1. La ultima novela de un autor ha tenido un gran exito, hasta el punto de que el 80 % de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
# x: # de personas que leyeron la novela 
#p(x=2)
dbinom(2, 4, 0.8)
## [1] 0.1536
  1. ¿Y como máximo 2?
#p(x<=2)
pbinom(2, 4, 0.8)
## [1] 0.1808
  1. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud.Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
  1. Las cinco personas.
# x: # de personas que vivan transcurridos 30 años 
#p(x=5)
dbinom(5, 5, 2/3)
## [1] 0.1316872
  1. Al menos tres personas.
#p(x=>3)
1-pbinom(2, 5, 2/3)
## [1] 0.7901235
  1. Exactamente dos personas.
#p(x=2)
dbinom(2, 5, 2/3)
## [1] 0.1646091
  1. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan m´as caras que cruces.
# x: # de caras 
#p(x>=3)
1-pbinom(2, 4, 0.5)
## [1] 0.3125
  1. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cúal es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
# x: # de telefonos comunicados
#p(x=2)
dbinom(2, 10, 1/5)
## [1] 0.3019899

5.La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cúal es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

# x: # de aciertos
#p(x=3)
dbinom(3, 10, 1/4)
## [1] 0.2502823

¿Cúal es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

#p(x=>1)
1-pbinom(0, 10, 1/4)
## [1] 0.9436865
  1. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5 % de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10 % de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
  1. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
# x: # de conductores
p <- 0.05+0.1-0.05*0.1
#p(x=3)
dbinom(3, 5, p)
## [1] 0.02228621
  1. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
#p(x=>1)
1-pbinom(0, 5, p)
## [1] 0.5430901
  1. La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p= 0.002.Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.Hallar:
  1. el número esperado de artículos defectuosos
p1<- 0.002
n<-10000
q<-1-p1
#Numero esperado de articulos defectuosos (Media)
n*p1
## [1] 20

