Enunciado

1- En el proceso de fabricación de teléfonos, tres de ellos son seleccionados aleatoriamente por trabajadores para evaluar su calidad. Cada pieza es categorizada como “funcional” o “con falla” según los resultados de su evaluación. Si la probabilidad de que un teléfono no tenga fallas es 0.8, siendo la evaluación independiente entre equipos.

a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

El siguiente enunciado posee un tipo de variable aleatoria discreta, ademas de seguir una distribucion binomial.

b) Determine la función de probabilidad de masa.

Fp_Masa = dbinom(3, size = 3, prob = 0.8)
print(Fp_Masa)
## [1] 0.512

c) Grafique la distribución.

rango = seq(0,3)
distribucion = dbinom(rango, size = 3,prob = 0.8)
datos=data.frame(rango,distribucion)
#Gráfico
library("ggplot2")
grafico = ggplot(data=datos,aes(x=rango,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="blue")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Probabilidad de telefonos")
grafico = grafico + xlab("Telefonos") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

2- En un estudio clínico los voluntarios son examinados para encontrar un gen asociado a la aparición de cáncer. La probabilidad de que una persona tenga el gen es 0.1. Si se asume que la evaluación de una persona es independiente de otra:

a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

El problema sigue una variable de tipo aleatoria discreta y distribucion de Binomial negativa

b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más evaluaciones deban ser efectuadas para detectar a dos personas portadoras del gen?

distribucion = dnbinom(2,size=2, prob=0.1)
prob = 1-sum(distribucion)
print(prob)
## [1] 0.9757

c) ¿Cuál es el número esperado de evaluaciones que debo realizar para detectar dos personas portadoras del gen?

V_esperado = 2/ 0.1
print(V_esperado)
## [1] 20

d) Grafique la distribución.

#Establecimiento de datos
rango = seq(0,10)
positivos = 2
distribucion = dnbinom(rango,size=positivos, prob=0.1)
datos = data.frame(rango,distribucion)
#creacion del grafico
grafico = ggplot(data=datos,aes(x=rango,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="blue")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("probabilidad de detectar a 2 personas")
grafico = grafico + xlab("Rango") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

3- Una empresa contrata a 800 hombres menores de 55 años. Suponga que el 30 % tiene un marcador

a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

Es de tipo aleatoria discret y distribucion hipergeometrica

b) ) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 hombre tenga el marcador?

distribucion = dhyper(x = 1, m = 240, k = 10, n = 560)
print(distribucion)
## [1] 0.1200794

c) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que más de 1 tenga el marcador?

distribucion = dhyper(x = 1, m = 240, k = 10, n = 560)
Probabilidad = 1 - sum(distribucion)
print(Probabilidad)
## [1] 0.8799206

d) Grafique la distribución

rango = seq(0,10)
exitos = 240
distribucion = dhyper(x = rango, m = exitos, k =10, n = 560)
datos=data.frame(rango,distribucion)

grafico = ggplot(data=datos,aes(x=rango,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="blue")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Distribución Hypergeometrica")
grafico = grafico + xlab("Personas") + ylab("Probabilidades")
plot(grafico)

4- El número de llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que en promedio hay 8 llamadas por hora.

a) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

Tipo de variable discreta, que posee una distribucion de poisson

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora?

prob_p = dpois(5, 8)
print(prob_p)
## [1] 0.09160366

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas o menos en una hora?

prob_3oMenos = (dpois(3, 8) + dpois(2, 8) + dpois(1, 8) + dpois(0, 8))
print(prob_3oMenos)
## [1] 0.04238011

5- 5. Un artículo en Knee Surgery Sports Traumatology, Arthroscopy [“Effect of Provider Volume on Resource Utilization for Surgical Procedures” (2005, Vol. 13, pp. 273–279)] mostró un tiempo medio de 129 minutos y una desviación estándar de 14 minutos para cirugía de reconstrucción de LCA para hospitales de alto volumen (con más de 300 cirugías de este tipo por año). Si un hospital de alto volumen necesita programar 10 cirugías, ¿cuáles son la media y la varianza del tiempo total para completar estas cirugías? Suponga que los tiempos de las cirugías son independientes y normalmente distribuidos.

Respuesta: Dado que se deben programar 10 cirugias, debemos multiplicar la media de 129 mintos x 10, obteniendo así 1290 minutos. Por otro lado la varianza seria 100 x (14 x 14), resultando 19600 minutos.

6- Aborde los ejercicios 1 y 4 efectuando una aproximación mediante una distribución normal. ¿Qué puede concluir?

Para poder realizar la aproximacion, debemos obtener la media y la desviacion estandar de ambos problemas, para poder realizar el calculo de la aproximacion…

Para el ejercicio 1

media = 3 * 0.8
desviacion= (3 * 0.8 * 0.2)**(1/2)
aproximacion= pnorm((3.5 - media)/desviacion)
print(aproximacion)
## [1] 0.9438244

Podemos observar que la aproximación no es buena del todo, ya que se encuentra dentro del intervalo np < 5 y nq < 5

Para el ejercicio 4

b)

X = (5 - 8)/(sqrt(8))
aproximacion= pnorm(X, 0, 1)
print(aproximacion)
## [1] 0.1444222

c)

X0 = (0-8)/(sqrt(8))
X1 = (1-8)/(sqrt(8))
X2 = (2-8)/(sqrt(8))
X3 = (3-8)/(sqrt(8))
aproximacion= pnorm(X0, 0, 1) + pnorm(X1, 0, 1) + pnorm(X2, 0, 1) + pnorm(X3, 0, 1)
print(aproximacion)
## [1] 0.06450039