Probabilidade

Experimento Aleatório

Para você calcular a probabilidade de um resultado, é necessário que ele esteja associado a um experimento aleatório.
Um processo é considerado um experimento aleatório se tiver as seguintes características:

  • Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições (n);

  • Não se conhece a priori, ou seja antecipadamente, o resultado do experimento, mas pode-se descrever todos os possíveis resultados;

  • Quando o experimento for repetido inúmeras vezes, surgirá uma regularidade dos resultados possíveis.

Por exemplo, podemos considerar que um processo aleatório corresponde ao lançamento de uma moeda não viciada (aquela em que as chances de sair cara ou coroa são iguais) jogada inúmeras vezes. Quando você lança a moeda três mil vezes, por exemplo, ocorre a estabilização da frequência relativa de cada resultado em 0,5 ou probabilidade de 0,5.

Espaço Amostral

Vamos considerar a situação aleatória em que determinado funcionário público consegue ou não atingir sua meta de produtividade.
O funcionário poderá atingir ou não a meta. Então, temos apenas dois resultados possíveis.
O conjunto desses resultados possíveis, que poderiam ser mais de dois, também, no caso de outras situações, é definido como espaço amostral e pode ser simbolizado por S ou \(\Omega\) (ômega).

No nosso caso, teremos \(\Omega\) = {atinge; não atinge}
Lembrando-nos do Diagrama de Venn.

Evento

Qualquer subconjunto do espaço amostral (\(\Omega\)) associado ao experimento aleatório é chamado de evento, ou seja, um determinado resultado que ocorra dentro do espaço amostral.

Então, em nosso exemplo, o funcionário público que cumprir a meta será considerado como um dos eventos que compõem o espaço amostral.

Geralmente, calculamos as chamadas probabilidades desses eventos associadas ao nosso espaço amostral. Por isso a importância de você ter esse conceito bem definido!

Imagine que algumas secretarias municipais oferecem, por cortesia, cadeiras suficientes em determinado setor para que os contribuintes possam esperar confortavelmente; e outras secretarias não ofereçam essa cortesia.

O experimento é a seleção de uma secretaria e a observação do fato de essa secretaria oferecer ou não a cortesia.

  • S:{a secretaria oferece a cortesia}
  • N:{a cortesia não é oferecida pela secretaria}

Definições de Probabilidade

probabilidade pode ser assim considerada: a chance de que um determinado evento venha a ocorrer.

Se um evento pode ocorrer de N maneiras mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e, se m dessas ocorrências têm uma característica E, então, a probabilidade de ocorrência de E é:
\[ P(E)= \frac{m}{N} \] Onde:
m: número de eventos favoráveis à probabilidade E que se deseja calcular, ou seja, o número de vezes que E acontece;
N: número total de ocorrências de eventos no espaço amostral.

Exemplos

Imagine que em um determinado setor de uma prefeitura há os seguintes funcionários: Carlos, Jackeline, Giulyana, Girlene, Cláudio e Larissa.
Vamos pensar agora: qual a probabilidade de se escolher um funcionário ao acaso e ele ser do gênero masculino?
Para obtermos as respostas, vamos definir o espaço amostral e o evento desejado. Consideremos espaço amostral ou conjunto de possibilidades todos os funcionários públicos do setor.

S = {Carlos, Jackeline, Giulyana, Girlene, Cláudio, Larissa}

Evento = {Carlos, Cláudio}

Então, a probabilidade que estamos procurando, ou seja, a de escolher um funcionário ao acaso e ele ser do gênero masculino, pode ser apresentada conforme a descrição a seguir:

\[ P(funcionario\ publico\ genero\ masculino) = \frac{2}{6} = \frac{numero\ de\ funcionario\ do\ sexo\ masculino}{numero\ total\ de\ funcionarios} \]

Considerando outros três eventos relativos aos funcionários da prefeitura, descritos anteriormente, temos:
- A (funcionário ser do sexo feminino).
- B (seu nome começar com a letra G).
- C (seu nome começar com a letra C).

Então, poderemos definir os eventos mencionados anteriormente como a seguir e calcular facilmente suas probabilidades.

  • A = {Jackeline, Giulyana, Girlene, Larissa}.
  • B = {Giulyana, Girlene}.
  • C = {Carlos, Cláudio}

Probabilidade de ocorrer o evento A \[ P(A)= \frac{4}{6}= 0,666 \]

Probabilidade de ocorrer o evento B

\[ P(B)= \frac{2}{6}= 0,333 \]

Probabilidade de ocorrer o evento C

\[ P(C)= \frac{2}{6}= 0,333 \]

Probabilidade Condicional

Observe os dados da tabela a seguir. referentes a uma prefeitura em que foram selecionados, a partir de uma amostragem estratificada, 101.850 contribuintes das classes média-baixa e alta.
Posteriormente, foi feita a verificação do número de contribuintes de cada classe social que pagaram um determinado tributo em dia (evento: pagaram) e também o número de contribuintes que não pagaram em dia o tributo (evento: não pagaram).

