Caso 18. Distribución Poisson
Alonso Enrique García Sánchez
03/05/2021
1 Objetivo
Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.
2 Descripción
Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Poisson a partir del valor medio dado en ejercicios.
Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Poisson, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta \(x\) tenga algún exactamente algún valor, \(\leq\) a algún valor o \(\gt\) o \(\geq\), entre otros.
3 Fundamento teórico
Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio [@mendenhall_introduccion_2006].
Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson.[@walpole_probabilidad_2012]
Esta distribución, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo,
La variable de interés va desde el número promedio de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o
El número medio de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,
El número promedio de fugas de agua en tubería en un lapso 3 meses.
El número de focos promedio que fallan en una cantidad de lote de 1000 focos.
El número medio de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros [@anderson_estadistica_2008].
3.1 Fórmula
\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \] en donde:
\(f(x)\) es la función de probabilidad para valores de \(x=0,1,2,3..,n\).
\(\mu\) es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como \(\lambda\) lambda.
\(x\) es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta \((x = 0, 1,. 2, . . . )\)
\(e\) valor constante, es la base de los logaritmos naturales \(2.71728\).
Propiedades de un evento Poisson:
- La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intérvalos de la misma longitud.
- La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
3.2 Esperanza, varianza y desviación estándard
Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son de la siguiente manera:
3.2.1 El valor medio o esperanza\[E(X) = \lambda \]
3.2.2 La varianza\[Var(X) = \sigma^{2} = \lambda\]
3.2.3 La desviación\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]
El los siguiente ejercicios se hace uso de funciones de distribución para Poisson en R, al igual que otras de las distribuciones de probabilidad, R trae consigo funciones de paquete base que ya permiten calcular la probabilidad, la densidad y la generación de números aleatorios, entre otras.
De igual modo se tienen funciones previamente codificadas que generan los mismos resultados en la dirección: https://github.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/blob/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.para.distribuciones.r
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
library(ggplot2)4.2 Cargar funciones
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.para.distribuciones.r")4.3 Ejercicios
Se describen ejercicios en donde se encuentra la función de distribución
4.3.1 Llegadas a cajero automático
Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.[@anderson_estadistica_2008]
Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;
Aquí la variable aleatoria es \(x\) número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.
4.3.1.1 Probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos
Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos, \(x=5\),y se obtiene:
Inicializando variables y valores
media <- 10
x <- 5Utilizando la función creada conforme a la fórmula
prob <- round(f.prob.poisson(media = media, x = x),4)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.0378"Utilizando la función dpois()
prob2 <- round(dpois(x = 5, lambda = media),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.0378"4.3.1.2 Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson
options(scipen=999) # Notación normal
tabla <- data.frame(x=0:25, f.prob.x = round(dpois(x = 0:25, lambda = media),4))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = ppois(q=0:25, lambda = media))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.0000 0.00004539993
## 2 1 0.0005 0.00049939923
## 3 2 0.0023 0.00276939572
## 4 3 0.0076 0.01033605068
## 5 4 0.0189 0.02925268808
## 6 5 0.0378 0.06708596288
## 7 6 0.0631 0.13014142088
## 8 7 0.0901 0.22022064660
## 9 8 0.1126 0.33281967875
## 10 9 0.1251 0.45792971447
## 11 10 0.1251 0.58303975019
## 12 11 0.1137 0.69677614630
## 13 12 0.0948 0.79155647639
## 14 13 0.0729 0.86446442262
## 15 14 0.0521 0.91654152707
## 16 15 0.0347 0.95125959670
## 17 16 0.0217 0.97295839022
## 18 17 0.0128 0.98572238640
## 19 18 0.0071 0.99281349540
## 20 19 0.0037 0.99654565802
## 21 20 0.0019 0.99841173934
## 22 21 0.0009 0.99930034949
## 23 22 0.0004 0.99970426319
## 24 23 0.0002 0.99987987785
## 25 24 0.0001 0.99995305062
## 26 25 0.0000 0.999982319734.3.1.3 Visualizando probabilidad de Poisson
ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue')
4.3.1.4 ¿Cual es la probabilidad de que X sea menor o igual a diez?
\[P(x \leq10) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... + P(x=10)\]
i <- 10
tabla$f.acum[i + 1]## [1] 0.5830398paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", tabla$f.acum[i + 1])## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: 0.583039750192985"4.3.1.5 Usando ppois()
ppois() determina la probabilidad acumulada de una distribución Poisson.
prob <- round(ppois(q = 10, lambda = media), 4)
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", prob)## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: 0.583"4.3.1.6 Media diferente
En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.
