Introducción a la econometría

Modelo de regresión lineal

El modelo de regresión lineal se usa para estudiar la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes.

La forma genérica de un modelo de regresión lineal es:

\[ \begin{equation} y=f(x_1+x_2+\ldots+ x_k)+ \varepsilon \end{equation} \]

\[ =\beta_1x_1+\beta_2x_2+\ldots+ \beta_kx_k+\varepsilon \]

donde:

• \(y\) es la variable dependiente o explicada

• \(\begin{equation} x_1+x_2+\ldots+ x_k \end{equation}\) son las variables independientes o explicativas

• \(\beta_1+ \beta_2, \ldots, \beta_k\) son los parámetros

• \(\begin{equation} f(x_1+x_2+\ldots+ x_k) \end{equation}\) es una funcion especificada por una teoria y es conocida como la ecuación de regresión poblacional de \(y\) sobre \(\begin{equation} x_1+x_2+\ldots+ x_k \end{equation}\). En este contexto

  • \(y\) es el regresando

  • \(\begin{equation} x_1+x_2+\ldots+ x_k \end{equation}\) son los regresores (o covariados)

• \(\varepsilon\) es el término perturbación aleatoria, llamado asi porque “perturba” una relación estable. La perturbacion surge por las siguientes razones:

La teoría especificará a las variables dependientes e independientes en el model; sin embargo, no siempre será obvio cúal será definida.

• En un modelo teórico, no se puede captar toda la influencia en una variable económica dentro de un modelo, sin importar cuán elaborado sea. El factor neto, ya sea positivo o negativo, de estos factores omitidos se captura en la perturbación.

• En un modelo empírico el factor contribuyente a la perturbación es el error de medición. Es fácil teorizar sobre las relaciones entre variables definidas con precisión. Otra muy distinta es obtener medidas precisasde estas variables¹

Ejemplo de modelo económico

LA FUNCIÓN DE CONSUMO DE KEYNES

• La teoría que plantea Keynes sugiere que existe una relación entre consumo (C) y el ingreso (Y) de una persona \[ C=f(X) \] cuya forma funcional más básica es \[ C=\alpha+\beta X \] A continuación, se muestra un tutorial tomado de YouTube que muestra la funcion de Keynes

Ejemplo de modelo econométrico

CAPACIDAD LABORAL Y PRODUCTIVIDAD DE LOS TRABAJADORES

• Analiza el efecto sobre la productividad de los trabajadores considerando los factores como la educacion, experiencia y la capacitación laboral.

Modelo econométrico \[ salario=\beta_0+\beta_1educ+\beta_2exper+\beta_3capacitación+\mu \] donde:

• salario: salario por hora

• educ: años de escolaridad formal

• exper: años de experiencia laboral

• capacitación: semanas de capacitación laboral

Observación

El término de perturbación \(\mu\) comprende factores como habilidades innatas, calidad de la educación, antecedentes familiares y otros factores que influyen en el salario de una persona.

Representación del modelo econométrico

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1}+ \cdots+\beta_kx_{ik}+\varepsilon_i, \hspace{3mm} i=1,2, \dots , n \] Para las \(n\) ecuaciones queda de la siguiente manera:

\[ Y_1= \beta_0+ \beta_1 x_{11} + \cdots + \beta_k x_{1k} +\varepsilon_1 \]

\[ Y_2= \beta_0+ \beta_1 x_{21} + \cdots + \beta_k x_{2k} +\varepsilon_2 \] \[ \vdots \]

\[ Y_n= \beta_0+ \beta_1 x_{n1} + \cdots + \beta_k x_{nk} +\varepsilon_n \]

Matricialmente queda asi: \[ \begin{bmatrix} Y_1\\ Y_2\\ \vdots \\ Y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1k} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{nk} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \vdots \\ \varepsilon_n \end{bmatrix} \]

Supuestos del modelo de regresión lineal

Los supuestos que describen la forma del modeloy las relaciones entre sus partes e implican procedimientos apropiados de estimación e inferencia son los siguientes:

