As informações da figura disponibilizada foram organizadas conforme a tabela abaixo1:
w_range <- c("< USD 10.000", "Entre USD 10.000 e 100.000", "Entre USD 100.000 e 1 milhão", "> 1 milhão")
q1 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(2879, 1715, 583, 56),
pct_adults = c(.55, .328, .111, .011),
tot_wealth_trn = c(5.5, 57.3, 163.9, 191.6),
pct_wealth_trn = c(.013, .138, .391, .458)
)
q1 %>%
kbl(align = "lcccc", col.names = c('Faixa de riqueza', 'Número de adultos (mi)', 'Percentagem de adultos', 'Total de riqueza (tri)', 'Pct da riqueza mundial')) %>%
kable_paper(full_width = F) %>%
kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover", "condensed"), full_width = F, position = "center")%>%
footnote(general_title = "Fonte:", general = "Credit Suisse",
footnote_as_chunk = T)| Faixa de riqueza | Número de adultos (mi) | Percentagem de adultos | Total de riqueza (tri) | Pct da riqueza mundial |
|---|---|---|---|---|
| < USD 10.000 | 2879 | 0.550 | 5.5 | 0.013 |
| Entre USD 10.000 e 100.000 | 1715 | 0.328 | 57.3 | 0.138 |
| Entre USD 100.000 e 1 milhão | 583 | 0.111 | 163.9 | 0.391 |
| > 1 milhão | 56 | 0.011 | 191.6 | 0.458 |
| Fonte: Credit Suisse |
O índice representa a divergência entre a distribuição factual \(Y = \{Y_1, Y_2, ..., Y_N\}\), no nosso caso os dados da tabela anterior, e a distribuição igualitária, i.e. uma distribuição de renda em que todos os elementos ou todas as faixas teriam renda distribuída uniformemente. O índice é composto da seguinte forma:
\[\begin{align} T(Y,N) =& D \left(Y||\frac{1}{N}\right)\\ =& \log N - H(Y) \end{align}\]
Na expressão, \(\log N\) representa o limite máximo de \(H(Y)\), que ocorre quando há distribuição uniforme de renda. Para realizar os cálculos, representamos as variáveis em função de renda na forma de \(Y_i = \frac{R_i}{R}\), adaptado para cálculo estratificado:
\[\begin{align} \label{2} T(R,N) =& \log N - H(Y) \\ =& \log N + \sum\limits_{i = 1}^N \frac{N_i}{N} \frac{R_i/N_i}{R/N} \log \frac{R_i/N_i}{R/N} \end{align}\]
Ni <- q1$n_adults_mi*(10^6) #numero de adultos em cada estrato - UNIDADES ELEMENTARES
Ri <- q1$tot_wealth_trn*(10^12) # riqueza em cada estrato - UNIDADES ELEMENTARES
N <- sum(Ni) #total de adultos total em UNIDADES ELEMENTARES
R <- sum(Ri) #total de riqueza em UNIDADES ELEMENTARES
# HY_i <- -(Ni*Ri/R)*log2(Ri/R)
#
# theil1 <- log2(N) - sum(HY_i)
Ni_f <- Ni/N
theil <- sum( Ni_f* # frequencia relativa
(Ri/Ni)/(R/N)* #média de riqueza do estrato / média de riqueza global
log2((Ri/Ni)/(R/N))) #log da razão acima
rm(q1, Ni, Ri, N, R, Ni_f)Assim obtemos um índice de Theil com valor aproximado de 2.95.
A partir do link disponibilizado2 foram adquiridos os relatórios “Global Wealth Report” e os dados, em formato similar àqueles da Questão 1, foram transcritos para tabelas individuais. Em seguida, essas foram agregadas em uma lista para realização dos cálculos da Questão 3.
