1. Um fabricante afirma que seus pneus radiais suportam em média uma quilometragem superior a 40.000 km. Uma prefeitura compra os pneus desse fabricante, mas existe uma dúvida no seu setor de compras: “A afirmação do fabricante está correta?”. Para testá-la, a prefeitura selecionou uma amostra de 49 pneus, e os testes apontaram uma média de 43.000 km. Sabe-se que a quilometragem de todos os pneus tem desvio padrão de 6.500 km. Se o comprador (gestor público) testar essa afirmação ao nível de significância de 5%, qual será sua conclusão?
Resolução: Sempre, em um exercício de tomada de
decisão, precisamos formular um teste de hipótese, seguindo os passos
apresentados:
1) Formular as hipóteses.
2) Definir o nível de significância.
3) Definir a distribuição amostral a ser utilizada.
4) Definir os limites da região de rejeição (gráfico).
5) Calcular a estatística da distribuição escolhida a partir
dos valores amostrais obtidos e tomar a decisão.
Vamos primeiramente retirar os dados do problema:
\(n = 49; \bar{x}= 43.000\) e \(\sigma = 6.500\)
Vamos estabelecer as hipóteses com base no exercício:
observação
segundo o livro,quando temos a informação superior a ou inferior a temos que “inverter a hipótese \(H_0\) ,logo,temos:
\(H_o: m \leq 40.000\) (situação com
quilometragem menor a que o fabricante afirmou)
\(H_1: m > 40.000\) (afirmação do
fabricante)
Caso tenhamos uma média superior a 40.000 pessoas, temos que o fabricantes está correto . Mas caso \(H_0\) não for rejeitada, então temos que o fabricantes está errado .
\(\alpha = 0,05\)
A estatística escolhida é Z. Substituindo os valores da amostra e o da
hipótese \(H_0\) na estatística de Z,
teremos:
Atenção
como nosso n foi maior que 30 vamos utilizar a
estatística z.
Logo temos:
\[z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} =\frac{43000-40000}{\frac{6500}{\sqrt{49}}}=3,23\]
para encontrar o valor da distribuição normal vamos usar a formula:
\[z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma} =\frac{43000-40000}{6500}=0,461\] 0,461
agora vamos utilizar a tabela da normal,disponível em https://professorguru.com.br/tabela-normal.html
após verificarmos a localização da probabilidade 0,461 o valor mais próximo encontrado foi (1,77),logo, \(Z_{0,05}=1,77\)
de acordo com os resultados temos :
Conclusão: como o valor \(Z_{calculado}> Z_{tabelado}\) rejeita-se a hipótese \(H_0\) a 5% de significância ,logo,os pneus de fato pussuem uma resistência média superior a 40.000 km.
2.Duas técnicas de cobrança de impostos são aplicadas em dois grupos de funcionários do setor de cobrança de uma prefeitura. A técnica A foi aplicada em um grupo de 12 funcionários e resultou em uma efetivação média de pagamento de 76% e uma variância de 50%. Já a técnica B foi aplicada em um grupo de 15 funcionários e resultou em uma efetivação média de 68% e uma variância de 75%. Considerando as variâncias estatisticamente iguais e com uma significância de 0,05, verifique se as efetivações de pagamento são estatisticamente iguais.
Resolução:
teste de hipoteses para duas médias
queremos testar se duas médias são estatisticamente iguais ,logo
temos com hipóteses:
hipótese nula:
\(h_0: \mu_1=\mu_2\) (as efetivações
dos pagamentos são iguais)
hipótese alternativa:
\(h_1:\mu_1 \neq \mu_2\)(as efetivações
dos pagamentos diferem entre si)
primeiramente vamos definir cada parâmetro
\(n_1 = 12\); \(n_2 = 15\); \(\bar{x_1}= 76\) ; \(\bar{x_2}= 68\) ; \(s_1^2 = 50\); ; \(s_2^2 = 75\) e \(\alpha = 0,05\)
\(S_p\): desvio ponderado pelos graus de liberdade,ou seja,calculamos um novo desvio padrão cujo fator de ponderação corresponde ao grau de liberdade de cada amostra.
