1 Muestreo

1.1 Estimación de la media poblacional

\[(\overline{x} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N}}, \overline{x} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N}}\]

Ejercicio 1. En un estudio médico sobre el consumo de tabaco, por la población adulta, en una ciudad de un millón de habitantes adultos, se consultó a 120 personas Los resultados de la investigación mostraron un consumo promedio diario de 3.8 cigarrillos, por persona, con una desviación estándar de 1.1.

Determinar el intervalo al 97% para el número promedio de cigarrillos que se consumen
¿A cuántos individuos ha de consultarse para que la estimación del número medio de cigarrillos quede a menos de 0.3 del valor verdadero?, si se considera un nivel de confianza del 95%.

Solución

Identificar los valores de: \(N,\overline{x},s,n\) y guardar en la variables x_barra, sigma, n respectivamente.

x_barra = 3.8
s = 1.1
n = 120
N = 1000000

Calcular el valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) y guardar en la variable z_alfa_2

alfa = 1 - 0.97
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))

Definir el Error y guardar en la variable E

E = z_alfa_2*(s/sqrt(n))*sqrt((N-n)/N)

Calcular los limites superiores e inferiores del intervalo de confianza y guardar en LSC y LIC respectivamente

LSC = x_barra + E
LIC = x_barra - E

Visulizar los resultados

LSC

## [1] 4.017898

LIC

## [1] 3.582102

1.1.1 Tamaño de muestra

\[n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}Ns^{2}}{NE^{2} + z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}s^{2}}\]

Ejemplo.

¿A cuántos individuos ha de consultarse para que la estimación del número medio de cigarrillos quede a menos de 0.3 del valor verdadero?, si se considera un nivel de confianza del 95%.

Solución

Indentificar E, sigma

s = 1.1
N = 1000000
alfa = 1 - 0.95
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))
E = 0.3

Calcular el tamaño de muestra

n =  round(z_alfa_2^2*N*s^2/(N*E^2 + z_alfa_2^2*s^2))
n

## [1] 52

1.2 Estimación de la proporción poblacional

\[(\hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n-1}} \sqrt{\frac{N-n}{N}} , \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n-1}} \sqrt{\frac{N-n}{N}})\]

Ejemplo. Una empresa productora de comida deshidratada desea introducir al mercado su producto Sopainstant. Se realiza un estudio para determinar la proporción de hogares que preparan al menos una vez al mes sopa deshidratada. La muestra fue de tamaño 240 en una cuidad de 20 mil hogares, resultado 40 respuestas afirmaticas.

Encontrar un intervalo de confianza al 98%

hat_p = 40/240
n = 240
N = 20000
alfa = 1 - 0.98
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))
E = z_alfa_2*sqrt(hat_p*(1-hat_p)/(n-1))/sqrt((N-n)/N)
LSC = hat_p + E
LIC = hat_p - E
LSC

## [1] 0.2230864

LIC

## [1] 0.1102469

1.2.1 Tamaño de muestra

\[n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^{2} N\hat{p}(1-\hat{p})}{NE^{2} + z_{\frac{\alpha}{2}}^{2} \hat{p}(1-\hat{p})}\]

Utilizando la proporción previamente calculada, ¿a cuántos hogares se ha de encuestar, si se desea tener un error de 0.06 en el estimador?

hat_p = 40/240
E = 0.06
N = 20000
alfa = 1 - 0.98
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))
n =  round((z_alfa_2^2*N*hat_p*(1-hat_p)/(N*E^2 + z_alfa_2*hat_p*(1-hat_p))))
n

## [1] 208

1.2.2 Tamaño de muestra maxima

\[n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}N}{4NE^{2} + z_{\frac{\alpha}{2}}^{2} \hat{p}(1-\hat{p})}\]

hat_p = 40/240
E = 0.06
N = 20000
alfa = 1 - 0.98
alfa_2 = alfa/2  
z_alfa_2 = abs(qnorm(alfa_2))
n =  round((z_alfa_2^2*N/(4*N*E^2 + z_alfa_2*hat_p*(1-hat_p))))
n

## [1] 375