Alison Gamba - Carlos Gavis - Paula Guzmán.
1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80 % de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4
amigos son aficionados a la lectura:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela
2 personas?
P(X=2)
n1 = 4
p1 = 0.8
dbinom(2, n1, p1)
## [1] 0.1536
b. ¿Y como máximo 2?
P(X<=2)
pbinom(2, n1, p1)
## [1] 0.1808
2. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma
edad y
que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la
probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más
es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años,
vivan:
a) Las cinco personas.
P(X=5)
n2 = 5
p2= 2/3
dbinom(5, n2, p2)
## [1] 0.1316872
b) Al menos tres personas.
P(3<=X)
1-pbinom(2, n2, p2)
## [1] 0.7901235
c) Exactamente dos personas.
P(X=2)
dbinom(2, n2, p2)
## [1] 0.1646091
3. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que
salgan más caras que cruces.
P(3<=X)
n3 = 4
p3 = 1/2
1-pbinom(2, n3, p3)
## [1] 0.3125
4. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de
teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de
que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo
comuniquen dos?
P(X=2)
n4 = 10
p4 = 1/5
dbinom(2, n4, p4)
## [1] 0.3019899
5. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si
dispara 10 veces:
¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres
ocasiones?
P(X=3)
n5 = 10
p5 = 1/4
dbinom(3, n5, p5)
## [1] 0.2502823
¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una
ocasión?
P(1<=X)
1-pbinom(0, n5, p5)
## [1] 0.9436865
6. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5 % de los
conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10 % de los
conductores controlados no llevan abrochado el cinturón de seguridad.
También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un
guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta
que el número de conductores es suficientemente importante como para
estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la
selección.
a) Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores
hayan cometido algunade las dos infracciones.
P(X=3)
n6 = 5
p6 = 0.05+0.1-(0.05*0.1)
dbinom(3,n6,p6)
## [1] 0.02228621
b) Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores
controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
P(1<=X)
pbinom(0, n6, p6, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5430901
7. La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea
defectuoso es p= 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a
unos almacenes. Hallar
n7 = 10000
p7 = 0.002
(a) el número esperado de artículos defectuosos
n7*p7
## [1] 20
(b)la varianza
b7 = n7*p7*(1-p7)
(c) la desviación típica.
sqrt(b7)
## [1] 4.467662
8. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios
en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta
afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que
aplicala droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a) Ningún paciente tenga efectos secundarios.
P(X=0)
n8 = 5
p8 = 0.03
dbinom(0,n8,p8)
## [1] 0.858734
b) Al menos dos tengan efectos secundarios.
P(2<=X)
pbinom(1,n8,p8, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.008472053
c) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que
sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
100*p8
## [1] 3
9. Kolzak Appliance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10
reproductores de DVD. Poco despuésde recibirlo, el fabricante se
comunicóo para reportar un envío de tres unidades defectuosas. La
señorita Kolzac, propietaria de la tienda, decidió probar 2 delos 10
reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es lap robabilidad de que
ninguno de los 2 reproductoresde DVD que se probaron esté defectuoso?
Suponga que las muestras no tienen reemplazo.
P(X=0)
N9 = 10
K9 = 3
n9 = 2
dhyper(0, n9, N9-n9, K9)
## [1] 0.4666667
10. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3
con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5
productos de este lote,determine la probabilidad de que
a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos
P(X=3)
N101 = 25
K101 = 20
n101 = 5
dhyper(3,n101,N101-n101, K101)
## [1] 0.214568
b) 1 de los productos seleccionados tenga defectos menores
P(X=1)
N102 = 25
K102 = 3
n102 = 5
dhyper(1,n102,N102-n102, K102)
## [1] 0.4130435
c) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos
P(X=4)
N10C = 25
K10C = 20
n10C = 5
dhyper(4,n10C,N10C-n10C,K10C)
## [1] 0.4559571
d) menos de 3 de los productos seleccionados tengan defectos
menores.
P(X<=3)
N102 = 25
K102 = 3
n102 = 5
phyper(2,n102,N102-n102, K102,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.004347826
a) estén representadas todas las nacionalidades
choose(2,1)*choose(3,1)*choose(5,1)*choose(2,1)/choose(12,4)
## [1] 0.1212121
b) estén representadas todas las nacionalidades,excepto la
italiana
(choose(2,2)*choose(3,1)*choose(2,1)/choose(12,4))+
(choose(2,1)*choose(3,2)*choose(2,1)/choose(12,4))+(choose(2,1)*choose(3,1)*choose(2,2)/choose(12,4))
## [1] 0.04848485
12. En una caja de 10 fusibles, 3 de ellos estáán defectuosos, si se
examina una muestra aleatoria de 4 fusibles, cual es la probabilidad de
encontrar
a) Ningún defectuoso
P(X=0)
N12 = 10
K12 = 4
n12 = 3
dhyper(0,n12,N12-n12, K12)
## [1] 0.1666667
b) Un defectuoso
P(X=1)
dhyper(1,n12,N12-n12, K12)
## [1] 0.5
c) Uno o menos defectuoso
P(1<=X)
phyper(1,n12,N12-n12, K12)+phyper(0,n12,N12-n12, K12)
## [1] 0.8333333
d) Mas de la mitad defectuoso
P(X=1/2)
phyper(1, n12, N12-n12, K12, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3333333
e) Entre 1 y 3 defectuosos
P(1<=X<=3)
phyper(3,n12, N12-n12, K12)-phyper(0,n12,N12-n12,K12)
## [1] 0.8333333
13. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo
industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50
000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100.000 km, se pide:
a) Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.
