Ejercicio 1

Sea \(f(x)=\sqrt{x}-\cos x\). Usa el método de la bisección para encontrar \(x\in [0,1]\) tal que \(f(x)=0\).

metodo_biseccion(f_1, 0, 1, 10^-7, 100)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6420898 0.6418457 0.6417236 0.6416626
## [15] 0.6416931 0.6417084 0.6417160 0.6417122 0.6417141 0.6417150 0.6417146
## [22] 0.6417143 0.6417145 0.6417144
## 
## $precision
## [1] 5.960464e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 24

El método de la bisección después de 24 iteraciones y una precisión de \(5.96 \times 10 ^{-8}\), aproximó la raíz a \(0.6417144\)

bisect(f_1, 0, 1, 100)

## $root
## [1] 0.6417144
## 
## $f.root
## [1] -2.220446e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

Ejercicio 2

Usa el método de la bisección para encontrar una raíz con una precisión de \(10^{-2}\) para \(x^3-7x^2+14x-6=0\) en cada intervalo.

\[\begin{equation} a) [0,1]\qquad\qquad b) [1, 3.2]\qquad\qquad c)[3.2, 4] \end{equation}\]

• 1. \([0,1]\)

metodo_biseccion(f_2, 0, 1, 10^(-10), 100)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.5625000 0.5937500 0.5781250 0.5859375
##  [8] 0.5820312 0.5839844 0.5849609 0.5854492 0.5856934 0.5858154 0.5857544
## [15] 0.5857849 0.5858002 0.5857925 0.5857887 0.5857868 0.5857859 0.5857863
## [22] 0.5857866 0.5857865 0.5857864 0.5857864 0.5857864 0.5857864 0.5857864
## [29] 0.5857864 0.5857864 0.5857864 0.5857864 0.5857864 0.5857864
## 
## $precision
## [1] 5.820766e-11
## 
## $iteraciones
## [1] 34

bisect(f_2, 0, 1)

## $root
## [1] 0.5857864
## 
## $f.root
## [1] -8.881784e-16
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

• 2. \([1, 3.2]\)

metodo_biseccion(f_2, 1, 3.2, 10^(-10), 100)

## $aprox
##  [1] 2.100000 2.650000 2.925000 3.062500 2.993750 3.028125 3.010938 3.002344
##  [9] 2.998047 3.000195 2.999121 2.999658 2.999927 3.000061 2.999994 3.000027
## [17] 3.000011 3.000002 2.999998 3.000000 2.999999 3.000000 3.000000 3.000000
## [25] 3.000000 3.000000 3.000000 3.000000 3.000000 3.000000 3.000000 3.000000
## [33] 3.000000 3.000000 3.000000
## 
## $precision
## [1] 6.402856e-11
## 
## $iteraciones
## [1] 35

bisect(f_2, 1, 3.2)

## $root
## [1] 3
## 
## $f.root
## [1] 7.105427e-15
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

• 3. \([3.2, 4]\)

metodo_biseccion(f_2, 3.2, 4, 10^(-6), 100)

## $aprox
##  [1] 3.600000 3.400000 3.500000 3.450000 3.425000 3.412500 3.418750 3.415625
##  [9] 3.414063 3.414844 3.414453 3.414258 3.414160 3.414209 3.414233 3.414221
## [17] 3.414215 3.414212 3.414214 3.414214
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-07
## 
## $iteraciones
## [1] 20

bisect(f_2, 3.2, 4)

## $root
## [1] 3.414214
## 
## $f.root
## [1] -2.131628e-14
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

Ejercicio 3

Usa el metodo de la bisección para encontrar las soluciones con una precisión de \(10^{-5}\) para los siguientes problemas.

• 1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

metodo_biseccion(f_3a, 0, 1, 10^-5, 100)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.7500000 0.6250000 0.6875000 0.6562500 0.6406250 0.6484375
##  [8] 0.6445312 0.6425781 0.6416016 0.6411133 0.6413574 0.6412354 0.6411743
## [15] 0.6412048 0.6411896 0.6411819
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

bisect(f_3a, 0, 1)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 54
## 
## $estim.prec
## [1] 1.110223e-16

• 2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

metodo_biseccion(f_3b, 0, 1, 10^-8, 100)

## $aprox
##  [1] 0.5000000 0.2500000 0.3750000 0.3125000 0.2812500 0.2656250 0.2578125
##  [8] 0.2539062 0.2558594 0.2568359 0.2573242 0.2575684 0.2574463 0.2575073
## [15] 0.2575378 0.2575226 0.2575302 0.2575340 0.2575321 0.2575312 0.2575307
## [22] 0.2575305 0.2575303 0.2575303 0.2575303 0.2575303 0.2575303
## 
## $precision
## [1] 7.450581e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 27

bisect(f_3b, 0, 1)