Regla de tres:
\[ 10 = 15\] \[ ? = 3\]
Entonces, la probabilidad de \(x=4\) llegadas en un lapso de 3 minutos con \(μ = 2\) está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.
\[ \mu = 2 \]
\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \]
Entonces ….
media <- 2
x <- 4prob <- round(dpois(x = 4, lambda = media),4)
paste("La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")## [1] "La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del: 9.02 %"4.3.1.7 El valor de la esperanza media
Regresando a la media \(\mu = 10 \text{ o }\lambda = 10\) , entonces la esperanza media es igual a: \(10\)
4.3.1.8 La varianza
La varianza es igual a \(10\)
4.3.1.9 La desviación estándar
La raiz cuadrada de \(\sqrt{10}\)
sqrt(media)## [1] 1.4142144.3.1.10 Interpretación
Según los resultados del ejercicio, en 15 minutos se espera a que lleguen 10 autos. Aquí la variable aleatoria es x número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos. Mientras tanto, en el siguiente ejercicio se busca saber cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en esos mismos 15 minutos, por lo que se inicializan las variables y valores modificando los datos necesarios y se utiliza la función dpois(). Aquí la probabilidad es 0.037%. Con otros ejemplos alterando algunos valores podemos notar que mientras más cerca esté x de 10, mayor será la probabilidad.
4.3.2 Instalaciones industriales
En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es \(0.005\) y los accidentes son independientes entre sí [@walpole_probabilidad_2012].
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
Se multiplica la cantidad la de dias por su probabilidad para encontrar la media. Esta media será el parámetro para la distribución Poisson.
n <- 400
prob <- 0.005
media <- n * prob
media## [1] 2La variable aleatoria son los días desde \(x=0\)…hasta \(x=n\)
4.3.2.1 La tabla de distribución de probabilidad de Poisson
tabla <- data.frame(x=0:10, f.prob.x = round(dpois(x = 0:10, lambda = media),4))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = ppois(q = 0:10, lambda = media))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.1353 0.1353353
## 2 1 0.2707 0.4060058
## 3 2 0.2707 0.6766764
## 4 3 0.1804 0.8571235
## 5 4 0.0902 0.9473470
## 6 5 0.0361 0.9834364
## 7 6 0.0120 0.9954662
## 8 7 0.0034 0.9989033
## 9 8 0.0009 0.9997626
## 10 9 0.0002 0.9999535
## 11 10 0.0000 0.99999174.3.2.2 Visualización de Poisson
ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue')
4.3.2.3 ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
\(P(x=1)\)
Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor \(x+1\) en la tabla:
i <- 1
prob <- tabla$f.prob.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x=1 es: ", prob)## [1] "La probabilidad del valor de x=1 es: 0.2707"paste("La probabilidad del valor de x=1 es: ", round(dpois(x = 1, lambda = media), 4))## [1] "La probabilidad del valor de x=1 es: 0.2707"4.3.3 ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?
- El indice en la taba comienza en cero
i <- 3
prob <- round(tabla$f.acum.x[i+1],4)
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", prob)## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 0.8571"paste("La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media, lower.tail = TRUE), 4))## [1] "La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es: 0.8571"4.3.3.1 Interpretación
La probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días haya un accidente es la incógnita que se busca resolver para este ejercicio, por lo que primero se obtiene la media, que es 2 y servirá como parámetro para la distribución de Poisson. Se sacó además una tabla de distribución para mejor visualización.
Al final se obtiene que la probabilidad es del 0.027%. En un caso similar se cambia el día en el que puede ocurrir el accidente a tres, lo que amplía el margen y la probabilidad, que ahora es de 0.0857%.
4.3.4 Fabricante de automóviles
Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con \(\lambda = 5\) [@walpole_probabilidad_2012].
