Actividad, Análisis Numérico.

Ejercicio 1

Selecciona y resuelve 3 de los siguientes ejercicios.

1. Aproxima la menor raíz positiva de \(f(x)=x^3-3.23x^2-5.54x+9.84\) por medio de los métodos de bisección y Newton Raphson, compara los resultados.

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newtonRaphson(f_1a, 0.5, df_1a)

## $root
## [1] 1.23
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 4.469189e-09

metodo_biseccion(f_1a, 0, 5, 10^(-6), 100)

## $aprox
##  [1] 2.500000 1.250000 0.625000 0.937500 1.093750 1.171875 1.210938 1.230469
##  [9] 1.220703 1.225586 1.228027 1.229248 1.229858 1.230164 1.230011 1.229935
## [17] 1.229973 1.229992 1.230001 1.229997 1.229999 1.230000 1.230000
## 
## $precision
## [1] 5.960464e-07
## 
## $iteraciones
## [1] 23

Con el método de la bisección se llegó a la raíz aproximada de 1.23, después de 23 iteraciones, mientras que con el de Newton-Raphson se llegó a la misma raíz aproximada pero después de 4 iteraciones.

2. Determina las dos raíces de \(f(x)=sen\, x+3\,cos\, x-2\) que pertenecen al intervalo \((-2,2)\), utilizando los métodos de bisección y de Newton Raphson, compara los resultados.

newtonRaphson(f_1b, -1, df_1b)

## $root
## [1] -0.5643266
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 5.620258e-15

metodo_biseccion(f_1b, -2, 2, 10^(-7), 100)

## $aprox
##  [1]  0.0000000 -1.0000000 -0.5000000 -0.7500000 -0.6250000 -0.5625000
##  [7] -0.5937500 -0.5781250 -0.5703125 -0.5664062 -0.5644531 -0.5634766
## [13] -0.5639648 -0.5642090 -0.5643311 -0.5642700 -0.5643005 -0.5643158
## [19] -0.5643234 -0.5643272 -0.5643253 -0.5643263 -0.5643268 -0.5643265
## [25] -0.5643266 -0.5643266
## 
## $precision
## [1] 5.960464e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 26

Con el método de la bisección se llegó a la primera raíz aproximada de -0.5643266, después de 26 iteraciones, mientras que con el de Newton-Raphson se llegó a la misma raíz aproximada pero después de 5 iteraciones.

newtonRaphson(f_1b, 1, df_1b)

## $root
## [1] 1.207828
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 5
## 
## $estim.prec
## [1] 3.625973e-16

metodo_biseccion(f_1b, 1, 2, 10^(-7), 100)

## $aprox
##  [1] 1.500000 1.250000 1.125000 1.187500 1.218750 1.203125 1.210938 1.207031
##  [9] 1.208984 1.208008 1.207520 1.207764 1.207886 1.207825 1.207855 1.207840
## [17] 1.207832 1.207829 1.207827 1.207828 1.207828 1.207828 1.207828 1.207828
## 
## $precision
## [1] 5.960464e-08
## 
## $iteraciones
## [1] 24

Con el método de la bisección se llegó a la segunda raíz aproximada de 1.207828, después de 24 iteraciones, mientras que con el de Newton-Raphson se llegó a la misma raíz aproximada pero después de 5 iteraciones.

3. El polinomio \(f(x)=x^3-1.2x^2-8.19x+13.23\) tiene una raíz de orden dos cercana a \(x=2\). Aproxima dicha raíz por medio del método de Newton Raphson. En este caso ¿por qué no se puede utilizar el método de bisección?

newtonRaphson(f_1c, 1.5, df_1c)

## $root
## [1] 2.1
## 
## $f.root
## [1] 0
## 
## $niter
## [1] 41
## 
## $estim.prec
## [1] 0

El método de Newton-Raphson aproximó la raíz a 2.1 después de 41 iteraciones, en este caso el método de la bisección no puede ser utilizado porque al ser la función un polinomio no existe convergencia.

4. Determina las raíces (reales) de \(f(x)=x^4+2x^3-7x^2+3\)

5. Aproxima la raíces de \(f(x)=sen\, x-0.1x\)

Ejercicio 2

Encuentra un punto fijo de la función \(f(x)=sen\,x-0.1x+1\).

it_pf(g_2, 1, pr=1e-8)

## $sucesion
##  [1] 1.000000 1.741471 1.811323 1.790080 1.797045 1.794810 1.795533 1.795300
##  [9] 1.795375 1.795351 1.795358 1.795356 1.795357 1.795356 1.795357 1.795356
## [17] 1.795356
## 
## $precision
## [1] 8.838189e-09
## 
## $iteraciones
## [1] 16

Con la iteración de punto fijo, se aproximó el punto a 1.795356 después de 16 iteraciones.

Ejercicio 3

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal:

\[\begin{eqnarray} -2x^3+3y^2+42&=&0\\ 5x^2+3y^3-69&=&0 \end{eqnarray}\]

g <- function(y){((3*y^2+42)/2)^2-((3*y^3-69)/(-5))^3}
y <- newtonRaphson(g, 1)$root
x <- sqrt((3*y^3-69)/(-5))

Las raíces son

x

## [1] 3

y

## [1] 2

Con ayuda del método de Newton-Raphson, se llegaron a las raíces de x, y, donde se obtuvo 3 y 2 respectivamente.

Ejercicio 4

Descarga el conjunto de datos de algún indicador económico (https://www.inegi.org.mx/app/tablero/) y realiza la respectiva gráfica. Posteriormente, selecciona un periodo (por ejemplo un año) y ajusta los datos por medio de un polinomio interpolante y por spline cúbico. Comenta los resultados obtenidos.

Elaborado con datos de INEGI.

En este ejercicio se utilizaron datos de INEGI para aplicar los métodos de interpolación y el spline cúbico. En la primera gráfica se muestra una visión de las exportaciones totales desde la década de los 90, hasta el año 2022. En la segunda gráfica se hace el análisis solo del año 2002 y se puede notar que hubo algunos altibajos, pero al final del año se elevaron las exportaciones.