P(X=0)
L13 = 0.3*2
dpois(0,L13)
## [1] 0.5488116
b) Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos
P(X<=3)
ppois(3,L13)
## [1] 0.9966419
c) Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga
ningún pinchazo sea 0.4066
log(0.4066)
## [1] -0.8999254
14. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de
su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le
hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:
L14 = 0.4
a) El número medio de pedidos por día
L144 = L14*5
b) La varianza
L14*5*(1-L14)
## [1] 1.2
c) La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante
un día esté comprendido entre 1 y 3
round(ppois(3,L144)-ppois(0,L144) ,3)
## [1] 0.722
d) La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos
round(ppois(1,L144, lower.tail = FALSE) ,3)
## [1] 0.594
15. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una
distribución de Poisson de parámetro lambda = 1. Calcular las
probabilidades:
a) de que en un determinado día se produzcan dos accidentes
P(X=2)
dpois(2, 1)
## [1] 0.1839397
b) a lo sumo dos accidentes
P(X<=2)
ppois(2,1)
## [1] 0.9196986
c) por lo menos dos accidentes.
P(2<=X)
ppois(1,1, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2642411
d) de que hayan 4 accidentes en una semana.
P(X=4)
dpois(4, 7)
## [1] 0.09122619
e) de que haya un accidente hoy y ninguno mañana
P(X=1),P(X=0)
dpois(1,1)*dpois(0,1)
## [1] 0.1353353
16. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como
servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa
promedio de 0.1 mensajes por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 menasjes en
una hora?
P(X<=2)
L16 = 0.1
L166 = L16*60
ppois(2,L166)
## [1] 0.0619688
b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la
probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo
sea 0.8.
-log(0.8)
## [1] 0.2231436
17. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de
ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un
alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las
diez cuestiones).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien a dos
cuestiones?
P(X=2)
n17 = 10*1/5
dpois(2,n17)
## [1] 0.2706706
b) ¿Cuál es la de que responda bien a cuatro?
P(X=4)
dpois(4,n17)
## [1] 0.09022352
c) ¿Cuál la de que responda bien a seis?
P(X=6)
dpois(6,n17)
## [1] 0.0120298
18. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de
experimento con exito si se sabe que si se repite 14 veces es igual de
probable obtener 2 éxitos que 3.
p(x=2)=p(x=3)
choose(14,2)p^2(1-p)12=choose(14,3)p^3(1-p)11
91p2(1-p)^12 = 346p3(1-p)^11
1/p = 346(1-p)^11/91(1-p)^12
p = 91*(1-p)/346
346p = 91-91p
346p+91p = 91
437*p = 91
p = 91/437
p = 0.208238
19. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes
electróicos. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes
se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al
encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra,
n19 = 100
x19 = 2
a) ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un
1 % de componentes defectuosos?
pbinom(x19,n19,0.01,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0793732
b) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8 %
de unidades defectuosas?
pbinom(x19,n19,0.08,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.9887272
20. Se sabe que el 1% de los artículos importados de un cierto país
tienen algún defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 30 artículos,
determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún
defecto
P(3<=X)
p20 = 0.01
n20 = 30
pbinom(2,n20,p20,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.003317709
DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye
según una distribución N(0,1) Calcular:
a) P(Z<1,47)
mu1 = 0
sd1 = 1
pnorm(1.47, mu1, sd1)
## [1] 0.9292191
####b) P(Z>1,47)
pnorm(1.47, mu1, sd1,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.07078088
c) P(Z<−1,47)
pnorm(-1.47, mu1, sd1)
## [1] 0.07078088
d) P(Z>1,47)
1-pnorm(1.47, mu1, sd1)
## [1] 0.07078088
e) P(0,45<Z<1,47)
pnorm(1.47, mu1, sd1)-pnorm(0.45, mu1,sd1)
## [1] 0.2555743
f) P(−1,47 < Z < −0,45) g) P(−1,47 < Z < 0,45) h)
P(Z≤z)=0,75
pnorm(-0.45, mu1, sd1)-pnorm(-1.47, mu1,sd1)
## [1] 0.2555743
g) P(−1,47 < Z < 0,45) h) P(Z<=z)=0,75
pnorm(0.45, mu1, sd1)-pnorm(-1.47, mu1,sd1)
## [1] 0.6028639
h) P(Z<=z)=0,75
qnorm(0.75, mu1, sd1)
## [1] 0.6744898
2. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución
N (μ, 2), hallar: P (μ−3, 2 < X < μ+3, 2)
#P( -1.6<=Z1.6)
mu2 = 0
sd2 = 1
pnorm(1.6,mu2,sd2)- pnorm(-1.6,mu2,sd2)
## [1] 0.8904014
3. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de
junio si una distribución normal, con media 23◦ y desviación t́ıpica 5◦
Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas
entre 21◦ y 27◦
21<=X<=27)
mu3 = 23
sd3 = 5
a = pnorm(27,mu3,sd3)
b = 1-pnorm(21,mu3,sd3)
c = a+b
d = c-1
d*30
## [1] 13.30699
4. La 4. Las precipitaciones anuales en una región alcanzan, de
media, los 2000 mm,con una desviación tıpica de 300mm. Calcula,
suponiendo que siguen una distribución normal, la probabilidad de que en
un año determinado lluvia:
a) No a) No supere los 1200 mm