4.3.4.1 La tabla de distribución cuando media igual a 5
media <- 5
tabla <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8))
tabla <- cbind(tabla, f.acum.x = ppois(q = 0:20, lambda = media))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.00673795 0.006737947
## 2 1 0.03368973 0.040427682
## 3 2 0.08422434 0.124652019
## 4 3 0.14037390 0.265025915
## 5 4 0.17546737 0.440493285
## 6 5 0.17546737 0.615960655
## 7 6 0.14622281 0.762183463
## 8 7 0.10444486 0.866628326
## 9 8 0.06527804 0.931906365
## 10 9 0.03626558 0.968171943
## 11 10 0.01813279 0.986304731
## 12 11 0.00824218 0.994546908
## 13 12 0.00343424 0.997981148
## 14 13 0.00132086 0.999302010
## 15 14 0.00047174 0.999773746
## 16 15 0.00015725 0.999930992
## 17 16 0.00004914 0.999980131
## 18 17 0.00001445 0.999994584
## 19 18 0.00000401 0.999998598
## 20 19 0.00000106 0.999999655
## 21 20 0.00000026 0.9999999194.3.4.2 Visualización de Poisson
ggplot(data = tabla, aes(x,f.prob.x) ) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue')
4.3.4.3 ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?
\[P(X \leq 3)\]
\[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\]
i <- 3
prob <- tabla$f.acum.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 26.5026 %"paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media),4) * 100, "%")## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 26.5 %"4.3.4.4 ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?
\[ 1 - P(X \leq 1) \] \[ 1 - (P(X=0) + P(x=1))\]
i <- 1
prob <- 1 - tabla$f.acum.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"prob <- ppois(q = 1, lambda = media, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"4.3.4.5 Interpretación
Se utiliza una variable aleatoria de Poisson (que es 5) para obtener fallas en un modelo de automóviles específicos. Se obtuvo una tabla de distribución con 5 como la media. Y en un caso en el que se establece que al menos 3 automóviles por año sufren una catástrofe para obtener una probabilidad exacta, que es de 26.5%.
4.3.5 Declaración de impuestos
Suponga que, en promedio, \(1 \text { persona en }1000\)
comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan \(10,000\) formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que \(6, 7 \text { u } 8\) de las formas contengan un error.[@walpole2007]. Ejercicio 5.65, Pág. 165.
\[ P(x=6:8) = P(x=6) + P(x=7) + P(x=8) \]
4.3.5.1 Valores iniciales
prob <- 1 / 1000
media <- prob * 100004.3.5.2 Tabla de distriución
tabla <- data.frame(x=0:20, f.prob.x = round(dpois(x = 0:20, lambda = media),8), f.acum.x = round(ppois(q = 0:20, lambda = media),8))
tabla## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.00004540 0.00004540
## 2 1 0.00045400 0.00049940
## 3 2 0.00227000 0.00276940
## 4 3 0.00756665 0.01033605
## 5 4 0.01891664 0.02925269
## 6 5 0.03783327 0.06708596
## 7 6 0.06305546 0.13014142
## 8 7 0.09007923 0.22022065
## 9 8 0.11259903 0.33281968
## 10 9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.998411744.3.5.3 Usando dpois()
\[ P(x \text { de 6 a }8) = P(x=6) + P(x=7) + P(x=8) \]
Se suman las probabilidades
paste(round(dpois(x = 6, lambda = media),4), "+", round(dpois(x = 7, lambda = media),4), "+"
, round(dpois(x = 8, lambda = media),4))## [1] "0.0631 + 0.0901 + 0.1126"prob <- sum(dpois(x = 6:8, lambda = media))
paste("La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es: ", round((prob * 100),4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es: 26.5734 %"4.3.5.4 Interpretación
En este ejercicio se toman valores de 6 al 8 y su busca saber la probabilidad de que una persona en 100 cometa un error numérico a la hora de preparar su declaración de impuestos. Aquí se suman las probabilidades y se obtiene que la probabilidad del valor x de 6 a 8 es: 26.5734 %”
5 Referencias Bibliográficas
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2006. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13a Edición. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.