numpy 093-彻底读懂numpy的轴(Axis)

升维操作

np.newaxis可以给numpy创建的数组升高维度，np.newaxis插在哪里就升在哪里。 比如可以试试A[np.newaxis,:]和A[:,np.newaxis]有什么不同。

而第5行，还有另外一个写法，A[...,np.newaxis,np.newaxis]。它和A[:,:,np.newaxis, np.newaxis]是等同的。总体来说，…的意思就是，所有维度。这个…可以放在任意位置标示这段所有维度，如[np.newaxis,np.newaxis,...]或者[np.newaxis,...,np.newaxis]

你可以试试下面这个四维代码的语句

x = np.arange(1,81).reshape(4,5,2,2)
print (x)
print (x[...,1])
print(x[:,1])

如果只在后⾯加维度，前⾯的维度不变，⽐如开始的是3⾏2列，3⾏那在第⼀个维度（也就是Axis =0，轴序号是从0开始）始终都不会变，⽆论加多少维度，第⼀维度始终是3。

三维数组的轴示意图

⼀旦超过三维，就很难想象或理解，我们还可以⽤树形结构来表⽰多维关系，这种表达⽅式不需要结构或空间想象。有⼏维，就有⼏个轴(时刻不要忘记轴序号以0开始)。

三维数组的树形结构

数组比较

A[:,:,np.newaxis, np.newaxis] == B是将两个数组进行比较。数组的比较非常有意思，可以直接用==进行运算。

• 比较是有前提的，即结构绝对相同。
• 若结构相同，同样位置的值，⼀⼀⽐较，形成⼀个新的结构相同的数组，数组⾥只有布尔类型。
• 若结构不同，则直接返回false并报错。

#代码示例（结构相同）
A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[1,2,5],[4,4,5]])
A == B

## array([[ True,  True, False],
##        [ True, False, False]])

#代码示例（结构不同）
d2 = np.arange(20).reshape(4,5)
d3 = np.arange(20).reshape(5,4)
print (d2 == d3)

## False
## 
## <string>:1: DeprecationWarning: elementwise comparison failed; this will raise an error in the future.

A = np.array([10,7,2,0])
B = np.array([10,9,8,7,6,5,4,3,2,1])
print (A == B)

## False

如果两个数组结构不同呢？怎么比较才不会报错？可以升高维度。

⽐如两个结构不同的1维数组，我们把其中一个1维数组升维以后，变成2维，再和另⼀个1维数组⽐较

#代码示例（1维升2维以后）
C = A [...,np.newaxis]
print (C)

## [[10]
##  [ 7]
##  [ 2]
##  [ 0]]

print (C == B)

## [[ True False False False False False False False False False]
##  [False False False  True False False False False False False]
##  [False False False False False False False False  True False]
##  [False False False False False False False False False False]]

升了⼀个维度，相当于就可以让B中的每个数去和升维后的A（即C）去⼀个⼀个⽐较，并最终产⽣了⼀个2维的新数组（4⾏10列）。升⾼维度就是为了能够和不同形状的数组进⾏单个元素⽐较，⽽且升⾼的维度必须为原来的N倍，才可能进⾏⽐较，⽐如原来是2维，那就得变4维甚至6维才能和其比较。

有人可能会问，升维以后，那些没填满的值都是什么？我没有仔细查看资料，但我认为存在两个特性。

• 继承，即下一维度都是这个值
• 可变，即可随着比较的数组而变化

比如上面的例子，产⽣了⼀个2维的新数组（4⾏10列），因为要比较的数组B有10个数值，如果B只有5个数值或者3个数值呢？我们可以运行这个代码看看。

#代码示例（1维升2维以后再示例）
A = np.array([10,7,2,0])
B = np.array([10,9,2])
C = A [...,np.newaxis]
print (C == B)

## [[ True False False]
##  [False False False]
##  [False False  True]
##  [False False False]]

由于维度不高，所以我们还是可以用一个表格来表示

2维数组和1维数组比较

通过上面代码的运行结果和这个示意图，我们可以看到在坐标(0,0)和(2,2)是TRUE。

轴的折叠

想要学会np.where这个函数，必须先理解轴的折叠，这也是numpy比较难的知识点。

数组轴的个数，在python的世界中，轴的个数被称作秩，轴的个数与数组中括号“[”或者”]“的个数相同，轴指向多维数组的单个维度：

#数一数维数和[]的关系
A = np.random.randint(0,5,(2,3,4))
print (A)

