1 Introduccion

Se presentan algunas distribuciones probabilísticas discretas de uso común que son de especial importancia porque representan los modelos teóricos de los fenómenos aleatorios más frecuentes # 2 Distribucion Binomial La distribución de Bernoulli es una distribución de probabilidad que consiste en la observación de un experimento aleatorio con dos posibles resultados. A uno de los resultados del experimento se le denomina “éxito”, con probabilidad de ocurrencia p, y al otro se le llama “fracaso”, con probabilidad de ocurrencia 1−p, donde p es un número real tal que 0<p<1.

La distribución binomial está conformada por n repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli

Se dice que una v.a.d. X que asume valores 0,1,…,n tiene una distribución binomial con parámetros n y p, lo que se escribe \(X∼Bin(n,p),\) si la f.m.p. de X está dada por:

\[ P[X=k]=\left(\begin{array}{l}n \\k \end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k}\ ,donde\ 0<p<1 \] donde n es un entero positivo Cuando n=1, la distribución binomial coincide con la distribución Bernoulli de parámetro p, lo que se escribe \(\ X∼Ber(p)\).

2.1 Propiedades

Si X es una v.a. tal que \(\ X∼Bin(n,p)\), entonces:

\(\ E[X]=n\cdot p\), denota la esperanza de la v.a.d X

\(\ V[X]=n\cdot p\cdot(1−p)\) denota la varianza de la v.a.d X

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Aplicacion en R

Para la elaboracion de este documento, me apoye de este sitio webEn la siguiente figura se presenta el gráfico de la f.m.p. y de la f.d.a. de una variable con distribución binomial con parámetros n=10 y p=0.3.
# parametros
p <- 0.3
n <- 10
x <- 0:n
# P(X >= 9)
sum(dbinom(x = c(9, 10), size = n, prob = p))
## [1] 0.0001436859
# valor esperado 
n*p
## [1] 3
#varianza
n*p*(1-p)
## [1] 2.1

Gráfico N°1 : Funcion Masa Probabilidad y Funcion densidad Acumulada de la Distr.Binomial

3 Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica surge a partir del “número de éxitos en n ensayos dependientes de un experimento de Bernoulli”.

  • Un experimento hipergeométrico con parámetros n, M, y N está basado en las siguientes condiciones:

    • Se elige una muestra sin reemplazo de n elementos de un conjunto compuesto por N elementos, de los cuales M tienen una característica de interés.

    • Cada elemento se puede caracterizar como un “éxito (el elemento tiene la característica de interés) o como un”fracaso” (el elemento no tiene la característica de interés).

Se dice que una v.a. \(X\) tiene una **distribución hipergeométrica con parámetros n, M, y N, lo que se escribe \(X∼Hg(n,M,N)\), si la f.m.p. de X está dada por:

\[ p(X=x)=\frac{\left(\begin{array}{l} k \\ x \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} N-k \\ n-x \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l} N \\ n \end{array}\right)},\ {\ N=tamaño\ de\ la\ poblacion \\ \ K=n^{°}\ de\ individuos\\n=tamaño\ de\ la\ muestra\\ x=valor\ que\ toma\ la\ variable } \]

donde n, M y N son números enteros no negativos tales que \(n≤N\) y \(M≤N.\)

3.1 Propiedades

Si X es una v.a. tal que \(X∼H(n,M,N)\), entonces:

E[X]=\(n\cdot M\cdot N.\)

V[X]=\(n\cdot \frac{M}{N}\cdot (1−\frac{M}{N})\cdot(\frac{N-n}{N−1})\)

La razón \(M/N\) corresponde a la proporción de éxitos de la población. Si se sustituye \(M/N\) por \(π\) en las fórmulas se obtiene que:

E[X]=\(n\cdot π.\)

V[X]=\(n\cdot π\cdot (1−π)\cdot(\frac{N-n}{N−1})\)

La expresión anterior evidencia que el valor esperado de la distribución binomial y de la distribución hipergeométrica coinciden, mientras que la varianza de las dos distribuciones difieren por el factor \(\ (N−n)/(N−1)\), denominado factor de corrección por población finita.

# parametros
n <- 5
M <- 10
N <- 25
# P(X >= 1)
# la parametrizacion de esta rutina es diferente a la presentada en la formula
sum(dhyper(x = 1:5, m = M, n = N-M, k = n))
## [1] 0.9434783
# otra manera
1 - dhyper(x = 0, m = M, n = N-M, k = n)
## [1] 0.9434783

Grafico N°2: Func.Masa.Probab. y de la Func.Densidad.Acum. de la Distr.Hipergeométrica,

4 Distribución Poisson

  • La distribución Poisson se utiliza para caracterizar probabilísticamente el número de veces que ocurre un evento en relación con una unidad de medida bien definida (como una unidad de tiempo o espacio, por ejemplo), de forma que:

    • La probabilidad de que el evento ocurra en una unidad de medida dada es igual para todas las unidades.
    • El número de eventos que ocurren en una unidad de medida es independiente del número de eventos que ocurren en otras unidades.

Se dice que una v.a. \(X\) tiene distribución de Poisson de parámetro λ, se escribe \(X∼Pois(λ).\), si la f.m.p. de \(X\) está dada por:

\[ P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \cdot \lambda^{x}}{x !}\\ x=variable\ aleatoria\\ \lambda=parametro\ de\ la\ distribucion \]

4.1 Propiedades

Si X es una v.a. tal que \(X∼P(λ)\), entonces:

\(E[X]=λ.\) \(V[X]=λ.\)

# parametros
lambda <- 5
x <- 0:20
# P(X <= 3)
sum(dpois(x = 0:3, lambda = lambda))
## [1] 0.2650259
# otra manera
ppois(q = 3, lambda = lambda)
## [1] 0.2650259

Grafico N°3: Func.Masa.Prob. y de la Func.Densidad.Acum.de la Distr.Poisson