Para você encontrar o valor tabelado que limita as regiões de
aceitação e de rejeição na tabela t de Student, o número de graus de
liberdade (v) a ser usado na tabela será dado por: \(v = n_1 + n_2 –2\)
Onde: n1 e n2 correspondem aos tamanhos de amostras utilizados.
como estamos querendo comparar se m1 e m2 são iguais ou seja \(\mu_1-\mu_2=0\),
\(\mu_1-\mu_2\) recebe
0, mas se nos tivéssemos outra hipótese,nos poderiamos
ter outro valor,mas como estamos querendo comparar se as duas médias são
iguais temos: \(\mu_1-\mu_2=0\)
vale ressaltar que o calculo do \(S_p\) desvio ponderado é dado pela formula
\[S_p=\sqrt{\frac{(n_a-1).s^2_a-(n_b-1).s_b^2}{{n_a+n_b-2}}}\] Substituindo:
\[S_p=\sqrt{\frac{(12-1).50+ (15-1).75}{{12+15-2}}}=\sqrt{\frac{(11).50+ (14).75}{{25}}}=\sqrt{\frac{550+ 1050}{{25}}}=\sqrt{64}=8\]
Agora que encontramos o valor de \(S_p\) vamos substituir na formula abaixo
\[t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}} =\frac{(76-68)-(0)}{8{\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{15}}}}=\frac{8}{8{\sqrt{\frac{5+4}{60}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{9}{60}}}}=2,58\]
\(t_{0,025}=2,060\)(resultado do livro)
agora devemos comparar o nosso valor calculado com o valor tabelado da t student ,caso o valor do \(t_{calculado}\) for maior que o \(t_{tabelado}\) rejeitamos \(h_0\),caso contrário,não rejeitamos \(h_o\).
Usando a formula dos graus de liberdade ,temos:
\(v = n_1 + n_2 –2=12+15-2=25\)
logo,temos 25 graus de liberdade e o nosso \(\alpha=0,05\), dessa forma podemos observar na tabela disponível em https://professorguru.com.br/tabela-t-student.html
considerando 25 graus de liberdade e uma probabilidade de 5% checamos na tabela que o valor indicado é 2,060 (mesmo valor do livro)
Conclusão: como o valor calculado foi maior do que o tabelado (2,060), ele caiu na região de rejeição de \(H_0\) ,logo, as médias dos pagamentos diferem entre si a 5% de significância pelo teste T.
3. Um secretário de Educação de uma prefeitura deseja saber se há, no futuro, profissionais promissores em escolas de regiões pobres e de regiões ricas. Uma amostra de 16 estudantes de uma zona pobre resultou, em um teste específico, numa média de 107 pontos e num desvio padrão de 10 pontos. Já 14 estudantes de uma região rica apresentaram uma média de 112 pontos e um desvio padrão de 8 pontos. Você deve verificar se a média dos pontos dos dois grupos é diferente ou igual a fim de que o gestor possa saber se ele deve investir em qualquer uma das áreas ou se uma delas é mais promissora (primeiro verifique se as variâncias são estatisticamente iguais ou diferentes).
\(h_0\) se as hipóteses forem
iguais
\(h_0:\mu_0-\mu_1 =0\)
\(h_1:\mu_0-\mu_1 \neq 0\)
primeiramente vamos definir cada parâmetro
\(n_1 = 14\); \(n_2 = 16\); \(\bar{x_1}= 112\) ; \(\bar{x_2}= 107\) ; \(s_1^2 = 8^2\); ; \(s_2^2 = 10^2\) e \(\alpha = 0,05\)
como nossas amostras são independentes e pequenas, mas apresentam variâncias populacionais desconhecidas e estatisticamente desiguais(caso 3),usaremos a seguinte formula: \[t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}}\]
substituindo os valores na formula:
\[t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}} =\frac{(112-107)-(0)}{{\sqrt{\frac{8^2}{14}+\frac{10^2}{16}}}}=-1,52\]
Outra diferença está no cálculo do número de graus de liberdade, pois, nessa situação, utilizaremos uma aproximação que é dada pela expressão a seguir: \[v =gl= \frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}=\] substituindo os valores temos:
\[v =gl= \frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}= \frac{(\frac{8^2}{14}+\frac{10^2}{16})^2}{\frac{(\frac{8^2}{14})^2}{14-1}+\frac{(\frac{10^2}{16})^2}{16-1}}=\frac{(\frac{64}{14}+\frac{100}{16})^2}{\frac{(\frac{64}{14})^2}{14-1}+\frac{(\frac{100}{16})^2}{16-1}}= \frac{117,10}{\frac{20,90}{13}+\frac{39,06}{15}}= \frac{117,10}{1.60+2.6}=\frac{117.11}{4.21}=27,815\]
Se esse valor calculado apresentar valores decimais, você deve fazer o arredondamento para um número inteiro
\(v = 27,815 = 28\) (graus de liberdade obtidos pela aproximação).
e o nosso \(\alpha=0,05\), dessa
forma podemos observar na tabela disponível em https://professorguru.com.br/tabela-t-student.html
\(t_{0,025} = 2,048\) (com 28 gl)
Conclusão: como \(t_{calculado} < t_{tabelado}\) podemos concluir que não rejeita-se a hipótese nula a 5% de significância ,logo, as médias são estatisticamente iguais, o que indica que as duas regiões apresentam o mesmo potencial.