1 Bentuk Model Distributed Lag pada Kasus Konsumsi dan Pendapatan

Pemodelan kasus Angka Konsumsi (CE) terhadap Angka Pendapatan (PDI). Data disajikan dengan deret waktu secara triwulan (Kuartal) dari Tahun 1985 Kuartal 1 hingga tahun Tahun 1994 Kuartal 2.

df <- read.xlsx("cons_usDinamis.xlsx")

df$obs <- df %>%
  pull(obs) %>%
  as.yearqtr()

headtail(df) %>%
  kable(digits = 3,
        align = "c",
        col.names = c("Waktu", "Konsumsi (CE)", "Pendapatan (PDI)"),
        caption = "Dataset Konsumsi dan Pendapatan Tahun 1985-1994")

plot_PDI <- ggplot(data = df, aes(x = obs, y = PDI)) +
  geom_line(size = 1, color = "dark green") +
  stat_peaks(colour = "dark red") +
  stat_peaks(geom = "text", colour = "dark red", vjust = 1.2,
               span = NULL) +
  labs(title = "Pendapatan", x = "Waktu", y = "PDI")

plot_CE <- ggplot(data = df, aes(x = obs, y = CE)) +
  geom_line(size = 1, color = "dark blue") +
  stat_peaks(colour = "dark red") +
  stat_peaks(geom = "text", colour = "dark red", hjust = -0.1,
               span = NULL) +
  labs(title = "Konsumsi", x = "Waktu", y = "PDI")

ggarrange(plot_PDI, plot_CE,
          nrow = 2,
          align = "hv", 
          labels = c("(1)", "(2)"))

Berdasarkan grafik (1) terlihat bahwa terdapat trend positif dari pendapatan tiap kuartal, dimana nilainya cenderung meningkat seiring bertambahnya waktu hingga tahun 1988. Trend ini juga terlihat pada grafik (2), dimana nilai konsumsi cenderung naik seiring waktu hingga tahun 1992.
Setelah tahun 1988, nilai pendapatan cenderung menurun, begitu pula dengan nilai konsumsi yang menunjukkan trend negatif sejak tahun 1992
Dari kasus tersebut maka dapat diperkirakan adanya suatu efek Pendapatan terhadap Konsumsi namun tidak pada waktu yang sama. Efek dari meningkatnya Pendapatan terhadap Konsumsi akan terasa pada beberapa waktu periode berikutnya. Dengan adanya keadaan tersebut, maka dibutuhkan suatu pemodelan yang melibatkan pengaruh waktu serta efek lag pada veriabel Konsumsi sebagai variabel prediktor.

Distributed Lag Model adalah suatu model Dalam analisis regresi yang melibatkan data deret waktu, dimana model ini memasukan tidak hanya nilai variabel prediktor saat ini \((X_t)\), tetapi juga nilai masa lalu (lag) \((X_{t-p})\). Secara umum bentuk dari Distributed Lag Model adalah sebagai berikut:

\[ Y_t = \alpha + \beta_0X_t + \beta_1X_{t-1} + \dots + \beta_pX_{t-p} \tag{1} \] Pada persamaan \((1)\) memiliki permasalahan adanya hubungan linier pada variabel \(X\) dengan lag \(X\), mengingat adanya asumsi autokorelasi pada model time series. Sehingga, pada model ini terdapat multikolinieritas yang akan mengakibatkan besarnya nilai standar error serta pendugaan parameter menjadi tidak bersifat efisien.
Selain permasalahan asumsi multikolinieritas, terdapat permasalahan lain, yaitu tidak adanya informasi pasti seberapa banyak lag yang dibutuhkan. semakin banyak lag yang digunakan, akan mengurangi data yang berdampak pada berkurangnya informasi.

Untuk mengatasi kedua masalah tersebut, perlu dilakukan suatu metode transformasi, yaitu Koyck Transformation. metode ini memanfaatkan transformasi geometrik, pada setiap penduga parameternya, dengan persamaan sebagai berikut:

\[ \begin{aligned} &\beta_i = \beta_0\lambda^i\\ \textrm{dimana: } &0\leq\lambda\leq1; i=1,2,3,\dots \end{aligned} \tag{2} \]

Sehingga persamaan (1) diubah menjadi:

\[ Y_t = \alpha + (\beta_0)X_t + (\beta_0\lambda^1)X_{t-1} + (\beta_0\lambda^2)X_{t-2} + \dots + u_t \tag{3} \]