## $root
## [1] 0.2575303
## 
## $f.root
## [1] -4.440892e-16
## 
## $iter
## [1] 55
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

• 3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

metodo_biseccion(f_3c, -3, -2, 10^-5, 100)

## $aprox
##  [1] -2.500000 -2.250000 -2.125000 -2.187500 -2.218750 -2.203125 -2.195312
##  [8] -2.191406 -2.189453 -2.190430 -2.190918 -2.191162 -2.191284 -2.191345
## [15] -2.191315 -2.191299 -2.191307
## 
## $precision
## [1] 7.629395e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 17

bisect(f_3c, -3, -2)

## $root
## [1] -2.191308
## 
## $f.root
## [1] -3.108624e-15
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 4.440892e-16

• 4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

metodo_biseccion(f_3d, 0.2, 0.3, 10^-5, 100)

## $aprox
##  [1] 0.2500000 0.2750000 0.2875000 0.2937500 0.2968750 0.2984375 0.2976563
##  [8] 0.2972656 0.2974609 0.2975586 0.2975098 0.2975342 0.2975220 0.2975281
## 
## $precision
## [1] 6.103516e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 14

bisect(f_3d, 0.2, 0.3)

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 52
## 
## $estim.prec
## [1] 5.551115e-17

Ejercicio 4

Considera las funciones \(f(x)=x\) y \(g(x)=2 \sin x\). Usa el método de la bisección para encontrar una aproximación con una precisión de \(10^{-5}\) para el primer valor positivo \(x\) tal que \(f(x)=g(x)\).

Observamos en la gráfica que se tienen tres puntos fijos, pero se pide el positivo y se obtiene igualando \(g(x)=f(x)\), es decir \(2 sen(x)=x\)

Ejercicio 5

Sea \(f(x)=(x+2)(x+1)x(x-1)^3(x-2)\). ¿A cuál raíz de \(f\) converge el método de la bisección cuando se aplica a los siguientes intervalos?

\[\begin{equation} a) [-3,2.5]\qquad \qquad b) [-2.5, 3]\qquad\qquad c)[-1.75, 1.5]\qquad\qquad d) [-1.5, 1.75] \end{equation}\]

• 1. \([-3,2.5]\)

metodo_biseccion(f_5, -3, 2.5, 10^(-5),100)

## $aprox
##  [1] -0.250000  1.125000  1.812500  2.156250  1.984375  2.070312  2.027344
##  [8]  2.005859  1.995117  2.000488  1.997803  1.999146  1.999817  2.000153
## [15]  1.999985  2.000069  2.000027  2.000006  1.999995  2.000000
## 
## $precision
## [1] 5.245209e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 20

bisect(f_5, -3, 2.5)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

• 2. \([-2.5, 3]\)

metodo_biseccion(f_5, -2.5, 3, 10^(-5),100)

## $aprox
##  [1]  0.250000 -1.125000 -1.812500 -2.156250 -1.984375 -2.070312 -2.027344
##  [8] -2.005859 -1.995117 -2.000488 -1.997803 -1.999146 -1.999817 -2.000153
## [15] -1.999985 -2.000069 -2.000027 -2.000006 -1.999995 -2.000000
## 
## $precision
## [1] 5.245209e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 20

bisect(f_5, -2.5, 3)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

• 3. \([-1.75,1.5]\)

metodo_biseccion(f_5, -1.75, 1.5, 10^(-5),100)

## $aprox
##  [1] -0.1250000 -0.9375000 -1.3437500 -1.1406250 -1.0390625 -0.9882812
##  [7] -1.0136719 -1.0009766 -0.9946289 -0.9978027 -0.9993896 -1.0001831
## [13] -0.9997864 -0.9999847 -1.0000839 -1.0000343 -1.0000095 -0.9999971
## [19] -1.0000033
## 
## $precision
## [1] 6.198883e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 19

bisect(f_5, -1.75, 1.5)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

• 4. \([-1.5, 1.75]\)

metodo_biseccion(f_5, -1.5, 1.75, 10^(-5),100)

## $aprox
##  [1] 0.1250000 0.9375000 1.3437500 1.1406250 1.0390625 0.9882812 1.0136719
##  [8] 1.0009766 0.9946289 0.9978027 0.9993896 1.0001831 0.9997864 0.9999847
## [15] 1.0000839 1.0000343 1.0000095 0.9999971 1.0000033
## 
## $precision
## [1] 6.198883e-06
## 
## $iteraciones
## [1] 19

bisect(f_5, -1.5, 1.75)

## $root
## [1] 0
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $iter
## [1] 2
## 
## $estim.prec
## [1] 0

Ejercicio 6

En cada una de las siguientes ecuaciones, determina un intervalo \([a,b]\) en que convergerá la iteración de punto fijo y aproxima el punto fijo con una función.

