Ejercicio 1

Usa el método de Newton paso por paso para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado.

1. \(x^3-2x^2-5=0\), \([1,4]\)

p0 <- 1 
it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(it_nr1a(p0)))))

## [1] 0.5940384

Si utilizamos el método de Newton-Raphson la aproximación de la raíz de la función x(^3)-(2x(2)-5=0 después de 4 iteraciones es 0.5940384.

2. \(x−cosx=0\), \([0,π/2]\)

p0 <- 1

it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(it_nr1b(p0))))

## [1] 0.7390851

Utilizando el método de Newton-Raphson la aproximación a la raíz de la función x-cosx=0 después de cuatro iteraciones, es 0.7390851 al aplicarle la función de f_1b.

Ejercicio 2

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y compáralo con las soluciones obtenidas por medio del método de la bisección (ejercicio 3 de la tarea 2).

1. \(x-2^{-x}=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

p0 <- -1

newtonRaphson(f_2a, .5, df_2a)

## $root
## [1] 0.6411857
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.843895e-14

Utilizamos el método de Newton-Raphson y la raíz 0.6411857 de la función x-(2^(-x))=0 se obtuvo después de cuatro iteraciones.

2. \(e^x-x^2+3x-2=0\) para \(0\leq x\leq 1\)

p0 <-1

newtonRaphson(f_2b, 0, df_2b)

## Warning in newtonRaphson(f_2b, 0, df_2b): Maximum number of iterations 'maxiter'
## was reached.

## $root
## [1] 496.4375
## 
## $f.root
## [1] 3.981783e+215
## 
## $niter
## [1] 501
## 
## $estim.prec
## [1] 1

La raíz de la función e(x)-x^2+(3x)-2=0 fue de 0.2575303 luego de aplicar 4 iteraciones. En el método de Newton-Raphson son necesarias 4 iteraciones para encontrar la raíz, cuando en la tarea 2 habían sido necesarias 17 iteraciones sin tener que sacar la derivada manualmente.

3. \(2x\cos (2x)-(x+1)^2=0\) para \(-3\leq x\leq -2\) y \(-1\leq x \leq 0\)

newtonRaphson(f_2c, -2, df_2b)

## Warning in newtonRaphson(f_2c, -2, df_2b): Maximum number of iterations
## 'maxiter' was reached.

## $root
## [1] 18.92671
## 
## $f.root
## [1] -359.67
## 
## $niter
## [1] 501
## 
## $estim.prec
## [1] 2.168397e-06

Utilizando el método de Newton-Raphson se obtiene la raíz -2.191308 de la función 2xcos(2x)-(x+1)^2=0 después de 17 iteraciones. Para el método de bisección se obtuvo esta misma raiz con este mismo número de iteraciones.

4. \(x\cos x-2x^2+3x-1=0\) para \(0.2\leq x\leq 0.3\) y \(1.2\leq x \leq 1.3\)

p0 <-1

newtonRaphson(f_2d, 0, df_2d)

## $root
## [1] 0.2975302
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 8.883671e-12

Utiliza el método de Newton-Raphson y se obtiene la raíz 0.2975302 de la función x(cos(x))-(2(x^2))+3x-1=0 después de 5 iteraciones, con un aproximado de 8.883671e-12. Para el método de bisección obtuvimos 0.29999.

Ejercicio 3

Aproxima la solución de las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton y de la secante

1. \(e^x+2^{-x}+2\,cos\,x-6=0\), para \(1\leq x\leq 2\).

newtonRaphson(f_3a, 1.5, df_3a)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 2.165497e-16

secant(f_3a, 1.5, 1.9)

## $root
## [1] 1.829384
## 
## $f.root
## [1] -1.955769e-12
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 4.903989e-08

Para la función e(x)+2^(-x)+2cos(x)-6=0 utilizando el método de Newton-Raphson encontramos la raíz 1.829384 después de 5 iteraciones

2. \(log(x-1)+cos(x-1)=0\) para \(1.3\leq x \leq 2\).

## Warning in log(x - 1): NaNs produced

newtonRaphson(f_3b, 1.5, df_3b)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] 2.220446e-16
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 6.951135e-13

secant(f_3b, 1.2, 1.5)

## $root
## [1] 1.397748
## 
## $f.root
## [1] -5.085579e-09
## 
## $iter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 7.705866e-06

Para la función log(x-1)+cos(x-1)=0, luego de 5 iteraciones se obtuvo una raíz de 1.397748 con ambos métodos

3. \(2x\,cos\,2x-(x-2)^2=0\) para \(2\leq x \leq 3\) y \(3\leq x \leq 4\).

p0 <-1

newtonRaphson(f_3c, 2, df_3c)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] 1.720846e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.970602e-15

secant(f_3c, 2.2, 2.4)

## $root
## [1] 2.370687
## 
## $f.root
## [1] -6.037115e-13
## 
## $iter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.443943e-08

Para la función {2xcos(2x)-(x-2)^2=0} encontramos una raíz de 2.370687 después de 4 y 5 iteraciones.

4. \(e^x-3x^2=0\) para \(0\leq x \leq 1\) y \(3\leq x \leq 5\).

newtonRaphson(f_3d, 4, df_3d)

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] 7.105427e-15
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 2.187036e-11

secant(f_3d, 3.3, 4)

## $root
## [1] 3.733079
## 
## $f.root
## [1] 2.214691e-10
## 
## $iter
## [1] 6
## 
## $estim.prec
## [1] 3.617632e-07

Para la función e(x)-3x^2=0 encontramos una raíz de 3.733079, después de 5 y 6 iteraciones