Distribuciones discretas de probabilidad

  1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80 % de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
# X: # personas que vieron la novela.
#P(X=2)
round(dbinom(x = 2, size = 4, prob = 0.8),3)
## [1] 0.154
  1. ¿Y cómo máximo 2?
#P(X≤2)
round(pbinom(q = 2, size = 4, prob = 0.8),3)
## [1] 0.181
  1. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
  1. Las cinco personas.
#X: # personas que viven más de 30 años.
#P(x=5)
round(dbinom(x = 5, size = 5, prob = 2/3),3)
## [1] 0.132
  1. Al menos tres personas.
#P(x≥3)
round(pbinom(q = 2, size = 5, prob = 2/3, lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.79
  1. Exactamente dos personas.
#P(X=2)
round(dbinom(x = 2, size = 5, prob = 2/3),3)
## [1] 0.165
  1. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
#X: # de caras
#P(x≥3)
dbinom(3,4,1/2)+dbinom(4,4,1/2)
## [1] 0.3125
  1. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
#X:# de telefonos comunicados
#P(x=2)
round(dbinom(x = 2, size = 10, prob = 1/5),3)
## [1] 0.302
  1. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
#X: # de aciertos
#P(x=3)
round(dbinom(x=3,size=10,prob=1/4),3)
## [1] 0.25

¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

#P(x≥1)
round(pbinom(q=0, size=10, prob=1/4, lower.tail = F),3)
## [1] 0.944
  1. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5 % de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10 % de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
  1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
#X: # de ganadores
PU=0.05+0.1-(0.05*0.1)
round(dbinom(3,5,PU),3)
## [1] 0.022
  1. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
round(1-pbinom(0,5,PU),3)
## [1] 0.543
  1. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p= 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar
  1. el número esperado de artículos defectuosos,
Ex=10000*0.002
print(Ex)
## [1] 20
  1. la varianza y
Va=10000*0.002*(1-0.002)
print(Va)
## [1] 19.96
  1. la desviación típica.
print(round(sqrt(Va),3))
## [1] 4.468
  1. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
  1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
 #X: # de pacientes con efectos secundarios.
#P(x=0)
round(dbinom(0,5,0.03),3)
## [1] 0.859
  1. Al menos dos tengan efectos secundarios.
#P(x>=2)
round(pbinom(q = 1, size = 5, prob = 0.03, lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.008
  1. ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? la probabilidad de que en un determinado día la quinta prescripción de Valium que da un médico sea
E=100*0.03
print(E)
## [1] 3
  1. Kolzak Appliance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10 reproductores de DVD. Poco después de recibirlo, el fabricante se comunicó para reportar un envío de tres unidades defectuosas. La señorita Kolzac, propietaria de la tienda, decidió probar 2 de los 10 reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 2 reproductores de DVD que se probaron este defectuoso? Suponga que las muestras no tienen reemplazo.
#X: # DVD´s defectuosos
#P(x=0)
round(dhyper(x = 0, m = 2, n = 8, k = 3),3)
## [1] 0.467
  1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que
  1. 3 de los productos seleccionados no tengan defectos
#X: # de productos sin defectos.
#P(x=3)
round(dhyper(x = 3, m = 20, n = 5, k = 5),3)
## [1] 0.215
  1. 1 de los productos seleccionados tenga defectos menores,
#X: # productos con defectos menores.
#P(P=1)
round(dhyper(x = 1, m = 3, n = 22, k = 5),3)
## [1] 0.413
  1. 4 de los productos seleccionados no tengan defectos
#X: # de productos sin defectos.
#P(x=4)
round(dhyper(x = 4, m = 20, n = 5, k = 5),3)
## [1] 0.456
  1. menos de 3 de los productos seleccionados tengan defectos menores.
#X: # productos con defectos menores.
#P(x<3)
round(phyper(q = 2, m = 3, n = 22, k = 5),3)
## [1] 0.996
  1. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que:
  1. estén representadas todas las nacionalidades,
choose(2,1)*choose(3,1)*choose(5,1)*choose(2,1)/choose(12,4)
## [1] 0.1212121
  1. estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.
(choose(2,2)*choose(3,1)*choose(2,1)/choose(12,4))+(choose(2,1)*choose(3,2)*choose(2,1)/choose(12,4))+(choose(2,1)*choose(3,1)*choose(2,2)/choose(12,4))
## [1] 0.04848485
  1. En una caja de 10 fusibles, 3 de ellos están defectuosos, si se examina una muestra aleatoria de 4 fusibles, cual es la probabilidad de encontrar
  1. Ningún defectuoso
#X: # de fusibles defectuosos.
#P(x=0)
round(dhyper(x = 0, m = 3, n = 7, k = 4),3)
## [1] 0.167
  1. Un defectuoso
#P(x=1)
round(dhyper(x = 1, m = 3, n = 7, k = 4),3)
## [1] 0.5
  1. Uno o menos defectuoso
#P(x<=1)
round(phyper(q = 1, m = 3, n = 7, k = 4),3)
## [1] 0.667
  1. Mas de la mitad defectuoso
round(phyper(q = 2, m = 3, n = 7, k = 4, lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.033
  1. Entre 1 y 3 defectuosos
round(phyper(3, 3, 7, 4)-dhyper(0,3,7,4),3)
## [1] 0.833
  1. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide:
  1. Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.
#X: # de pinchazos. 
#P(x=0)
round(dpois(x = 0, lambda = 0.6),3)
## [1] 0.549
  1. Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos
#P(x<3)
round(ppois(q = 2, lambda = 0.6),3)
## [1] 0.977
  1. Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066
#P(X=0)=((exp^(-lambda))(lambda^x))/(x!))
#P(X=0)=((exp^(-lambda))(lambda^0))/(0!))
#P(X=0)=((exp^(-lambda))(1)/(1))
#((exp^(-lambda))(1)/(1))=0.8
#(exp^(-lambda)=0.4066
# -lambda= ln(0.4066)
l=-log(0.4066)
l*50000/0.3
## [1] 149987.6
  1. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:
  1. El número medio de pedidos por día
#X: # de pedidos.
5*0.4
## [1] 2
  1. La varianza
2*(1-0.4)
## [1] 1.2
  1. La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día este comprendido entre 1 y 3
#P(1<=X<=3)
round(pbinom(q = 3, size = 5, prob = 0.4)-dbinom(x = 0, size = 5, prob = 0.4),3)
## [1] 0.835
  1. La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos
#P(x>=2)
round(pbinom(q = 1, size = 5, prob = 0.4, lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.663
  1. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro λ = 1. Calcular las probabilidades:
  1. de que en un determinado día se produzcan dos accidentes
#X: # de accidentes.  
#P(X=2)
L=1
round(dpois(x=2,L),3)
## [1] 0.184
  1. a lo sumo dos accidentes
#P(X<=2)
round(ppois(q=2,L),3)
## [1] 0.92
  1. por lo menos dos accidentes.
#P(X=>2)
round(ppois(q=1,L,lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.264
  1. de que haya 4 accidentes en una semana.
#P(X=4) y L = 7 
round(dpois(x=4,lambda = 7 ),3)
## [1] 0.091
  1. de que haya un accidente hoy y ninguno mañana.
#P(X=0)+P(X=1) y L en dos dias = 2
round(dpois(x=0,L+1)+dpois(x=1,L+1),3)
## [1] 0.406
  1. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?
#X: # de mensajes.  
#p(X<=2) Y L=0,1 POR MINUTO (EN UNA HORA)
L1= 0.1*60
round(ppois(q=2,L1),3)
## [1] 0.062
  1. Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso sea 0.8.
#P(X=0)=((exp^(-lambda))(lambda^x))/(x!))
#P(X=0)=((exp^(-lambda))(lambda^0))/(0!))
#P(X=0)=((exp^(-lambda))(1)/(1))
#((exp^(-lambda))(1)/(1))=0.8
#(exp^(-lambda)=0.8
# -lambda= ln(0.8)
L2=-log(0.8)
round(L2/0.1,3)
## [1] 2.231

