\(\textbf{Problema 1}\)
En primer lloc hem de diferenciar entre el mostreig amb reemplaçament i el mostreig sense reemplaçament. Anem a plantejar seguidament un contrast d’hipòtesis per a ambdos casos.
Per al cas del mostreig amb reemplaçament, identificant com p el percentatge de peces que son defectuoses, tenim que la variable que mesura aquest nombre de peces defectuoses en la mostra de tamany \(n=30\) vindrà donada per \(X～Bi(n=30,p)\). El contrast d’hipòtesi en aquest cas de mostreig amb reemplaçament vindrà donat per:
\(H_0: p\leq0.1\) (hipòtesi nula)
\(H_1: p>0.1\) (hipòtesi alternativa)
Per altra banda, considerem el mostreig sense reemplaçament i, identificant A com el nombre de volanderes defectuoses, podem plantejar el contrast d’hipòtesis sabent que es tracta d’una mostra aleatoria amb distribució hipergeomètrica \(Y～HGeom(A,500-A,30)\) de la següent forma:
\(H_0: A\leq 50\)
\(H_1: A>50\)
\(\textbf{Problema 2}\)
En aquest problema anem a plantejar un test a nivell de significativitat \(\alpha=0.05\) per tal de contrastar les hipòtesis nules i alternatives dels casos de mostreig amb reemplaçament i sense reemplaçament que hem plantejat a l’anterior activitat.
Començarem amb el cas de la mostra amb reemplaçament.
En primer lloc, tenim que la funció de probabilitat respecte de \(n,p\) per a la distribució binomial \(Bi(n,p)\) ve donada per \(f(x|n,p)= {n \choose x}p^x(1-p)\). Com que \(n=30\), tindrem que \(f(x|30,p)= {30 \choose x}p^x(1-p)\). Per tal de calcular el quocient de versemblances generalitzat, calculem la funció de versemblança que és proporcional a la funció de probabilitat conjunta com ara veurem.
Tenim doncs primer: \(L_x(30,p)=p^{\sum_{i=1}^{30}X_i}(1-p)^{900-\sum_{i=1}^{30}X_i}\)
Considerem ara el quocient de versemblances generalitzat:
\(\Lambda(x)=\frac{sup_{H_0}L_x(p)}{sup_{H_0\cup H_1}L_x(p)}=\frac{sup_{H_0}L_x(p)}{L_x(\hat{p})}\)
Calcularem ara \(\hat{p}\). Sabem que \(L_x(n,p)=p^{\sum_{i=1}^nX_i}(1-p)^{n^2-\sum_{i=1}^nX_i}\)
Així doncs: \(l_x(p)=\sum_{i=1}^{n}X_ilog(p)+(n^2-\sum_{i=1}^{n}X_i)log(1-p)\)
Derivant ara \(l_x(p)\) respecte de p tenim que:
\(l'_x(p)=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{p}-\frac{n^2-\sum_{i=1}^{n}X_i}{1-p}\)
Igualem a 0:
\(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{p}=\frac{n^2-\sum_{i=1}^{n}X_i}{1-p}\)
Així:
\(\hat{p}=\bar{X_n}/n\) és l’estimador màxim versemblant.
Per tant, tindrem que:
\(\Lambda(x)=\frac{sup_{p\leq0.1}L_x(p)}{L_x(\frac{X_n}{n})}=\frac{sup_{p\leq0.1}L_x(p)}{(\frac{\bar{X_n}}{n})^{\sum_{i=0}^n X_i}(1-\frac{\bar{X_n}}{n})^{n^2-\sum_{i=0}^nX_i}}\)
D’aquesta forma, prenent el test de raó de versemblances:
“\(\varphi \equiv Refusar H_0 \Lambda(X)<K\) amb \(0<K<1\)
A partir del quocient de versemblances generalitzat i el que acabem de mencionar, podem definir dos casos:
-Si \(\hat{p}\leq0.1\) tenim que el màxim s’abasta en \(\hat{p}\) de forma que \(\Lambda(X)=1\)
-Si \(\hat{p}>0.1\) tenim que el màxim s’abasta en \(p=0.1\).
A partir de l’equació que hem obtes abans del quocient de versemblances generalitzat i substiuint per \(n=30\) i \(p=0.1\), tindrem que:
\(\Lambda(X)=(\frac{3}{\bar{X_N}})^{\sum_{i=1}^nX_i} (\frac{27}{30-\bar{X_n}})^{900-\sum_{i=1}^n X_i}\)
D’esta forma, vegem que per l’annex del final del tema 5.2 en un cas anàleg, teenim que si \(\hat{p}>0.1\) és monòtona decreixent respecte de l’estadístic \(\bar{X_n}\) de forma que tindrem que el test s’escriu com:
“\(\varphi \equiv Refusar H_0 \Lambda(X)<K\) \(\leftrightarrow\) \(\varphi \equiv Refusar H_0 si \bar{X_n}>K_1\) \(\leftrightarrow\) \(\varphi \equiv Refusar H_0 si \sum_{i=1}^n X_i >K_2\) \(\leftrightarrow\) \(\varphi \equiv Refusar H_0 si X_i >K_3\)
Així doncs, busquem ara el \(K_3\) a partir del mètode de Neyman-Pearson de la següent forma:
\(\sup_{p\leq 0.1}P(Refusar H_0|p=0.1) = P(X_i>K_3|p=0.1)=0.05\) \(\leftrightarrow P(X_i \leq K_3|p=0.1)=0.95\)
Ara, a partir de la funció qbinom(0.95,30,0.1) en R, arribem a que \(K_3=6\).
\(\textbf{Problema 3}\)
Per tal de calcular la grandària del test en el cas de la mostra amb reemplaçament \(\varphi\) simplement hem de fer \(1-pbinom(6,30,0.1)\) (tenint en compte que \(K_3=6\)). Amb el R arribem a que:
\(1-pbinom(6,30,0.1)=0.02582<0.05=\alpha\)
\(\textbf{Problema 4}\)
Per últim en aquest problema anem a calcular i representar la funció de potència del test d’aquest apartat anterior. Tindrem que en el cas de la mostra aleatoria amb desplaçament ve donada per:
\(\pi_(p)=P(Refusar H_0|p)=P(X_i>6|p)=1-P(X_i\leq 6|p)= 1- (\sum_{i=0}^6 P(X_i=i|p))= 1- \sum_{i=0}^6 {30 \choose i}p^i(1-p)^{30-i}\)