Primera parte

1. La ultima novela de un autor ha tenido un gran exito, hasta el punto de que el 80 % de los lectores ya lahan le´ıdo. Un grupo de 4 amigos son aficionados a lalectura:a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en el grupo hayan leıdo la novela 2 personas?, b) ¿Y como maximo 2?

#P(X=2)
dbinom(2, 4, 4/5)
## [1] 0.1536
#P(X<=2)
pbinom(2, 4, 4/5)
## [1] 0.1808

2. Un agente de seguros vende polizas a cinco personasde la misma edad y que disfrutan de buena salud. Segun las tablas actuales, la probabilidad de que unapersona en estas condiciones viva 30 años o mas es2/3. Hallese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:a) Las cinco personas. b) Al menos tres personas. c) Exactamente dos personas.

#P(X=5)
dbinom(5, 5, 2/3)
## [1] 0.1316872
#P(X>=3)
1-pbinom(2, 5, 2/3)
## [1] 0.7901235
#P(X=2)
dbinom(2, 5, 2/3)
## [1] 0.1646091

3. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan mas caras que cruces.

#P(X>=3)
1-pbinom(2, 4, 1/2)
## [1] 0.3125

4. Si de seis a siete de la tarde se admite que un n´umerode tel´efono de cada cinco esta comunicando, ¿cual esla probabilidad de que, cuando se marquen 10 numeros de telefono elegidos al azar, solo comuniquen dos?

#P(X=2)
dbinom(2, 10, 1/5)
## [1] 0.3019899

5. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cual es la probabilidadde que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuales la probabilidad de que acierte por lo menos en unaocasion?

#P(X=3)
dbinom(3, 10, 1/4)
## [1] 0.2502823
#P(X>=1)
1-pbinom(0, 10, 1/4)
## [1] 0.9436865

6. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado queel 5 % de los conductores controlados dan positivo enla prueba y que el 10 % de los conductores controlados no llevan aprovechado el cintur´on de seguridad.Tambien se ha observado que las dos infracciones sonindependientes. Un guardia de trafico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el numerode conductores es suficientemente importante comopara estimar que la proporcion de infractores no varıa al hacer la seleccion. a) Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido algunade las dos infracciones. b) Determine la probabilidad de que al menos unode los conductores controlados haya cometidoalguna de las dos infracciones.

#P(X=3)
w=dbinom(3, 5, 1/20)
z=dbinom(3, 5, 1/10)
z+w
## [1] 0.009228125
#P(X>=1)
P=1-pbinom(0, 5, 1/20)
M=1-pbinom(0,5,1/10)
M+P
## [1] 0.6357291

7. La probabilidad de que un artıculo producido por una fabrica sea defectuoso es p= 0.002. Se envio un cargamento de 10.000 artıculos a unos almacenes. Hallar (a) el numero esperado de artıculos defectuosos, (b) la varianza y (c) la desviacion tıpica

#Numero esperado de articulos defectuosos

10000*0.002
## [1] 20
JC = 10000
AM = 0.002

#el número esperado de artículos defectuosos

JC*AM
## [1] 20
#la varianza

JC = JC*AM*(1-AM)

#la desviación típica.#####

sqrt(JC)
## [1] 4.467662

8. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporcion de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmacion, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplicala droga. ¿Cual es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Ningun paciente tenga efectos secundarios.b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cual es el n´umero medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

#P(X=0)
dbinom(0, 5, 3/100)
## [1] 0.858734
#P(X>=2)
1-pbinom(1, 5, 3/100)
## [1] 0.008472053
#Numero medio esperado de una muestra de 100 pacientes
3
## [1] 3

9. Kolzak Appliance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10 reproductores de DVD. Poco despuesde recibirlo, el fabricante se comunico para reportarun envıo de tres unidades defectuosas. La señorita Kolzac, propietaria de la tienda, decidi´o probar 2 delos 10 reproductores de DVD que recibio. ¿Cual es laprobabilidad de que ninguno de los 2 reproductoresde DVD que se probaron est´e defectuoso? Supongaque las muestras no tienen reemplazo.

