En esta nueva presentación se responderan a las preguntas planteadas, donde el objetivo principal es identificar el tipo de distribución que sigue el problema y además de graficar la situacion

N°1 En el proceso de fabricación de teléfonos, tres de ellos son seleccionados aleatoriamente por trabajadores para evaluar su calidad. Cada pieza es categorizada como “funcional” o “con falla” según los resultados de su evaluación. Si la probabilidad de que un teléfono no tenga fallas es 0.8, siendo la evaluación independiente entre equipos.

Solución: Este problema tiene una variable aleatoria discreta, dado que las probabilidad son finitas y no en un intervalo. Por otra parte sigue un distribución Binomial, debido a que para tener una conclusión se eligen 3 telefonos o sea 3 ensayos, donde cada telefono tiene una probabilidad de exito, la cual es que sea funcional y es del 0.8. Su distribución de masa viene dado por

masa = dbinom(3, size = 3,prob = 0.8)
masa
## [1] 0.512
library("Rlab")
## Rlab 2.15.1 attached.
## 
## Attaching package: 'Rlab'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     dexp, dgamma, dweibull, pexp, pgamma, pweibull, qexp, qgamma,
##     qweibull, rexp, rgamma, rweibull
## The following object is masked from 'package:datasets':
## 
##     precip
rango = seq(0,3)
distribucion = dbinom(rango, size = 3,prob = 0.8)
datos=data.frame(rango,distribucion)
#Gráfico
library("ggplot2")
grafico = ggplot(data=datos,aes(x=rango,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="black")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("probabilidad de telefonos")
grafico = grafico + xlab("telefonos") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

N°2 En un estudio clínico los voluntarios son examinados para encontrar un gen asociado a la aparición de cáncer. La probabilidad de que una persona tenga el gen es 0.1. Si se asume que la evaluación de una persona es independiente de otra.

Solución:

a) Este problema se moldea con una variable aleatoria discreta que sigue una distribución binomial negativa, ya que se pide los números de ensayos que se deben realizar para obtener r casos favorables.
b)
print((1-dnbinom(x=2, size= 2, prob=0.1)))
## [1] 0.9757
c)
#valor esperado en esta distrución es r/p
valor_esperado = 2/0.1
valor_esperado
## [1] 20
d)
personas = seq(0,10)
positivos=2
distribucion = dnbinom(x=personas, size=positivos, prob=0.1)
datos=data.frame(personas,distribucion)
#Gráfico
library("ggplot2")
grafico = ggplot(data=datos,aes(x=personas,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="red")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Probabilidad para 2 personas")
grafico = grafico + xlab("personas") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

N°3 Una empresa contrata a 800 hombres menores de 55 años. Suponga que el 30 % tiene un marcador en el cromosoma masculino que indica un mayor riesgo de cáncer de próstata.

Solución:

a) Este problema tiene una variable aleatoria discreta, que sigue una distribución hipergeométrica

b)

print(dhyper(x=1, m=240, k=10, n=560))
## [1] 0.1200794

c)

print(1-dhyper(x=1, m=240, k=10, n=560))
## [1] 0.8799206

d)

library("Rlab")
poblacion=240 #Exitos
total=560 #Fracasos
hombres=10 #Experimentos
exitos=seq(0,10) #Exitos
distribucion = dhyper(x=exitos, m=poblacion, k=hombres, n=total)
datos=data.frame(exitos,distribucion)
#Gráfico
library("ggplot2")
grafico = ggplot(data=datos,aes(x=exitos,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="green")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Distribución de
probabilidades")
grafico = grafico + xlab("hombres") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

N°4 El número de llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que en promedio hay 8 llamadas por hora.

a) Este problema tiene una variable aleatoria discreta, que sigue una distribución de Poisson

b)

lambda= 8
print(dpois(5,lambda))
## [1] 0.09160366

c)

print(dpois(3,lambda) + dpois(2,lambda) + dpois(1,lambda))
## [1] 0.04204465

N°5 Un artículo en Knee Surgery Sports Traumatology, Arthroscopy [“Effect of Provider Volume on Resource Utilization for Surgical Procedures” (2005, Vol. 13, pp. 273–279)] mostró un tiempo medio de 129 minutos y una desviación estándar de 14 minutos para cirugía de reconstrucción de LCA para hospitales de alto volumen (con más de 300 cirugías de este tipo por año). Si un hospital de alto volumen necesita programar 10 cirugías, ¿cuáles son la media y la varianza del tiempo total para completar estas cirugías? Suponga que los tiempos de las cirugías son independientes y normalmente distribuidos.

Solución: Que el articulo indique que se realizó en hospitales con mas de 300 cirugias, indca que no existe variacion particular para un hospital en especifico, por lo que la media seria de 10 multiplicado por 129 minutos = 1290 y la varianza de 100 multiplicado por 14^2 mitutos, lo cual seria 19600 minutos, ya que son 10 hospitales lo que indican.

N°6 Aborde los ejercicios 1 y 4 efectuando una aproximación mediante una distribución normal. ¿Qué puede concluir?

Solución: Para esto es necesario sacar la media y la desviación estandar de cada problemas y asi obtener la aproximación mediante la distribución normal.

Para el ejercicio 1:

media= 3 * 0.8
desviacion= (3 * 0.8 * 0.2)**(1/2)
aproximacion= pnorm((3.5 - media)/desviacion)
aproximacion
## [1] 0.9438244
como conclusion se puede observar que np < 5 y que nq < 5, por lo que la aproximación no es buena.

Para el ejercicio 4:

b)
k = 5
lambda= 8
X = (k-lambda)/(sqrt(lambda))
aproximacion= pnorm(X, 0, 1)
aproximacion
## [1] 0.1444222
c)
k = (seq (0,3))
lambda= 8
X = (1-lambda)/(sqrt(lambda))
X2 = (2-lambda)/(sqrt(lambda))
X3 = (3-lambda)/(sqrt(lambda))
aproximacion= pnorm(X, 0, 1) + pnorm(X2, 0, 1) + pnorm(X3, 0, 1)
aproximacion
## [1] 0.06216153
Como conclusion, sabiendo que lambda > 5, las aproximaciones son buenas.