En numerosas áreas de Psicología y de Ciencias del Comportamiento no es posible medir directamente las variables que interesan; por ejemplo, los conceptos de inteligencia y de clase social. En estos casos es necesario recoger medidas indirectas que estén relacionadas con los conceptos que interesan. Las variables que interesan reciben el nombre de variables latentes y la metodología que las relaciona con variables observadas recibe el nombre de Análisis Factorial.
El modelo de Análisis Factorial es un modelo de regresión múltiple que relaciona variables latentes con variables observadas.
El Análisis Factorial tiene muchos puntos en común con el análisis de componentes principales, y busca esencialmente nuevas variables o factores que expliquen los datos. En el análisis de componentes principales, en realidad, sólo se hacen transformaciones ortogonales de las variables originales, haciendo hincapié en la varianza de las nuevas variables. En el análisis factorial, por el contrario, interesa más explicar la estructura de las covarianzas entre las variables.
Al igual que en el método de los componentes principales, para efectuar el análisis factorial, es necesario que las variables originales no estén incorreladas porque si lo estuvieran no habría nada que explicar de las variables.
Consideramos un conjunto de p variables observadas \(x=(x_1,x_2,...,x_p)\) que se asume relacionadas con un número dado de variables latentes\(f_1,f_2,...,f_k\) donde \(k<p\) mediante una relación del tipo:
\[ x_1=m_{11}f_1+m_{1k}f_k+u_1 \]
\[ . \]
\[ x_p=m_{p1}f_1+m_{pk}f_k+u_p \]
o de modo más conciso
\[ x=E f +u \]
donde
\[ E= \begin{pmatrix} m_{11} & ... & m_{1k}\\ .& . & .\\ m_{p1} & . & m_{pk} \end{pmatrix} , f= \begin{pmatrix} f_1 \\ .\\ f_k \end{pmatrix} , u=\begin{pmatrix} u_1 \\ .\\ u_p \end{pmatrix} \]
Los \(m_{ij}\) son los \(pesos factoriales\) que muestran cada \(x_i\) depende de factores comunes y se usan para interpretar los factores. Por ejemplo, valores altos relacionan un factor con la correspondiente variable observada y así se puede caracterizar cada factor.
Se asume que los términos residuales \(u_1,...,u_p\) están incorrelados entre sí y con los factores \(f_1,...,f_k\)Cada variable ui es particular para cada \(x_i\)y se denomina \(variable\) \(específica\).