1. \(\quad x=\frac{2-e^{x}+x^{2}}{3}\)

## NULL

it_pf(g_6a, 0.2, 1e-8, 50)

## $sucesion
##  [1] 0.2000000 0.2728657 0.2535773 0.2585582 0.2572636 0.2575995 0.2575123
##  [8] 0.2575349 0.2575291 0.2575306 0.2575302 0.2575303 0.2575303 0.2575303
## 
## $precision
## [1] 6.919711e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 13

2. \(\quad x=\frac{5}{x^{2}}+2\)

## NULL

it_pf(g_6b, 0, 1e-8)

## $sucesion
##  [1] 0.000000      Inf 2.000000 3.250000 2.473373 2.817318 2.629939 2.722901
##  [9] 2.674383 2.699074 2.686342 2.692863 2.689511 2.691231 2.690348 2.690801
## [17] 2.690569 2.690688 2.690627 2.690658 2.690642 2.690650 2.690646 2.690648
## [25] 2.690647 2.690648 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647 2.690647
## [33] 2.690647
## 
## $precision
## [1] 5.416017e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 32

3. \(\quad x=\left(e^{x} / 3\right)^{1 / 2}\)

## NULL

it_pf(g_6c, 0.5, 1e-8)

## $sucesion
##  [1] 0.5000000 0.7413324 0.8364070 0.8771277 0.8951694 0.9032811 0.9069522
##  [8] 0.9086184 0.9093757 0.9097201 0.9098768 0.9099481 0.9099805 0.9099953
## [15] 0.9100020 0.9100050 0.9100064 0.9100070 0.9100073 0.9100075 0.9100075
## [22] 0.9100075 0.9100076 0.9100076
## 
## $precision
## [1] 5.611704e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 23

4. \(\quad x=5^{-x}\)

## NULL

it_pf(g_6d, 0, 1e-3)

## $sucesion
##  [1] 0.0000000 1.0000000 0.2000000 0.7247797 0.3114589 0.6057586 0.3772185
##  [8] 0.5449236 0.4160205 0.5119342 0.4387058 0.4935803 0.4518582 0.4832420
## [15] 0.4594395 0.4773815 0.4637935 0.4740479 0.4662885 0.4721482 0.4677164
## [22] 0.4710644 0.4685329 0.4704457 0.4689997 0.4700925 0.4692664
## 
## $precision
## [1] 0.0008260617
## 
## $iteraciones
## [1] 26

5. \(\quad x=6^{-x}\)

## NULL

it_pf(g_6e, 0, 1e-8)

## $sucesion
##  [1] 0.0000000 1.0000000 0.1666667 0.7418364 0.2646910 0.6223439 0.3278856
##  [8] 0.5557192 0.3694591 0.5158280 0.3968330 0.4911384 0.4147821 0.4755944
## [15] 0.4264966 0.4657160 0.4341128 0.4594038 0.4390504 0.4553574 0.4422451
## [22] 0.4527583 0.4443095 0.4510867 0.4456422 0.4500108 0.4465021 0.4493180
## [29] 0.4470567 0.4488717 0.4474143 0.4485842 0.4476449 0.4483989 0.4477935
## [36] 0.4482795 0.4478893 0.4482026 0.4479511 0.4481530 0.4479909 0.4481210
## [43] 0.4480166 0.4481004 0.4480331 0.4480871 0.4480438 0.4480786 0.4480506
## [50] 0.4480731 0.4480550 0.4480695 0.4480579 0.4480672 0.4480597 0.4480658
## [57] 0.4480609 0.4480648 0.4480617 0.4480642 0.4480622 0.4480638 0.4480625
## [64] 0.4480635 0.4480627 0.4480634 0.4480628 0.4480633 0.4480629 0.4480632
## [71] 0.4480630 0.4480632 0.4480630 0.4480631 0.4480630 0.4480631 0.4480631
## [78] 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631 0.4480631
## [85] 0.4480631 0.4480631
## 
## $precision
## [1] 8.271354e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 85

6. \(\quad x=0.5(\sin x+\cos x)\)

## NULL

it_pf(g_6f, 0.5, 1e-8)

## $sucesion
## [1] 0.5000000 0.6785041 0.7030708 0.7047118 0.7048063 0.7048117 0.7048120
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## 
## $precision
## [1] 9.924652e-10
## 
## $iteraciones
## [1] 8