#P(X=0)
dhyper(0, 2, 8, 3)
## [1] 0.4666667

10. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que: a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos, b) 1 de los productos seleccionados tenga defectosmenores, c) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos, d) menos de 3 de los productos seleccionados tengan defectos menores.

N = 20
k1= 3
k2= 2
k= k1+k2
n=5
#P(X=2)
#La probabilidad de que 2 articulos tengan defectos
dhyper(2,n,N-n,k)
## [1] 0.2934727
#La probabilidad de que un articulo tenga defectos menores
#P(X=1)
dhyper(1,n, N-n, k1)
## [1] 0.4605263
#La probabilidad de que 1 articulo tenga defectos
#P(X=1)
dhyper(1, n, N-n, k)
## [1] 0.440209
#La probabilidad de que hayan menos de 3 articulos defectuosos
#P(X<=2)
phyper(2, n, N-n, k1)
## [1] 0.9912281

11. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comite de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a) est´en representadas todas las nacionalidades, b) esten representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.

#Probabilidad de que todas las nacionalidades esten representadas
(choose(2,1)*choose(3,1)*choose(5,1)*choose(2,1))/choose(12,4)
## [1] 0.1212121
#Probabilidad de que no hayan italianos
(choose(2,2)*choose(3,1)*choose(2,1)/choose(12,4))+(choose(2,1)*choose(3,2)*choose(2,1)/choose(12,4))+(choose(2,1)*choose(3,1)*choose(2,2)/choose(12,4))
## [1] 0.04848485

12. En una caja de 10 fusibles, 3 de ellos est´an defectuosos, si se examina una muestra aleatoria de 4 fusibles, cual es la probabilidad de encontrar:

a) Ningun defectuoso

b) Un defectuoso

c) Uno o menos defectuoso

d) Mas de la mitad defectuoso

e) Entre 1 y 3 defectuosos

#P(X=0)
dhyper(0, 4, 6, 3)
## [1] 0.1666667
#P(X=1)
dhyper(1, 4, 6, 3)
## [1] 0.5
#P(X<=1)
phyper(1, 4, 6, 3)
## [1] 0.6666667
#P(X=3)
dhyper(3, 4, 6, 3)
## [1] 0.03333333
#1-F(0)
1-dhyper(0, 4, 6, 3)
## [1] 0.8333333

13. El n´umero de pinchazos en los neumaticos de cierto vehıculo industrial tiene una distribucion de Poisson con media 0.3 por cada 50 000 kilometros. Si el vehıculo recorre 100000 km, se pide:

a) Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.

b) Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos

c) Numero de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ning´un pinchazo sea 0.4066

#P(X=0)
dpois(0, 3/5)
## [1] 0.5488116
#P(X<=2)
#Cuantos kilometros se deben recorrer para que la probabilidad de que
#no hayan pinchazos sea 0.4066?
ppois(0, 0.9)
## [1] 0.4065697
#Como vemos landa debe ser 0.9
#Para 50000 km landa es 0.3, para el 0.9 son 150000 km

14. Un representante realiza 5 visitas cada dıa a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe

que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:

a) El numero medio de pedidos por dıa

b) La varianza

c) La probabilidad de que el numero de pedidos que realiza durante un dıa este comprendido entre 1 y 3

d) La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos

#Numero medio de pedidos por dia
5*0.4
## [1] 2
#Varianza
nm= 0.4
nm*5*(1-nm)
## [1] 1.2
#P(X>=1)-P(X>=4)
oo = 1-ppois(0, 2)
FF = 1-ppois(3, 2)
xyz= oo-FF
#1-F(1)
1-ppois(1, 2)
## [1] 0.5939942

15. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribucion de Poisson de parametro λ = 1.

Calcular las probabilidades:

a) de que en un determinado dıa se produzcan dos accidentes

b) a lo sumo dos accidentes

c) por lo menos dos accidentes.

d) de que hayan 4 accidentes en una semana.

e) de que haya un accidente hoy y ninguno mañana.