gw2010 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3038, 1045, 334, 24.2),
tot_wealth_trn = c(8.2, 32.1, 85, 69.2)
)
gw2011 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3054, 1066, 369, 29.7),
tot_wealth_trn = c(7.6, 33.5, 100.6, 89.1)
)
gw2012 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3184, 1035, 344, 29),
tot_wealth_trn = c(7.3, 32.1, 95.9, 87.5)
)
gw2013 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3027, 1066, 361, 32),
tot_wealth_trn = c(7.3, 33, 101.8, 98.7)
)
gw2014 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3282, 1010, 373, 35),
tot_wealth_trn = c(7.6, 31.1, 108.6, 115.9)
)
gw2015 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3386, 1003, 349, 34),
tot_wealth_trn = c(7.4, 31.3, 98.5, 112.9)
)
gw2016 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3546, 897, 365, 33),
tot_wealth_trn = c(6.1, 29.1, 103.9, 116.6)
)
gw2017 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3474, 1054, 391, 36),
tot_wealth_trn = c(7.6, 32.5, 111.4, 128.7)
)
gw2018 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(3211, 1335, 436, 42),
tot_wealth_trn = c(6.2, 44.2, 124.7, 142)
)
gw2019 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(2883, 1661, 499, 47),
tot_wealth_trn = c(6.3, 55.7, 140.2, 158.3)
)
gw2020 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(2768, 1754, 590, 51.9),
tot_wealth_trn = c(5.4, 58.6, 161.8, 173.3)
)
gw2021 <- tibble(
wealth_range = factor(w_range),
n_adults_mi = c(2879, 1715, 583, 56),
tot_wealth_trn = c(5.5, 57.3, 163.9, 191.6)
)
gw <- list(gw2010, gw2011, gw2012, gw2013, gw2014, gw2015, gw2016, gw2017, gw2018, gw2019, gw2020, gw2021)
rm(gw2010, gw2011, gw2012, gw2013, gw2014, gw2015, gw2016, gw2017, gw2018, gw2019, gw2020, gw2021)A função definida no bloco a seguir calcula, para uma determinada tabela, o índice de Theil conforme definido anteriormente.
theil_fun <- function(df){
# Ri deve ocorrer em trilhoes - riqueza total do estrato
# Ni deve ocorrer em milhoes - numero de adultos
Ni <- df$n_adults_mi*(10^6)
Ri <- df$tot_wealth_trn*(10^12)
N <- sum(Ni)
R <- sum(Ri)
Ni_f <- Ni/N
Ni_f <- Ni/N
theil <- sum( Ni_f* # frequencia relativa
(Ri/Ni)/(R/N)* #média de riqueza do estrato / média de riqueza global
log2((Ri/Ni)/(R/N))) #log da razão acima
return(theil)
}Por fim, os índices de Theil são calculados para os anos 2010 a 2021 e exibidos no gráfico a seguir.
tempo_theil <- tibble(
`I. Theil` = map(gw, theil_fun) %>% unlist(),
Ano = 2010:2021 %>% as.character()
)
tempo_theil %>%
ggplot(aes(x = Ano, y = `I. Theil`, group = 1, color = 1))+
geom_point(size = 2)+
geom_line(color = 'gray')+
scale_y_continuous(breaks = seq(from = 2.85, to = 3.65, by = .2),
limits = c(2.8, 3.65))+
theme_bw() +
theme(axis.title.y=element_text(colour="black", size=12),
axis.title.x = element_text(colour="black", size=12),
axis.text = element_text(colour = "black", size=9.5),
panel.border = element_blank(),
axis.line = element_line(colour = "black"),
#panel.grid.minor = element_blank(),
axis.ticks = element_blank(),
legend.position = "none",
legend.title = element_blank())
Fonte: Credite Suisse
O Índice de Theil é uma aplicação da divergência \(D(X||Y)\) em que \(X\) e \(Y\) são distribuições, conhecido também como distância de Kullback-Leibler. O índice representa portanto a divergência entre a distribuição factual de riquezas em relação à distribuição igualitária. Nesse sentido, quanto mais distante de \(0\), maior é a divergência da distribuição em relação a uma em que todos os indivíduos possuem a mesma riqueza.
Partindo dessa definição é possível observar um crescimento na desigualdade até o ano 2016. Em seguida há uma brusca queda, o que sugere menos concentração de riquezas. Uma série de eventos ocorreu nesse ano, como a vitória de D. Trump nas eleições americanas, o Brexit e o último impeachment presidencial brasileiro. O site de notícias Forbes3 indica que, nesse mesmo ano, mercados de ações globais estavam em severa queda, o que exigiu ação coordenada de diversos bancos centrais e resultou em não recessão nos EUA. Ao mesmo tempo, ganhos empresariais em 2015 e 2016 sofreram uma queda.
De acordo com o próprio Crédit Suisse, em seu relatório Global Wealth Report 2017, em 2017 foi observado significativo aumento de riqueza financeira e não-financeira em todo o mundo. Apesar desse crescimento e redução do índice de interesse, o mesmo relatório aponta que jovens millenials têm maior nível educacional porém pior desempenho financeiro, assim como enfrentam situações economicamente mais desafiadoras, que os babyboomers quando da mesma idade. Espera-se que poucos setores e indivíduos consigam de fato superar essa desvantagem millenial.
Foi realizada uma correção de 0.001 nas percentagens de riqueza em um grupo arbitrário para que a soma total fosse igual a 1.↩︎
https://www.credit-suisse.com/about-us/en/reports-research/global-wealth-report.html↩︎
https://www.forbes.com/sites/bobcarlson/2020/02/24/are-we-repeating-2015-2016-in-the-economy-and-investment-markets/?sh=4b8fa6025c80↩︎