Sol. 2.231 minutos

  1. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones).
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones?
#P(X=2) 
#X:# de cuestiones. 
round(dbinom(x=2,10,prob = 1/5),3)
## [1] 0.302
  1. ¿Cuál la de que responda bien a cuatro?
#P(X=4)
round(dbinom(x=4,10,prob = 1/5),3)
## [1] 0.088
  1. ¿Cuál la de que responda bien a seis?
#P(X=6)
round(dbinom(x=6,10,prob = 1/5),3)
## [1] 0.006
  1. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se repite 14 veces es igual de probable obtener 2 éxitos que 3.
#P(X=2)=P(X=3)
# 14C2 * p^2*q^12=14C3 * p^3*q^11
choose(14,2)
## [1] 91
choose(14,3)
## [1] 364
#p^2*q^12=4 p^2*q^11
#q^12=4pq^11
#q=4p
#1-p=4p
#p=1/5
  1. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra,
  1. ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un 1 % de componentes defectuosos?
#X:# de unidades defectuosas
#P(X>=3)
round(pbinom(q = 2, size = 100, prob = 0.01, lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.079
  1. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8 % de unidades defectuosas?
#P(X>=3)
round(pbinom(q = 2, size = 100, prob = 0.08, lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.989
  1. Se sabe que el 1 % de los artículos importados de un cierto país tienen algún defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 30 artículos, determinar la probabilidad de que tres o m´as de ellos tengan algún defecto.
#P(X=>3)
round(pbinom(q=2,size=30,prob=0.01,lower.tail = FALSE),3)
## [1] 0.003