#P(X=2)
dpois(2, 1)
## [1] 0.1839397
#P(X<=2)
ppois(2, 1)
## [1] 0.9196986
#1-F(1)
1-ppois(1, 1)
## [1] 0.2642411
#P(X=4) y landa se convierte en 7
dpois(4, 7)
## [1] 0.09122619
#P(X=0)*P(X=1)
dpois(1, 1)*dpois(0, 1)
## [1] 0.1353353

16. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribucion Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.

a) ¿Cual es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?

b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningun mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8.

#Si por minuto landa equivale a 0.1, en una hora equivale a 6
#P(X<=2)
ppois(2, 6)
## [1] 0.0619688
#intervalo de tiempo necesario para que sea 0.8 la p de que no lleguen llamadas

-log(0.8)
## [1] 0.2231436

17. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones).

a) ¿Cual es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones?

b) ¿Cual la de que responda bien a cuatro?

c) ¿Cual la de que responda bien a seis?

#A)

#P(X=2)

DFRV = 10*1/5

dpois(2,DFRV)
## [1] 0.2706706
#B)
#P(X=4)

dpois(4,DFRV)
## [1] 0.09022352
#C)

#P(X=6)

dpois(6,DFRV)
## [1] 0.0120298

18. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con exito si se sabe que si se repite 14 veces es igual de probable obtener 2 exitos que 3.

# P(X=2)= P(X=3)
# PP(X=2)= choose(14,2)*p^2*q^12  = P(X=3) = choose(14,3)p^3*q^11
# 91*p^2*q^12 = 346p^3*q^11
# p^2/p^3 = 346q^11/91q^12 
# 1/p = 346/91q
# q= 1-p
p = 91/437

19. Una compañıa compra cantidades muy grandes de componentes electronicos. La decision para aceptar orechazar un lote de componentes se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al encontrar tres o mas unidades defectuosas en la muestra,

a) ¿Cual es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un 1 % de componentes defectuosos?

b) ¿Cual es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8 % de unidades defectuosas?

#¿cual es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un 1 % de componentes defectuosos?
#La probabilidad en este caso es 0, porque el 0,01 de 100 es 1
#y con 3 o mas es que rechazan los productos, entonces, al solo encontrar uno,
#no hay posibilidad de que lo devuelvan.

#¿Cual es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8 % de unidades defectuosas?
#La probabilidad en este caso es 1, porque el 0,08 de 100 es 8,
#y con 3 articulos devuelven la caja, por tanto, si se encuentran 8 articulos,
#la caja se va a devolver si o si.

20. Se sabe que el 1 % de los artıculos importados de un cierto paıs tienen algun defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 30 artıculos, determinar la probabilidad de que tres o mas de ellos tengan algun defecto.

#1-F(2)
1-pbinom(2, 30, 1/100)
## [1] 0.003317709

Parte 2-Distribucion Normal

1. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye segun una distribucion N(0, 1) Calcular:

a) P(Z < 1, 47)

b) P(Z > 1, 47)

c) P(Z ≤ −1, 47)

d) P(Z > 1, 47)

e) P(0, 45 < Z < 1, 47)

f) P(−1, 47 < Z < −0, 45)

g) P(−1, 47 < Z < 0, 45)

h) P(Z ≤ z) = 0, 75

#a) 
  
DO = 0
DF = 1

pnorm(1.47, DO, DF)
## [1] 0.9292191
#b) 

pnorm(1.47, DO, DF,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.07078088
#c) 

pnorm(-1.47, DO, DF)
## [1] 0.07078088
#d) 

1-pnorm(1.47, DO, DF)
## [1] 0.07078088
#e) 

pnorm(1.47, DO, DF)-pnorm(0.45, DO,DF)
## [1] 0.2555743
#f) 

pnorm(-0.45, DO, DF)-pnorm(-1.47, DO,DF)
## [1] 0.2555743
#g) 

pnorm(0.45, DO, DF)-pnorm(-1.47, DO,DF)
## [1] 0.6028639
#h) 

qnorm(0.75, DO, DF)
## [1] 0.6744898

2. Si X es una variable aleatoria distribuida segun una distribucion N(µ, 2), hallar: P(µ−3, 2 < X < µ+3, 2)

#P(-1.6<Z1.6)

JB = 0
FH = 1
pnorm(1.6,JB,FH)- pnorm(-1.6,JB,FH)
## [1] 0.8904014

3. En una ciudad se estima que la temperatura maxima en el mes de junio si una distribucion normal, con media 23◦y desviacion tıpica 5◦ Calcular el numero de dıas del mes en los que se espera alcanzar maximasentre 21◦y 27◦.

