kekuatan kertas.

Karena ketiga faktor signifikan, maka diperlukan uji lanjutan untuk menentukan metode Preparation, suhu, dan interaksi mana yang berbeda dan mengahsilkan kertas dengan kekuatan tertinggi.

3.4 Uji lanjut BNT (LSD Test)

3.4.1 Uji BNT Petak Utama

Dari uji BNT pada faktor Preparation, didapatkan hasil bahwa hasil kekuatan kertas dengan metode Preparation 1 dan 2 adalah sama, begitu juga dengan metode Preparation 1 dan 3. Namun metode Preparation 2 dan 3 berbeda signifikan. Secara umum, metode yang menghasilkan kertas terkuat adalah metode Preparation 3. Perbedaan ketiga metode dapat lebih jelas dilihat dari plot gambar 2.

3.4.2 Uji BNT Anak Petak

Dari uji BNT pada faktor Temperature, dapat disimpulkan bahwa perbedaan Temperature menghasilkan kekuatan kertas berbeda. Seluruh temperature berbeda satu sama lain dan temperature yang memberikan hasil kekuatan kertas tertinggi adalah pada suhu 275°F dan kekuatan kertas terendah pada suhu 200°F. Perbedaan keempat suhu dapat terlihat lebih jelas perbedaannya pada plot gamabr 3.

3.4.3 Uji BNT Interaksi

Hasil uji BNT pada faktor interaksi menunjukkan bahwa kombinasi salah satu metode Preparation dan suhu 275°F, metode Preparation 1&2 dengan suhu 250°F, dan metode Preparation 2 dengan suhu 225°F memberikan hasil yang sama. Dapat disimpulkan bahwa ke-enam kombinasi Preparation dan Temperature inilah yang memberikan kekuatan kertas tertinggi. Ke-12 kombinasi perlakuan dapat lebih mudah dipahami melalui plot diatas.

3.5 Kesimpulan

Menggunakan rancangan percobaan petak terbagi atau Split-plot pada data percobaan kekuatan kertas dengan faktor metode Preparation sebagai petak utama dan faktor Temperature sebagai anak petak memberikan hasil bahwa kedua faktor tersebut beserta interaksinya signifikan mempengaruhi kekuatan kertas pada taraf nyata \(\alpha\)(0.05). Dilakukan uji BNT untuk mengetahui kombinasi faktor terbaik dan didapatkan hasil bahwa metode Preparation 2 dan Temperature 275°F memberikan hasil terbaik.

4 DAFTAR PUSTAKA