Podemos considerar então que o espaço amostral (\(\Omega\)) corresponderá ao conjunto de 101.850 contribuintes.

Considerando os eventos a seguir

  • P = contribuintes que pagaram o tributo em dia.
  • NP = contribuintes que não pagaram o tributo em dia.
  • MB = contribuintes da classe média-baixa.
  • P \(\cap\) MB = contribuintes que pagaram (P) o tributo em dia e ao mesmo tempo são da classe média-baixa (MB)

Podemos obter as seguintes probabilidades.

\[ P(P)= \frac{numero\ de\ contribuintes\ que\ pagaram\ em\ dia}{numero\ total\ de\ contribuintes} = \frac{48.249}{101.850}=0,473 \]

\[ P(NP)= \frac{numero\ de\ contribuintes\ que\ não\ pagaram\ em\ dia}{numero\ total\ de\ contribuintes} = \frac{53.601}{101.850}=0,527 \]

\[ P(MB)= \frac{numero\ de\ contribuintes\ que\ são\ de\ classe\ media-baixa}{numero\ total\ de\ contribuintes} = \frac{85.881}{101.850}=0,843 \]

\[ P(P \cap MB)= \frac{n\ de\ contribuintes\ que\ pagaram\ e\ são\ classe\ media-baixa}{numero\ total\ de\ contribuintes} = \frac{39.577}{101.850}=0,388 \]

Considere os dados a seguir, representativos da distribuição da renda anual de funcionários públicos de dois setores (A e B)

Podemos obter as seguintes probabilidades:

  • Um funcionário ser do setor A \[ P(A)= \frac{115}{200} = 0,575 \]
  • um funcionário ser do setor B

\[ P(B)= \frac{85}{200}= 0,425 \]

  • um funcionário ter renda entre R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00

\[ P(R1)= \frac{110}{200}= 0,550 \]

  • um funcionário ser do setor B e ter renda entre R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00

\[ P(B \cap R1) = \frac{40}{200}= 0,20 \]

Um estudante chega atrasado em 40% das aulas e esquece o material didático em 18% das aulas. Supondo que sejam eventos independentes, calcule a probabilidade de:

  • a O estudante chegar na hora e com material.
  • b Não chegar na hora e ainda sem material.

Como o exercício afirma que o estudante chega atrasado em 40% das aulas, entendemos que a probabilidade de ele chegar atrasado é 40% = 0,40;
e a probabilidade de ele não chegar atrasado é 60% = 0,60.
O exercício afirma também que ele esquece o material didático em 18% das aulas, isto é, a probabilidade de que ele esqueça o material é 18% = 0,18;
e de que ele não esqueça é 82% = 0,82.

Então resolvendo a alternativa a, temos:

\[ P(chegar\ na\ hora\ e\ com\ material) = P(chegar\ na\ hora \cap com\ material) = \\ P(chegar\ na\ hora) × P(com\ material) = 0,60 × 0,82 = 0,492\ ou\ 49,2% \]

Resolvendo a alternativa b

\[ P(não\ chegar\ na\ hora\ e\ sem\ material) = P(não\ chegar\ na\ hora\ \cap sem\ material) = \\ P(ñ\ chegar\ na\ hora) × P(sem\ material) = 0,40 × 0,18 = 0,072\ ou\ 7,2% \]

Vamos considerar um pesquisador que estudou o comportamento de consumo de bebidas lácteas no Brasil. Após a análise da classe econômica do consumidor e do principal aspecto determinante da escolha da marca, o pesquisador tabulou os dados conforme dispostos a seguir.

Considerando esses dados, vamos calcular qual a probabilidade de um consumidor escolhido:

  • Priorizar o preço, dado que é da classe alta.

\[ P(preço/classe\ alta)= \frac{preço \cap classe\ alta}{P(classe\ alta)} = \frac{42}{98}= 0,4289 \]

  • Priorizar a qualidade, dado que é da classe média.

\[ P(qualidade/classe\ media) = \frac{qualidade \cap classe\ media}{P(classe\ media)}= \frac{21}{58} = 0,3621 \]

  • Ser da classe baixa, dado que atribui maior importância ao fator qualidade.

\[ P(classe\ baixa / qualidade)= \frac{classe\ baixa \cap qualidade}{P(qualidade)} = \frac{97}{174}= 0,5575 \]