(b)la varianza

#Varianza 
V<-n*p1*q
print(V)
## [1] 19.96

(c)La desviacion Tipica

#Desviacion Tipica 
sqrt(V)
## [1] 4.467662
  1. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga.¿Cúal es la probabilidad de los siguientes sucesos?
  1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
# x: # de pacientes con efectos secundarios 
#p(x=0)
dbinom(0, 5, 0.03)
## [1] 0.858734
  1. Al menos dos tengan efectos secundarios.
#b. p(x=>2)
1-pbinom(1, 5, 0.03)
## [1] 0.008472053
  1. ¿Cúal es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
#c. Numero medio de pacientes 
100*0.03
## [1] 3
  1. Kolzak Appliance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10 reproductores de DVD. Poco despúes de recibirlo, el fabricante se comunicó para reportar un envío de tres unidades defectuosas. La señorita Kolzac, propietaria de la tienda, decidió probar 2 de los 10 reproductores de DVD que recibió. ¿Cúal es la probabilidad de que ninguno de los 2 reproductores de DVD que se probaron esté defectuoso? Suponga que las muestras no tienen reemplazo
# x: # de DVDs defectuosos
#p(x=0)
dhyper(0, 3, 10-3, 2)
## [1] 0.4666667
  1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que: a)3 de los productos seleccionados no tengan defectos
# x: # de productos sin defectos 
#p(x=3)
dhyper(3, 20, 25-20, 5)
## [1] 0.214568
  1. 1 de los productos seleccionados tenga defectos menores.
# x: # de productos con defectos menores 
# p(x=1)
dhyper(1, 3, 25-3, 5)
## [1] 0.4130435
  1. 4 de los productos seleccionados no tengan defectos.
#x: # de productos sin defectos
# p(x=4)
dhyper(4, 20, 25-20, 5)
## [1] 0.4559571
  1. menos de 3 de los productos seleccionados tengan defectos menores.
# x: # de productos con defectos menores
# p(x<=3)
phyper(2, 3, 25-3, 5)
## [1] 0.9956522
  1. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comite de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que:
  1. estén representadas todas las nacionalidades.
choose(2,1)*choose(3,1)*choose(5,1)*choose(2,1)/choose(12,4)
## [1] 0.1212121
  1. estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana
A <- choose(2,2)*choose(3,1)*choose(5,0)*choose(2,1)/choose(12,4)
B <- choose(2,1)*choose(3,2)*choose(5,0)*choose(2,1)/choose(12,4)
C <- choose(2,1)*choose(3,1)*choose(5,0)*choose(2,2)/choose(12,4)
#Probabilidad de que esten representadas todas las nacionalidades menos la italiana 
A+B+C
## [1] 0.04848485
  1. En una caja de 10 fusibles, 3 de ellos están defectuosos, si se examina una muestra aleatoria de 4 fusibles,cual es la probabilidad de encontrar:
  1. Ningún defectuoso
# x: # de fusibles defectuosos 
# p(x=0)
dhyper(0, 4, 10-4, 3)
## [1] 0.1666667
  1. Un defectuoso
# p(x=1)
dhyper(1, 4, 10-4, 3)
## [1] 0.5
  1. Uno o menos defectuoso
# p(x<=1)
phyper(1, 4, 10-4, 3)
## [1] 0.6666667
  1. Mas de la mitad defectuoso
# p(x>2)
1-phyper(2, 4, 10-4, 3)
## [1] 0.03333333
  1. Entre 1 y 3 defectuosos
# P(1<=x<=3) 
phyper(3,4, 10-4, 3)-dhyper(0, 4,10-4,3)
## [1] 0.8333333
  1. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide:
  1. Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.
# x: # de pinchazos 
x <- 0.3
L <- 100000*0.3/50000
# p(x=0)
dpois(0, L)
## [1] 0.5488116
  1. Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos
# p(x<3)
ppois(2, L)
## [1] 0.9768847
  1. Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066
-log(0.4066)*50000/0.3
## [1] 149987.6
#149.987,6 KM
  1. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:
  1. El número medio de pedidos por día.
# x: # de pedidos 
# Numero medio de pedidos por dia
5*0.4
## [1] 2
  1. La varianza
# Varianza
5*0.4*0.6
## [1] 1.2
  1. La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3.
# p(1<=x=<3)
sum(dbinom(1:3, 5, 0.4))
## [1] 0.8352
  1. La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos
# p(x>=2)
1-pbinom(1, 5, 0.4)
## [1] 0.66304
  1. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro λ = 1. Calcular las probabilidades:
  1. de que en un determinado día se produzcan dos accidentes
# x: # de accidentes 
# p(x=2)
dpois(2, 1)
## [1] 0.1839397
  1. a lo sumo dos accidentes
# p(x<=2)
ppois(2, 1)
## [1] 0.9196986
  1. por lo menos dos accidentes.
# p(x=>2)
1-ppois(1,1)
## [1] 0.2642411
  1. de que hayan 4 accidentes en una semana.
# p(x=4)
dpois(4, 7)
## [1] 0.09122619
  1. de que haya un accidente hoy y ninguno mañana.
# p(x=1)+p(x=0)
dpois(1, 2)+dpois(0, 2)
## [1] 0.4060058
  1. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?
# x: # de mensajes 
# p(X<=2)
ppois(2, 6)
## [1] 0.0619688
  1. Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8.
-log(0.8)*1/0.1
## [1] 2.231436
#2.231 minutos
  1. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones).
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones?
# x: # de cuestiones
# p(x=2)
dbinom(2, 10, 1/5)
## [1] 0.3019899
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que responda bien a cuatro?
#P(X=4)
dbinom(4, 10, 1/5)
## [1] 0.08808038
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que responda bien a seis?
#P(X=6)
dbinom(6, 10, 1/5)
## [1] 0.005505024
  1. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se repite 14 veces es igual de probable obtener 2 exitos que 3.
# P(x=2)=p(x=3)
# 14C2 * p^2*q^12=14C3 * p^3*q^11
choose(14,2)
## [1] 91
choose(14,3)
## [1] 364
#p^2*q^12=4 p^2*q^11
#q^12=4pq^11
#q=4p
#1-p=4p
#p=1/5
  1. Una compañia compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra.
  1. ¿cúal es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un 1 % de componentes defectuosos?
#x: # de unidades defectuosas 
# p(x=>3)
1-pbinom(2, 100, 0.01)
## [1] 0.0793732
  1. ¿Cúal es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8 % de unidades defectuosas?
# p(x=>3)
1-pbinom(2, 100, 0.08)
## [1] 0.9887272
  1. Se sabe que el 1 % de los artículos importados de un cierto país tienen algún defecto.Si tomamos una muestra de tamaño 30 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto.
#x: # de articulos defectuosos 
#P(X=>3)
1-pbinom(2, 30, 0.01)
## [1] 0.003317709