## [[[1 2 3 0]
##   [2 3 1 1]
##   [3 4 1 2]]
## 
##  [[1 0 4 3]
##   [2 0 1 0]
##   [3 2 3 4]]]

官⽅⽂档的解释：在numpy进行sum或where等方法进行运算时，指定轴的⽅式可能会让来⾃其他语⾔的⽤户感到困惑。axis关键字指定将折叠的数组的维度，⽽不是将要返回的维度。因此，指定axis=0意味着第⼀个轴将折叠：对于⼆维数组，这意味着行不存在了，只存在列，每列中的值将被聚合。我们先随便用一维数组试试，同样的例子。

A = np.array([10,7,2,0])
B = np.array([10,9,8,7,6,5,4,3,2,1])
np.where (B)

## (array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], dtype=int64),)

C = A [...,np.newaxis] == B
print (C)

## [[ True False False False False False False False False False]
##  [False False False  True False False False False False False]
##  [False False False False False False False False  True False]
##  [False False False False False False False False False False]]

print ('C location:',np.where (C))
 #输出数组中不为0的坐标

## C location: (array([0, 1, 2], dtype=int64), array([0, 3, 8], dtype=int64))

print ('Axis 1 combine:', C.any(1), np.where(C.any(1)))

## Axis 1 combine: [ True  True  True False] (array([0, 1, 2], dtype=int64),)

print ('Axis 0 combine:', C.any(0), np.where(C.any(0)))

## Axis 0 combine: [ True False False  True False False False False  True False] (array([0, 3, 8], dtype=int64),)

numpy.where有2种⽤法，

1. np.where(condition, x, y)，满⾜条件(condition)，输出x，不满⾜输出y。

np.where(A > 5,1,-1)

## array([ 1,  1, -1, -1])

2. np.where(condition)

只有条件 (condition)，没有x和y，则输出满⾜条件 (即⾮0) 元素的轴 (等价于numpy.nonzero)。这⾥的轴以tuple（元组）的形式给出，通常原数组有多少维，输出的tuple中就包含⼏个数组，分别对应符合条件元素的各轴，即可推断坐标。这⾥numpy.where显然属于第2种⽤法。

np.where(C.any(1))意思是把第2个轴（即axis-1）折叠了，即把列折叠了，这样就没有列了，只剩行。从而输出的是已经把列折叠以后的行数。我们还可以理解为在这一行，只要有一个数不是0，那就输出该行的位置。

np.where(C.any(0))则是把行折叠了，输出的列数。理解同上。

上⾯的代码，也是轴的折叠，是⽤where实现，numpy很多命令都是可以实现轴的折叠的，⽐如我们可以⽤numpy.sum函数。2维结构表示，⽆⾮就和前⾯说的⼀样，就是⾏和列的操作。

A = np.arange(1,11).reshape(2,5)
print (A,"\n")

## [[ 1  2  3  4  5]
##  [ 6  7  8  9 10]]

sum0 = A.sum(0)
sum1 = A.sum(1)
print("0轴折叠相加\n",sum0)

## 0轴折叠相加
##  [ 7  9 11 13 15]

print("1轴折叠相加\n",sum1)

## 1轴折叠相加
##  [15 40]

回到我们的93题，我们先从外到内对np.where语句进行拆解。

np.random.seed(24)
A = np.random.randint(0,5,(8,3))
B = np.random.randint(0,5,(2,2))
C = (A[:,:,np.newaxis, np.newaxis] == B)
print (A,'\n\n',B)

## [[2 3 0]
##  [1 1 1]
##  [4 3 4]
##  [3 2 3]
##  [3 3 3]
##  [1 2 1]
##  [3 4 0]
##  [4 1 1]] 
## 
##  [[4 1]
##  [1 1]]

rows = np.where(C)
print (rows)

## (array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7,
##        7, 7, 7], dtype=int64), array([0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 1,
##        2, 2, 2], dtype=int64), array([0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
##        0, 1, 1], dtype=int64), array([1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1,
##        1, 0, 1], dtype=int64))

A = np.random.randint(0,5,(8,3))

8,3树形结构

B = np.random.randint(0,5,(2,2))

2,2树形结构

A[:,:,np.newaxis, np.newaxis]

升维以后，版面不够，我先把第0轴第2个元素提出来了，即Axis0[1]，因为这个满足了题目的筛选条件。你知道A升维以后，再和B进行比较，数组编程了多少个元素吗？应该是8*3*2*2=96

第0轴第2个元素

下面我们以Axis0[1]为例，折叠轴了。看好了，首先折叠第4轴，也就是最下面的轴

np.where(C.any((3)))

第4轴折叠

np.where(C.any((3,1)))

第2轴折叠

其实下面的步骤我已经不用再解释了，你应该懂了。你可以自己画一画。 np.where(C.any((3,1)).all(1))

同样的，我们选取一个不满足要求的行，比如Axis0[2]，当你看到下图的时候，你就立刻明白为它如何不满足要求了。

第0轴第2个元素