1)Linealidad del modelo de regresión

• El modelo especifica una relación lineal entre la variable \(y\) (regresando) y \(\begin{equation} x_1+x_2+\ldots+ x_k \end{equation}\) (regresores) \[ y=\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_3+\ldots+\beta_kx_k+\mu \] Puede representarse vectorialmente como \[ y_i={x}'_i\pmb{\beta}+\varepsilon \]

2)Exogeneidad de las variables independientes

• Esto indica que el valor esperado de la perturbación en la i-ésima observación en la muestra no es una función de las K variables independeintes observables en ninguna j-ésima observación, incluida la i-ésima \[ E[\varepsilon_i|X_j]=E[\varepsilon_i|x_{j1},x_{j2},\ldots,x_{jk}]=0\hspace{10mm} i,j=1,2,\ldots, n \] Esto significa que las variables independientes no guardan información útil para la predicción de \(\varepsilon_i\)

• En otras palabras, se asume que la perturbación tiene valor esperado condicionado cero en cada observación.

\[ E[\varepsilon_i|X]=0 \]

3)Perturbaciones esféricas (Homocedasticidad y no Autocorrelación

• Una perturbación \(\varepsilon_i\) se denomina esférica cuando:

1. Es Homocedástica, esto es, tiene la misma varianza finita \(\sigma^2\).

\[ var[\varepsilon_i|X]=\sigma^2,\hspace{10mm} para \quad i=1,2,\ldots, n \]

2. Y no está correlacionada con cualquier otra perturbación \(\varepsilon_j\)

\[ cov=[\varepsilon_i,\varepsilon_j|X]=0 \hspace{10mm} para \quad i\neq j \]

4)Distribución normal

-Las perturbaciones estan normalmente distribuidas con media cero \[ E[\varepsilon|X]=0 \]

y varianza diagonal constante (perturbación esférica) \[ var[\varepsilon|X]=\sigma^2I~ \]

esto es \[ \varepsilon[X \sim N|0,\sigma^2] \]

El supuesto de normalidad no es necesario para obtener muchos de los resultados que se utilizan en el análisis de regresión múltiple; sin embargo, permitirá obtener varios resultados estadísticos exactos, construir intervalos de confianza y estadísticos de pruebas.

Aplicacion

Se quiere encontrar la relacion entre el pbiper (PBI per capita) y lexp (espereanza de vida) a nivel mundial

setwd("E:/RMARKDOWN/clase4")
ejemplo=read_dta("lifeexp.dta")

theme_set(theme_bw())
ggplot(ejemplo, aes(x=pbiper, y=lexp)) +   geom_point() + theme_light() + ggtitle ("Diagrama de dispersión: PBI per capita vs. Esperanza de vida nivel mundial")
## Warning: Removed 5 rows containing missing values (geom_point).

modelo=lm(lexp ~ pbiper, data = ejemplo)
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = lexp ~ pbiper, data = ejemplo)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -15.5810  -1.3539   0.5005   2.1939   4.9889 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 6.945e+01  5.480e-01 126.735  < 2e-16 ***
## pbiper      3.234e-04  4.012e-05   8.061 3.45e-11 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.36 on 61 degrees of freedom
##   (5 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.5158, Adjusted R-squared:  0.5079 
## F-statistic: 64.98 on 1 and 61 DF,  p-value: 3.452e-11

El modelo tiene un R2 de 0.51 y el coeficiente es significativo

Modelo estimado

\[\widehat{esperanzaVida}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 PBIpc_i= 60.94+ 0.000323 PBIpc_i\] Interpretación Si el PBIpc se incrementa el 1000 Um la esperanza de vida aumenta en 0.32 años

ggplot(ejemplo, aes(x=pbiper,y= lexp )) + 
  geom_point() +
  geom_smooth(method='lm', formula= y ~ x, se=FALSE, col='tomato') +
  theme_light()+ ggtitle ("Recta estimada")
## Warning: Removed 5 rows containing non-finite values (stat_smooth).
## Warning: Removed 5 rows containing missing values (geom_point).

---

1. Por ejemplo, la dificultad de obtener medidas razonables de ganancias, tasa de interés, acciones de capital o flujos de servicios de acciones de capital↩︎