DISTRIBUCION NORMAL

  1. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución N(0, 1) Calcular:
  1. P(Z < 1, 47)
pnorm(1.47, 0, 1)
## [1] 0.9292191
  1. P(Z > 1, 47)
1-pnorm(1.47, 0, 1)
## [1] 0.07078088
  1. P(Z ≤ −1, 47)
pnorm(-1.47, 0, 1)
## [1] 0.07078088
  1. P(Z > -1, 47)
1-pnorm(-1.47, 0, 1)
## [1] 0.9292191
  1. P(0, 45 < Z < 1, 47)
pnorm(1.47, 0, 1)-pnorm(0.45, 0, 1)
## [1] 0.2555743

f ) P(−1, 47 < Z < −0, 45)

pnorm(-0.45, 0, 1)-pnorm(-1.47, 0, 1)
## [1] 0.2555743
  1. P(−1, 47 < Z < 0, 45)
pnorm(0.45, 0, 1)-pnorm(-1.47, 0, 1)
## [1] 0.6028639
  1. P(Z ≤ z) = 0, 75
qnorm(0.75, 0, 1)
## [1] 0.6744898
  1. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N(µ, 2), hallar: P(µ−3, 2 < X < µ+3, 2)
pnorm(1.6, 0, 1)-pnorm(-1.6, 0, 1)
## [1] 0.8904014
  1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23◦ y desviación típica 5◦ Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21◦y 27◦
#p(21 <= Z <= 27)
(pnorm(27, 23, 5)-pnorm(21, 23, 5))*30
## [1] 13.30699
#13 dias
  1. Las precipitaciones anuales en una región alcanzan, de media, los 2000 mm, con una desviación típica de 300mm. Calcula, suponiendo que siguen una distribución normal, la probabilidad de que en un año determinado la lluvia:
  1. No supere los 1200 mm
#p(z<1200)
pnorm(1200, 2000, 300)
## [1] 0.003830381
  1. Supere los 1500 mm.
 # p(z>1500)
1-pnorm(1500, 2000, 300)
## [1] 0.9522096
  1. Esté entre 1700 y 2300 mm.
#p(1700 < z < 2300)
pnorm(2300, 2000, 300)-pnorm(1700, 2000, 300)
## [1] 0.6826895
  1. Deseamos seleccionar el 25 % de los años más lluviosos, ¿a partir de qué cantidad de agua hemos de escogerlos?¿Y si deseásemos seleccionar los menos lluviosos?
qnorm(0.25, 2000, 300)
## [1] 1797.653

5.Se sabe que la talla media de una población en edad escolar es de 165 cm con una desviación típica de 12 cm. Un centro tiene 1400 alumnos matriculados, se pide: a) ¿Cuántos alumnos se espera que midan más de 155cm?

# p(z>155)
(1-pnorm(155, 165, 12))*1400
## [1] 1116.74
  1. ¿Qué proporción ( %) de alumnos miden entre 150 y 178 cm?
#p(150 < z < 178)
(pnorm(178, 165, 12)-pnorm(150, 165, 12))*100
## [1] 75.502
  1. Determina la probabilidad de que un cierto alumno mida entre 170 y 186 cm.
# p(170 < z < 186)
pnorm(186, 165, 12)-pnorm(170, 165, 12)
## [1] 0.298402
  1. ¿Qué talla permite asegurar que, elegido un alumno al azar, el 67 % de sus compañeros son más bajos que él?
qnorm(0.67, 165, 12)
## [1] 170.279
  1. El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos industriales emitidos durante el primer trimestre de 1975 fue de 8.55 % con una desviación estándar de 0.70 %. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañia FLEX fue de 7.1 % ¿qué podemos decir de la situación financiera de esta firma durante el trimestre mencionado?
qnorm(0.071, 0.0855, 0.007)*100
## [1] 7.522131

La situación financiera de la firma no es muy eficienta ya que el rendimiento estuvo por debajo del promedio y solamente tiene un crecimiento superior al 7,52% y este es un porcentaje muy bajo.

  1. Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue de 646 millones de acciones (Barron’s. Enero de 1998). La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal, con desviación estándar de unos 100 millones de acciones.
  1. ¿Cúal es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones de acciones?
# p(z<400)
pnorm(400, 646, 100)
## [1] 0.006946851
  1. ¿Qué porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800 millones de acciones?
# p(z>800)
(1-pnorm(800, 646, 100))*100
## [1] 6.178018
  1. Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5 % de los días más activos, ¿qué volumen activaría la publicación?
qnorm(0.05, 646, 100)
## [1] 481.5146
  1. Mensa es una asociación internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una persona debe tener un coeficiente intelectual de 132 o más alto (USA today, 13 de febrero de 1992).Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se distribuyen normalmente con promedio de 100 y desviación estándar de 15, ¿qué porcentaje de personas califican para ser miembros de mensa?
#p(z=>132)
(1-pnorm(132, 100, 15))*100
## [1] 1.64487