Distribución Normal

  1. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye seg´un una distribuci´on N(0, 1) Calcular:
  1. P(Z < 1, 47)
mu1=0
sd1=1
round(pnorm(1.47,mu1,sd1),3)
## [1] 0.929
  1. P(Z > 1, 47)
round(1-pnorm(1.47,mu1,sd1),3)
## [1] 0.071
  1. P(Z ≤ −1, 47)
round(pnorm(-1.47,mu1,sd1),3)
## [1] 0.071
  1. P(Z > -1, 47)
round(pnorm(-1.47,mu1,sd1,lower.tail = F),3)
## [1] 0.929
  1. P(0, 45 < Z < 1, 47)
round(pnorm(1.47,mu1,sd1)-pnorm(0.45,mu1,sd1),3)
## [1] 0.256

f ) P(−1, 47 < Z < −0, 45)

round(pnorm(-0.45,mu1,sd1)-pnorm(-1.47,mu1,sd1),3)
## [1] 0.256
  1. P(−1, 47 < Z < 0, 45)
round(pnorm(0.45,mu1,sd1)-pnorm(-1.47,mu1,sd1),3)
## [1] 0.603
  1. P(Z ≤ z) = 0, 75
round(qnorm(0.75,mu1,sd1),3)
## [1] 0.674
  1. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N(µ, 2), hallar: P(µ−3, 2 < X < µ+3, 2)
#N(0,1) P(-1.6< Z <1.6)
round(pnorm(1.6,0,1)-pnorm(-1.6,0,1),3)
## [1] 0.89
  1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23◦ y desviación típica 5◦ Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21◦ y 27◦
mu3=23
sd3=5

#P(21<x<27)
round((pnorm(27,mu3,sd3)-pnorm(21,mu3,sd3))*30,0)
## [1] 13
  1. Las precipitaciones anuales en una región alcanzan, de media, los 2000 mm, con una desviación típica de 300mm. Calcula, suponiendo que siguen una distribución normal, la probabilidad de que en un año determinado la lluvia:
  1. No supere los 1200 mm
mu4=2000
sd4=300
#P(x<1200)
round(pnorm(1200,mu4,sd4),3)
## [1] 0.004
  1. Supere los 1500 mm.
#P(X>1500)
round(pnorm(1500,mu4,sd4, lower.tail = F),3)
## [1] 0.952
  1. Este entre 1700 y 2300 mm.
#P(1700<x< 2300)
round(pnorm(2300,mu4,sd4)-pnorm(1700,mu4,sd4),3)
## [1] 0.683
  1. Deseamos seleccionar el 25 % de los años más lluviosos, ¿a partir de que cantidad de agua hemos de escogerlos? ¿Y si deseasemos seleccionar los menos lluviosos?
#25% más lluviosos
round(qnorm(0.25,mu4,sd4,lower.tail = F),3)
## [1] 2202.347
#25% menos lluviosos
round(qnorm(0.25,mu4,sd4),3)
## [1] 1797.653
  1. Se sabe que la talla media de una población en edad escolar es de 165 cm con una desviación típica de 12 cm. Un centro tiene 1400 alumnos matriculados, se pide:
  1. ¿Cuántos alumnos se espera que midan más de 155cm?
mu5=165
sd5=12
#P(X>155)
pnorm(155,mu5,sd5,lower.tail = F)*1400
## [1] 1116.74
  1. ¿Qué proporción (%) de alumnos miden entre 150 y 178 cm?
(pnorm(178,mu5,sd5)-pnorm(150,mu5,sd5))*100
## [1] 75.502
  1. Determina la probabilidad de que un cierto alumno mida entre 170 y 186 cm.
round(pnorm(186,mu5,sd5)-pnorm(170,mu5,sd5),3)
## [1] 0.298
  1. ¿Qué talla permite asegurar que, elegido un alumno al azar, el 67 % de sus compañeros son más bajos que él?
qnorm(0.67,mu5,sd5)
## [1] 170.279
  1. El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos industriales emitidos durante el primer trimestre de 1975 fue de 8.55 % con una desviación estándar de 0.70 %. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañía FLEX fue de 7.1 % ¿qué podemos decir de la situación financiera de esta firma durante el trimestre mencionado?
mu6=0.0855
sd6=0.0007

round(qnorm(0.071,mu6,sd6)*100,3)
## [1] 8.447

La situación financiera de la empresa no es muy buena pues el rendimiento estuvo por debajo del promedio y tan solo presenta un crecimineto superior al 8,44% de los bonos lo cual es un porcentaje muy bajo.

  1. Durante los ´últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue de 646 millones de acciones (Barron’s. Enero de 1998). La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal, con desviación estándar de unos 100 millones de acciones.
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones de acciones?
mu7=646
sd7=100
round(pnorm(400,mu7,sd7),3)
## [1] 0.007
  1. ¿Qué porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800 millones de acciones?
round(pnorm(800,mu7,sd7,lower.tail=F)*100,3)
## [1] 6.178
  1. Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5 % de los días más activos, ¿qué volumen activará la publicación?
round(qnorm(0.05,mu7,sd7),3) 
## [1] 481.515
  1. Mensa es una asociación internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una persona debe tener un coeficiente intelectual de 132 o más alto (USA today, 13 de febrero de 1992). Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se distribuyen normalmente con promedio de 100 y desviación estándar de 15, ¿qué porcentaje de personas califican para ser miembros de mensa?
mu8=100
sd8=15
round(pnorm(132,mu8,sd8,lower.tail = F)*100,3)
## [1] 1.645