AT = 23
DC = 5

vr = pnorm(27,AT,DC)
uj = 1-pnorm(21,AT,DC)
hr = vr+uj
op = hr-1
op*30
## [1] 13.30699

4. Las precipitaciones anuales en una region alcanzan, de media, los 2000 mm, con una desviacion tıpica de 300mm. Calcula, suponiendo que siguen una distribucion normal, la probabilidad de que en un año determinado la lluvia:

a) No supere los 1200 mm

b) Supere los 1500 mm.

c) Este entre 1700 y 2300 mm.

d) Deseamos seleccionar el 25 % de los años mas lluviosos, ¿a partir de que cantidad de agua hemos de escogerlos?¿Y si deseasemos seleccionar los menos lluviosos?

#a) 

frt = 2000
pg = 300

pnorm(1200, frt, pg)
## [1] 0.003830381
#b) 

1-pnorm(1500, frt, pg)
## [1] 0.9522096
#c)

pnorm(2300,frt,pg)-pnorm(1700,frt,pg)
## [1] 0.6826895
#d) 

qnorm(0.25,frt,pg)
## [1] 1797.653

5. Se sabe que la talla media de una poblacion en edad escolar es de 165 cm con una desviacion tıpica de 12 cm. Un centro tiene 1400 alumnos matriculados, se pide:

a) ¿Cuantos alumnos se espera que midan mas de 155cm?

b) ¿Que proporcion ( %) de alumnos miden entre 150 y 178 cm?

c) Determina la probabilidad de que un cierto alumno mida entre 170 y 186 cm.

d) ¿Que talla permite asegurar que, elegido un alumno al azar, el 67 % de sus compañeros son mas bajos que el?

#a)
kl = 165
jr = 12

1-pnorm(155,kl,jr)
## [1] 0.7976716
#b)

AAA = pnorm(149, kl, jr)
BBB = 1-pnorm(178, kl, jr)
VVV = AAA+BBB
1-VVV
## [1] 0.7694585
#c)

SX = pnorm(169, kl, jr)
zx = 1-pnorm(186, kl, jr)
Xsx= SX+zx
1-Xsx
## [1] 0.3293822
#d)

qnorm(0.67, kl, jr)
## [1] 170.279

6. El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos industriales emitidos durante el primer trimestre de 1975 fue de 8.55 % con una desviacion estandar de 0.70 %. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañıa FLEX fue de 7.1 % ¿que podemos decir de la situacion financiera de esta firma durante el trimestre mencionado?

dg = 0.0855
gt = 0.007

qnorm(0.071,dg,gt)
## [1] 0.07522131

7. Durante los ultimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue de 646 millones de acciones (Barron’s. Enero de 1998). La distribucion de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal, con desviacion estandar de unos 100 millones de acciones.

a) ¿Cual es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones de acciones?

b) ¿Que porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800 millones de acciones.

c) Si la Bolsa quiere emitir un boletın de prensa sobre el 5 % de los dıas mas activos, ¿que volumen activara la publicacion?

#a) 

AG = 646
DJSO = 100

pnorm(400,AG,DJSO)*100
## [1] 0.6946851
#b) 


pnorm(800,AG,DJSO,lower.tail = FALSE)*100
## [1] 6.178018
#c)
  
qnorm(0.05,AG,DJSO)
## [1] 481.5146

8. Mensa es una asociacion internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una persona debe tener un coeficiente intelectual de 132 o mas alto (USA today, 13 de febrero de 1992). Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se distribuyen normalmente con promedio de 100 y desviacion estandar de 15, ¿que porcentaje de personas califican para ser miembros de mensa?

#P(132≤X)
SA = 100
UY = 15

pnorm(132,SA,UY,lower.tail = FALSE)*100
## [1] 1.64487