Lalu membentuk persamaan baru sebagai berikut:

\[ Y_{t-1} = \alpha + (\beta_0)X_{t-1} + (\beta_0\lambda^1)X_{t-2} + (\beta_0\lambda^2)X_{t-3} + \dots + u_{t-1} \tag{4}\\ \]

\[ \begin{aligned} \lambda Y_{t-1} &= \lambda(\alpha + (\beta_0)X_{t-1} + (\beta_0\lambda^1)X_{t-2} + (\beta_0\lambda^2)X_{t-3} + \dots + u_{t-1})\\ &= \alpha\lambda + (\beta_0\lambda)X_{t-1} + (\beta_0\lambda^2)X_{t-2} + (\beta_0\lambda^3)X_{t-3} + \dots + \lambda u_{t-1} \end{aligned} \tag{5} \]

dengan mengeleminasi suku-suku yang sama dari persamaan (3) dan (5) didapatkan persamaan sebagai berikut:

\[ Y_t = \alpha (1 - \lambda) + \beta_0X_t + \lambda Y_{t-1} + v_t \tag{6} \]

df$CE_1 <- lag(df$CE)
model1 <- lm(CE ~ PDI + CE_1, data = df)
coeftest(model1)

t test of coefficients:

              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -10.741967   9.338104 -1.1503  0.25803    
PDI          27.186180  10.275342  2.6458  0.01225 *  
CE_1          0.849750   0.044501 19.0949  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

alpha_0 <- coef(model1)[[1]]
beta_0  <- coef(model1)[[2]]
lambda  <- coef(model1)[[3]]

alpha   <- alpha_0/(1-lambda)
beta    <- beta_0/(1-lambda)

GC <- c(alpha,beta,lambda) %>% round(3)

Berdasarkan output, model yang terbentuk adalah sebagai berikut: \[ \widehat{CE_t} = -\underset{(9.338)}{10.742} + \underset{(10.275)}{27.186}PDI_t + \underset{(0.045)}{0.849}CE_{t-1} \] serta dapat dijabarkan menjadi: \[ \begin{aligned} \widehat{CE_t} &= -71.49 + 27.18PDI_t + 27.18\times0.84PDI_{t-1} + 27.18\times0.84^2PDI_{t-2} + 27.18\times0.84^3PDI_{t-3} + \dots\\ &= -71.49 + 27.18PDI_t + 22.83PDI_{t-1} + 19.18PDI_{t-2} + 16.11PDI_{t-3} + \dots \end{aligned} \]

2 Pengujian Asumsi Model

df$res <- c(NA, residuals(model1))
df$CE.fit <- c(NA, fitted(model1))

qq_sisaan <- ggplot(data = df[-1,], aes(sample = res)) +
  labs(title = "Normal Probability Plot", y = "Sisaan", x = "") + 
  stat_qq(data = df, color = "blue") +
  stat_qq_line(color = "red", size = 1, lty = 2, alpha = 0.4)

hist_sisaan <- ggplot(data = df[-1,], aes(x = res)) +
  labs(title = "Density of Redisuals",
       x = "Sisaan",
       y = "Frekuensi") +
  geom_histogram(aes(x = res, y = ..density..), bins = 7,
                 fill = "grey", colour = "black") +
  geom_density(color = "blue", size = 1)

Ch_Sq <- pearson.test(df$res)
AD    <- ad.test(df$res)
KS    <- lillie.test(df$res)

ggarrange(qq_sisaan, hist_sisaan,
          nrow = 2,
          align = "hv", 
          labels = c("(a)", "(b)"))

scat_vt_CEt <- ggplot(df, aes(x = CE.fit, y = res^2)) +
  geom_point(shape = 3) +
  geom_smooth(method = "loess", formula = y~x, se = T)
scat_vt_CEt

scat_X <- ggplot(df[-1,], aes(x = PDI, y = CE_1)) +
  geom_point(shape = 2) +
  geom_smooth(method = lm, formula = y~x, se = F)
scat_X

vt.vt1   <- data.frame(vt = df$res[2:38], vt1 = df$res[1:37])
scat_vt_vt1 <- ggplot(vt.vt1, aes(x = vt, y = vt1)) +
  labs(title = "Scatter Plot Sisaan dan lag-sisaan", xlab = "sisaan",
       ylab = "lag_sisaan") +
  geom_point(shape = 4) +
  geom_vline(aes(xintercept = 0)) +
  geom_hline(aes(yintercept = 0))
scat_vt_vt1

3 Kesimpulan: