INTERÉS

Según Rankia las matemáticas financieras estudian las diferentes variables cuantificables que se producen en los capitales financieros durante un transcurso del tiempo. Así como el estudio de las operaciones financieras, donde se intercambian flujos de dinero que pueden sufrir variaciones cuantitativas en el tiempo.

Para Aliaga Valdez (1995) el interes “Es la diferencia que existe entre un Stock Final y un Stock Inicial.”

Aliaga Valdez (1995)

Beltrán & Cueva (2021) en su libro indican que “El interés es el precio que se debe pagar por el uso de un capital prestado, y es la diferencia entre el capital original que se recibe y el monto final que se devuelve.”

El monto del interés depende de:

  • La magnitud del capital prestado.
  • La tasa de interés simple.
  • El tiempo de duración de la operación.
  • El riesgo del negocio en donde se invierte el capital prestado.
  • Las variables de carácter económico, político y social que influyen en el riesgo del negocio.

En consecuencia, el interés es función del capital, de la tasa de interés, del tiempo, del riesgo inherente a la operación y de otras variables económicas, políticas y sociales:

\[ I = f(capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.) \]

El capital puede estar dado en moneda nacional o moneda extrajera. La tasa de interés simple se suele expresar en tanto por ciento (%) y trabajarse en las fórmulas financieras en tanto por uno. El tiempo está referido al plazo total de la operación. El riesgo es la medida de la incertidumbre de que el deudor honre al acreedor su compromiso al vencimiento del plazo pactado, el precio del riesgo se incluye en el costo del dinero: la tasa de interés.

INTERÉS SIMPLE

En una operación de interés simple(2021), el capital que genera dicho interés permanece constante a lo largo del tiempo que dura la operación. La capitalización, que es la adición de dicho interés al capital original, se realiza al término de la operación.

Para deducir la fórmula general, consideremos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1:

Un importante fabricante de artesanía peruana tiene pensado ampliar su negocio para así incrementar su producción y poder exportar su mercadería. Para ello, quiere comprar un nuevo torno cuyo valor es de S/15,000. El fabricante ha adquirido un préstamo del Banco de Exportadores del Perú. La tasa de interés simple que le cobra dicho banco es del 20% al año y el préstamo será cancelado en un período de 2 años.

Al final del primer año, el interés generado por el capital inicial será:

\[ Interés = 15,000\times 0.20\times 1 = 3,000 \]

Al final del segundo año, el interés generado por el capital inicial será:

\[ Interés = 15,000\times 0.20\times 2 = 6,000 \]

Por lo tanto, se puede deducir que el interés simple total que se paga por una operación es:

\[ I = P \times i \times n \]

donde:
I : interés total.
P : monto inicial de efectivo.
i : tasa de interés simple por período.
n : número de períodos que dura la operación (días, meses, trimestres, etc.).

En esta fórmula, hay que tener en cuenta que tanto la tasa de interés (i) como el número de períodos de tiempo (n) deben estar expresados en las mismas unidades. Es decir, si la tasa de interés se expresa en años, los períodos de tiempo también deberán ser años.

De la ecuación anterior se puede despejar el resto de las variables:

\[ P=\frac{I}{i\times n} \] \[ i=\frac{I}{P\times n} \] \[ n=\frac{I}{P\times i} \]

Cabe tener en cuenta algunas observaciones vinculadas con la generación de intereses en las fórmulas anteriores.

Observación 1
Para que una persona tenga derecho a percibir intereses, su dinero debe estar depositado en el banco o alguna institución financiera como mínimo por un día. Es decir, no se ganan intereses por horas, minutos o segundos. Para calcular el interés acumulado entre dos fechas, el número de períodos en días debe excluir el día en que se realizó el depósito e incluir el último día, es decir, aquel en que se retiró el dinero.

EJEMPLO 2

El señor Juan Pérez, ahorrista del Banco del Perú, tuvo depositada cierta cantidad de dinero en dicho banco del 3 de julio al 18 de septiembre del mismo año. Al llegarle el estado de su cuenta de ahorros, se dio con la sorpresa de que el interés que había producido dicho capital era diferente al que él había calculado. Según el señor Pérez, el banco le debía un día de interés, por lo que decidió mandar una carta haciendo el reclamo respectivo.

Una semana más tarde, el señor Pérez recibió una carta del banco donde se le comunicaba que no se había cometido ningún error al contabilizar los días de interés, y para demostrarlo le adjuntaba el siguiente cronograma:

Al Días transcurridos en el mes
31 de julio 28 (excluye el 3 de julio)
31 de agosto 31
18 de septiembre 18 (incluye el 18 de septiembre)
Total 77 días

Al revisar el cronograma, el señor Pérez se dio cuenta de que el banco estaba en lo cierto y que su error había sido contabilizar el día del depósito como un día de interés ganado.

Observación 2 En general, los períodos de tiempo calendario no coinciden con los financieros. Por ello, a partir de ahora, los siguientes períodos de tiempo en situaciones financieras tendrán la duración en días que se indica:

Período Días
Año 360
Semestre 180
Cuatrimestre 120
Trimestre 90
Bimestre 60
Mes 30
Quincena 15

Por lo tanto, para el cálculo de tasas de interés simples que se encuentren entre estos períodos de tiempo, se tomará como base la duración antes mencionada.

EJEMPLO 3

Si la tasa de interés anual simple del sistema bancario es del 14%, ¿cuál será la tasa para el período comprendido entre el 1 de agosto de 2010 y el 1 de septiembre de 2011?

  14% -------------- 360 días
  X% --------------- 395 días

La tasa de interés simple comprendida entre el 1 de agosto de 2010 y el 1 de septiembre de 2011 es del 15.36%.

Observación 3 Cuando en el mercado se producen variaciones en las tasas de interés, la primera fórmula debe ser modificada para que dichas variaciones sean incorporadas en el cálculo correcto del interés simple total. Por lo tanto, la fórmula correcta sería:

\[ I = P \times \sum_{k=1}^m i_kn_k \]

donde:
ik : tasa de interés en el período k.
nk : número de períodos en que se repite la tasa ik.
m : número de períodos nk totales.

EJEMPLO 4

La Sra. Estela Correntista, ahorrista de Financiera Santa Teresa, tiene depositados S/ 8,000 en su cuenta de ahorros. ¿Cuál será el interés que la Sra. Estela ha ganado entre el 6 de julio y el 30 de septiembre, si entre el 6 de julio y el 16 de julio la tasa anual fue del 24%, entre el 16 de julio y el 16 de septiembre la tasa anual bajó al 21%, y a partir del 16 de septiembre la tasa anual fue del 17%?

\[ I=8,000 \times\left[\left(0.24 \times \frac{10}{360}\right)+\left(0.21 \times \frac{62}{360}\right)+\left(0.17 \times \frac{14}{360}\right)\right] \]

La Sra. Estela Correntista ha ganado S/395.55.

INTERÉS COMPUESTO

Para Beltrán & Cueva (2021) el interés compuesto es aquel que se adiciona al capital inicial (se capitaliza), de forma tal que los intereses sucesivos se computan sobre el nuevo monto capitalizado. Es por ello que el interés compuesto incorpora el concepto de interés simple, ya que se trata de una sucesión de operaciones de este último en las que el capital inicial varía de período a período por el efecto de las continuas capitalizaciones. Para el cálculo del interés compuesto, se deben tener en cuenta los siguientes aspectos:

  • La tasa de interés, que puede ser nominal o efectiva, como veremos luego.
  • número de períodos de capitalización en el año (m), el cual se halla a partir de la relación entre el año bancario y la frecuencia de capitalización de la tasa de interés.
  • El número de períodos de capitalización (n) en el horizonte temporal. Se entiende que el número de períodos de capitalización debe ser un número entero.

TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO

TASA NOMINAL Y TASA PROPORCIONAL

La tasa de interés nominal es una tasa referencial que no incorpora capitalizaciones. Además, posee las siguientes propiedades:

  1. Se aplica directamente a operaciones de interés simple.
  2. Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) (m) veces en un año, ya sea para ser expresada en otra unidad de tiempo (en el caso del interés simple) o como unidad de medida para ser capitalizada (n) veces en operaciones de interés compuesto, siendo (m) el número de capitalizaciones en el año.

La proporcionalidad de una tasa de interés nominal se traduce al expresarla en diferentes períodos de tiempo.
Es así como una tasa nominal anual puede proporcionalizarse efectuando una regla de tres simple considerando un año bancario de 360 días.

EJEMPLO 5

¿Cuál será la tasa proporcional diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%?

\[ Tasa~diaria = \frac{0.24}{360} = 0.066\% \] \[ Tasa~mensual = \frac{0.24}{12} = \left(30 \times\left(\frac{0.24}{360}\right)\right)=2 \% \]

TASA EFECTIVA

La tasa efectiva (i) para (n) períodos de capitalización puede obtenerse a partir de una tasa nominal (j) capitalizable (m) veces en el año, de acuerdo con la siguiente fórmula:

\[ i = \left(1+ \frac{j}{m} \right)^n-1 \]

Para un mismo horizonte de tiempo y de capitalización, cuando la tasa de interés nominal y la tasa de interés efectiva coinciden, la rentabilidad obtenida a interés simple y compuesto es la misma. Por ejemplo, el monto simple de un capital de S/ 1.000 a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto de una tasa efectiva anual del 24% dan el mismo valor de S/ 1.240.

\[ Monto~simple~S = 1,000 \times (1+0.24 \times 1) = 1,240 \] \[ Monto~compuesto~S = 1,000 \times (1+0.24)^1 = 1,240 \]

EJEMPLO 6

¿Cuál es la tasa efectiva semestral (TES) para un depósito de ahorros que gana una tasa nominal anual del 24% capitalizable mensualmente?

Aplicando la fórmula vista anteriormente, se tiene:

\[ TES = \left(1+ \frac{0.24}{12} \right)^6-1 = 12.62\% \]

EJEMPLO 7

El Banco del Nuevo Perú cobra una tasa de interés nominal anual del 18% por un préstamo en moneda nacional.
a) Si dicha tasa tiene una capitalización bimensual, ¿cuál es la tasa de interés efectiva mensual y anual que el banco está cobrando por esta operación?
b) Si la capitalización de la tasa fuera anual, ¿cambiaría su respuesta?

  1. La tasa de interés efectiva mensual (j) es:

\[ j = \left(1 + \frac{0.18}{6} \right)^\frac{1}{2}-1 \] \[ j = 0.0149 \] La tasa de interés efectiva anual (g) es:

\[ g = \left(1+ \frac{0.18}{6} \right)^6-1 \] \[ g = 0.194 \] Las tasas de interés efectiva mensual y anual que el banco nos cobra son 1.49% y 19.4%, respectivamente.

  1. Si la capitalización fuera anual, la tasa de interés efectiva anual (g) sería del 18%, mientras que la tasa de interés efectiva mensual (j) sería:

\[ j = (1+0.18)^ \frac{1}{12}-1 \] \[ j = 0.0139 \] Las tasas de interés efectiva anual y mensual que el banco nos cobra son 18% y 1.39%, respectivamente.

TASAS EQUIVALENTES

Dos o más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo período de tiempo.

Por ejemplo, una tasa de interés efectiva mensual del 1.53% y una tasa de interés efectiva trimestral del 4.66% son equivalentes, ya que:

\[ (1.0153)^{12}-1 = 0.2 \] \[ (1.0466)^4-1 = 0.2 \]

Es decir, ambas tasas producen una tasa efectiva anual del 20%.

TASA REAL

La tasa de interés real mide en qué grado la inflación, o aumento generalizado y sostenido en el nivel de precios, distorsiona el valor nominal de una tasa de interés.
La tasa de interés real (r) es una tasa de interés a la cual se le ha descontado el efecto de la inflación. Si conocemos la tasa de interés efectiva (i), expresada en valores corrientes, y la tasa de inflación (f), podemos calcular la tasa real de la siguiente manera:

\[ r = \frac{(1+i)}{(1+f)}-1 \]

Como se observa en la fórmula anterior, la tasa de interés real se ha obtenido deflactando (i).

EJEMPLO 8

Calcule el costo real de un préstamo pactado a una tasa efectiva anual del 20%, considerando una inflación, para el mismo período, del 18%.

Aplicando la fórmula anterior:

\[ r = \frac{(1.20)}{(1.18)}-1 = 0.017 \]

La tasa de interés real es del 1.7%.

EJEMPLO 9

Si dispongo de S/3,000 y quiero ganar un 5% mensual en términos reales, ¿a qué tasa en valores corrientes debería colocar ese capital si se proyecta una inflación del 4%?

Despejando (i) de la fórmula:

\[ i = (1.04)(1.05)-1 = 0.092 \]

Debo colocar mi capital a una tasa del 9.2% en valores corrientes.

FUENTES:

Aliaga Valdez, C. (1995). Manual de matemática financiera: texto, problemas y casos.
Beltrán, A., & Cueva, H. (2021). Evaluación privada de proyectos. Universidad del pacifico.